薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式

扭转变形特点：

1,

相邻横截面绕杆的轴线相对转动；

2.杆表面的纵向线变成螺旋线；

3,实际构件在工作时除发生扭转变形外，还伴随有弯曲或拉、压等变形。受力特点：

圆截面直杆在与杆的轴线垂直平面内的

外力偶Me作用下发生扭转。薄壁杆件也可以由其它外力引起扭转。MeMe扭转

薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒——通常指的圆筒

当其两端面上作用有外力偶矩时，任一横截面上的内力偶矩（合力）——扭矩mmTMelMemmMedr0Od扭转

推论：(1)横截面保持为形状、大小未改变的平面，即横截面如同刚性平面一样；(2)相邻横截面只是绕圆筒轴线相对转动，横截面之间的距离未变。MeMejgADBC

一,

薄壁圆筒横截面上各点处切应力的变化规律扭转横截面上的应力：(1)只有与圆周相切的切应力，且圆周上所有点处的切应力相同；(2)对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚均匀分布；(3)横截面上无正应力。Memmxr0tdA扭转二,

薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式：由根据应力分布可知引进，上式亦可写作，于是有Memmxr0tdA扭转三,剪切胡克定律(1)

上述薄壁圆筒表面上每个格子的直角均改变了g，这种直角改变量称为切应变。(2)

该圆筒两个端面之间绕圆筒轴线相对转动了j角，这种角位移称为相对扭转角。(3)在认为切应力沿壁厚均匀分布的情况下，切应变也是不沿壁厚变化的，故有，此处r0为薄壁圆筒的平均半径。MeMejgADBC扭转薄壁圆筒的扭转实验表明：当横截面上切应力t不超过材料的剪切比例极限tp时，外力偶矩Me(数值上等于扭矩T)与相对扭转角j成线性正比例关系，从而可知t与g亦成线性正比关系：

这就是材料的剪切胡克定律，式中的比例系数G称为材料的切变模量(shearmodulus)。（剪切弹性模量）

钢材的切变模量的约值为：G=80GPaMeADBCMejg扭转

传动轴的外力偶矩·扭矩及扭矩图Ⅰ.传动轴的外力偶矩当传动轴稳定转动时，作用于某一轮上的外力偶在

t秒钟内所作功等于外力偶之矩Me乘以轮在t秒钟内的转角a。扭转因此，外力偶Me每秒钟所作功，即该轮所传递的功率为因此，在已知传动轴的转速n(亦即传动轴上每个轮的转速)和主动轮或从动轮所传递的功率P之后，即可由下式计算作用于每一轮上的外力偶矩：扭转Ⅱ.扭矩及扭矩图

传动轴横截面上的扭矩T可利用截面法来计算。TMeMeTT=MeMeMe11扭转扭矩的正负可按右手螺旋法则确定：扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负。扭矩图——显示横截面上扭矩与横截面位置的关系。杆件各个横截面上扭矩可能不同。找最大扭矩扭转

例题:

一传动轴如图，转速；主动轮输入的功率P1=500kW，三个从动轮输出的功率分别为：P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW。试作轴的扭矩图。扭转解：1.

计算作用在各轮上的外力偶矩扭转2.

计算各段的扭矩BC段内：AD段内：CA段内：(负)注意这个扭矩是假定为负的扭转3.

作扭矩图由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩Tmax在CA段内，其值为9.56kN·m。

TheEnd扭转

等直圆杆扭转时的应力·强度条件静力平衡由上式无法得到切应力的值要利用几何条件和物理条件目标：求切应力扭转一.横截面上的应力表面变形情况推断横截面的变形情况(问题的几何方面)横截面上应变的变化规律横截面上应力变化规律应力-应变关系(问题的物理方面)内力与应力的关系横截面上应力的计算公式(问题的静力学方面)扭转1.表面变形情况：(1)几何方面

(a)相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但它们的大小和形状未变，小变形情况下它们的间距也未变；(b)

纵向线倾斜了一个角度g

。平面假设——等直圆杆受扭转时横截面如同刚性平面绕杆的轴线转动，小变形情况下相邻横截面的间距不变。推知：杆的横截面上只有切应力，且垂直于半径。扭转2.

横截面上一点处的切应变随点的位置的变化规律：EAO1Ddj

D'G'GO2d/2dxgrgrbabTTO1O2ababTTO1O2agr扭转2.

横截面上一点处的切应变随点的位置的变化规律：即EAO1Ddj

D'G'GO2d/2dxgrgrbabTTO1O2a扭转式中——相对扭转角j沿杆长的变化率，常用j'

来表示，对于给定的横截面为常量。可见，在横截面的同一半径r的圆周上各点处的切应变gr

均相同；gr

与r成正比，且发生在与半径垂直的平面内。dxbabTTO1O2adj

g扭转(2)物理方面由剪切胡克定律可见，在横截面的同一半径r的圆周上各点处的切应力tr

均相同，其值

与r成正比，其方向垂直于半径。t扭转(3)静力学方面其中

称为横截面的极惯性矩Ip，它是横截面的几何性质。从而得等直圆杆在线弹性范围内扭转时，横截面上任一点处切应力计算公式以代入上式得：扭转式中Wp称为扭转截面系数，其单位为m3。横截面周边上各点处(r=r)的最大切应力为扭转实心圆截面：圆截面的极惯性矩Ip

和扭转截面系数Wp扭转空心圆截面：扭转

以横截面、径向截面以及与表面平行的面(切向截面)从受扭的薄壁圆筒或等直圆杆内任一点处截取一微小的正六面体——单元体。可得：

单元体·切应力互等定理由单元体的平衡条件∑Fx=0和∑Mz=0知单元体的上、下两个平面(即杆的径向截面上)必有大小相等、指向相反的一对力t'dxdz并组成其矩为(t'dxdz)dy

力偶。由扭转

即单元体的两个相互垂直的面上，与该两个面的交线垂直的切应力t和t

数值相等，且均指向(或背离)该两个面的交线——切应力互等定理。扭转现分析单元体内垂直于前、后两平面的任一斜截面ef

(如图)上的应力。

斜截面上的应力扭转分离体上作用力的平衡方程为利用t=t'，经整理得扭转由此可知：

(1)单元体的四个侧面(a

=0°和a

=90°)上切应力的绝对值最大；

(2)

a=-45°和a=+45°截面上切应力为零，而正应力的绝对值最大；如图所示。扭转单元体四个侧面上仅存在切应力而无正应力，因此这种应力状态称为纯剪切应力状态。扭转强度条件此处[t]为材料的许用切应力。对于等直圆轴亦即铸铁等脆性材料制成的等直圆杆扭转时虽沿斜截面因拉伸而发生脆性断裂，但因斜截面上的拉应力与横截面上的切应力有固定关系，故仍可以切应力和许用切应力来表达强度条件。扭转

等直圆杆扭转时的变形·刚度条件Ⅰ.扭转时的变形等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的相对扭转角(相对角位移)j来度量。jMeMe扭转当等直圆杆相距l的两横截面之间，扭矩T及材料的切变模量G为常量时有

由前已得到的扭转角沿杆长的变化率(亦称单位长度扭转角)为可知，杆的相距l的两横截面之间的相对扭转角j为扭转刚度抗扭刚度

TheEnd扭转解：

1.各段轴的横截面上的扭矩：

例题：

图示钢制实心圆截面轴，已知：M1=1592N·m，M2=955N·m，M3=637N·m，lAB

=300mm，lAC

=500mm，d=70mm，钢的切变模量G=80GPa。试求横截面C相对于B的扭转角jCB。扭转3.横截面C相对于B的扭转角：2.

各段轴的两个端面间的相对扭转角：扭转Ⅱ.刚度条件式中的许可单位长度扭转角[j']的常用单位是(°)/m。此时，等直圆杆在扭转时的刚度条件表示为：对于精密机器的轴[j']≈0.15~0.30(°)/m；对于一般的传动轴[j']≈2

(°)/m。扭转解:

1.按强度条件求所需外直径D

例题：由45号钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径之比a=0.5。已知材料的许用切应力[t]=40MPa，切变模量G=80GPa。轴的横截面上扭矩的最大者为Tmax

=9.56kN·m，轴的许可单位长度扭转角[j']=0.3(°)/m。试选择轴的直径。扭转2.按刚度条件求所需外直径D3.空心圆截面轴所需外直径为D≥125.5mm(由刚度条件控制)，内直径则根据a=d/D=0.5知扭转

等直圆杆扭转时的应变能纯剪切应力状态下的应变能密度对处于纯剪切应力状态的单元体(图a)，为计算其上的外力所作功dW可使左侧面不动，此时的切应力t仅发生在竖直平面内而只有右侧面上的外力tdydz在相应的位移gdx上作功。扭转于是，当材料在线弹性范围内工作时(t≤tp，见图b)，有扭转单元体内蓄积的应变能dVε数值上等于单元体上外力所作功dW，即dVε=dW

。单元体单位体积内的应变能，亦即纯剪切应力状态下的应变能密度为由剪切胡克定律t=Gg，该应变能密度的表达式可写为扭转在扭矩T为常量时，长度为l的等直圆杆所蓄积的应变能为等直圆杆在扭转时积蓄的应变能由可知，亦有扭转

当等直圆杆各段横截面上的扭矩不同时，整个杆内蓄积的应变能为

在线弹性范围内工作的等直圆杆在扭矩T为常量，其长度为l范围内的应变能亦可如下求得：扭转Ⅰ.等直非圆形截面杆扭转时的变形特点横截面不再保持为平面而发生翘曲。平面假设不再成立。

自由扭转(纯扭转)——等直杆，两端受外力偶作用，端面可自由翘曲。由于各横截面的翘曲程度完全相同，横截面上只有切应力而无正应力。扭转Ⅱ.矩形截面杆自由扭转时的弹性力学解一般矩形截面等直杆狭长矩形截面等直杆扭转(1)一般矩形截面等直杆横截面上的最大切应力在长边中点处：横截面上短边中点处的切应力：单位长度扭转角：——扭转截面系数

为与相关的因数(表3-1)。

为与相关的因数。It——相当极惯性矩:

为与相关的因数。扭转

矩形截面杆在自由扭转时的因数a，b和nm=h/b1.01.21.52.02.53.04.06.08.010.0abn0.1400.2081.0000.1990.263__0.2940.3460.8580.4570.4930.7960.6220.645__0.7900.80