一次函数与图形变换（3种类型） 八年级数学上册高分突破 （含答案）

一次函数与图形变换（3种类型）考点1：一次函数与平移变换考点2：一次函数与轴对称变换直线两直线平行⟺两直线相交⟺两直线重合⟺两直线垂直⟺考点3：一次函数与旋转变换直线的对称规律（1）直线y=kx+b关于x轴对称得到直线y=-kx-b（2）直线y=kx+b关于y轴对称得到直线y=-kx+b（3）直线y=kx+b关于原点对称得到直线y=kx-b【考点1：一次函数与平移变换】【典例1】（2021秋•无锡期末）将一次函数y＝2x﹣4的图象向上平移3个单位长度，平移后函数经过点（）A．（2，5） B．（2，4） C．（2，3） D．（2，0）【答案】C【解答】解：将一次函数y＝2x﹣4的图象向上平移3个单位长度，相应的函数是y＝2x﹣4+3＝2x﹣1，当x＝2时，y＝2×2﹣1＝3，∴平移后函数经过点（2，3），故选：C．【变式1-1】（2021秋•长丰县期末）将一次函数y＝kx+2的图象向下平移3个单位长度后经过点（﹣2，1），则k的值为（）A．﹣1 B．2 C．1 D．﹣2【答案】A【解答】解：将一次函数y＝kx+2的图象向下平移3个单位长度后得到y＝kx+2﹣3＝kx﹣1，∵平移后的函数图象经过点（﹣2，1），∴1＝﹣2k﹣1，解得k＝﹣1，故选：A．【变式1-2】（2021春•东城区期末）在平面直角坐标系xOy中，将直线y＝2x+1向上平移2个单位长度后，所得的直线的解析式为（）A．y＝2x﹣1 B．y＝2x+2 C．y＝2x+3 D．y＝2x﹣2【答案】C【解答】解：由题意得：平移后的解析式为：y＝2x+1+2，即y＝2x+3．故选：C．【典例2】（2021秋•滨湖区期末）在平面直角坐标系中，把直线y＝﹣3x+4沿x轴向右平移2个单位长度后，得到直线的函数表达式为（）A．y＝﹣3x+6 B．y＝﹣3x+2 C．y＝﹣3x+10 D．y＝﹣3x﹣2【答案】C【解答】解：把直线y＝﹣3x+4沿x轴向右平移2个单位长度后，得到直线的函数表达式为：y＝﹣3（x﹣2）+4，即y＝﹣3x+10，故选：C．【变式2】（2021秋•福田区校级期末）在平面直角坐标系中，把直线y＝﹣2x+3沿x轴向右平移两个单位长度后．得到直线的函数关系式为（）A．y＝﹣2x+5 B．y＝﹣2x﹣5 C．y＝﹣2x+1 D．y＝﹣2x+7【答案】D【解答】解：把直线y＝﹣2x+3沿x轴向右平移两个单位长度后．得到直线的函数关系式为：y＝﹣2（x﹣2）+3，即y＝﹣2x+7，故选：D【考点2：一次函数与轴对称变换】【典例3】（2021春•东昌府区期末）在直角坐标系中，已知A，B是x轴上的两点，且A（6，0），AB＝10，点M是y轴上一点，连接BM，将△ABM沿过A，M的直线AM折叠，点B恰好落在y轴的点B′处．（1）求直线AB′的函数表达式；（2）求直线AM的函数表达式．【答案】（1）y＝﹣x+8或y＝x﹣8(2)y＝﹣x+3或y＝x﹣3．【解答】解：（1）∵A（6，0），AB＝10，∴OA＝6，AB′＝10，∵AB′2＝AO2+B′O2∴OB′＝8，∴B′（0，±8），设直线AB′的解析式为y＝kx±8，把A（6，0）代入得，0＝6k±8，∴k＝﹣或，∴直线AB′的函数表达式为y＝﹣x+8或y＝x﹣8；（2）在△MOB中，设OM＝a，则MB＝OB′﹣MO＝8﹣a，∵AB＝10，OA＝6，∴OB＝4，∴OB2＝MB2﹣MO2即16＝（8﹣a）2﹣a2，∴a＝3，M（0，±3），设直线MA的解析式为y＝kx+b，∴或，解得：或，∴直线AM的解析式为：y＝﹣x+3或y＝x﹣3．【变式3】（2021春•会昌县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．（1）求AB的长；（2）求点C和点D的坐标；（3）y轴上是否存在一点P，使得S△PAB＝S△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）5（2）D（0，﹣6）（3）（0，12）或（0，﹣4）．【解答】解：（1）令x＝0得：y＝4，∴B（0，4）．∴OB＝4令y＝0得：0＝﹣x+4，解得：x＝3，∴A（3，0）．∴OA＝3．在Rt△OAB中，AB＝＝5．（2）∵AC＝AB＝5，∴OC＝OA+AC＝3+5＝8，∴C（8，0）．设OD＝x，则CD＝DB＝x+4．在Rt△OCD中，DC2＝OD2+OC2，即（x+4）2＝x2+82，解得：x＝6，∴D（0，﹣6）．（3）存在，理由如下：∵S△PAB＝S△OCD，∴S△PAB＝××6×8＝12．∵点P在y轴上，S△PAB＝12，∴BP•OA＝12，即×3BP＝12，解得：BP＝8，∴P点的坐标为（0，12）或（0，﹣4）．【考点3：一次函数与旋转变换】【典例4】（2020秋•苏州期末）如图，一次函数y＝2x+b的图象经过点M（1，3），且与x轴，y轴分别交于A，B两点．（1）填空：b＝；（2）将该直线绕点A顺时针旋转45°至直线l，过点B作BC⊥AB交直线l于点C，求点C的坐标及直线l的函数表达式．【答案】（1）1（2）y＝x+．【解答】解：（1）∵一次函数y＝2x+b的图象经过点M（1，3），∴3＝2+b，解得b＝1，故答案为1；（2）∵一次函数y＝2x+1的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点．∴A（﹣，0），B（0，1），∴OA＝，OB＝1，作CD⊥y轴于D，∵∠BAC＝45°，BC⊥AB，∴∠ACB＝45°，∴AB＝BC，∵∠ABO+∠BAO＝90°＝∠ABO+∠CBD，∴∠BAO＝∠CBD，在△AOB和△BDC中，，∴△AOB≌△BDC（AAS），∴BD＝OA＝，CD＝OB＝1，∴OD＝OB﹣BD＝，∴C（1，），设直线l的解析式为y＝mx+n，把A（﹣，0），C（1，）代入得，解得，∴直线l的解析式为y＝x+．【变式4】（宿迁期末）如图，一次函数y＝（m+1）x+4的图象与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，且△OAB面积为4．（1）则m＝，点A的坐标为（，）．（2）过点B作直线BP与x轴的正半轴相交于点P，且OP＝4OA，求直线BP的解析式；（3）将一次函数y＝（m+1）x+4的图象绕点B顺时针旋转45°，求旋转后的对应的函数表达式．【答案】（1）1；﹣2，0；（2）y＝﹣x+4；（3）y＝x+4【解答】解：（1）由一次函数y＝（m+1）x+4，令x＝0，则y＝4，∴B（0，4），∴OB＝4，∵S△OAB＝4，∴×OA×OB＝4，解得OA＝2，∴A（﹣2，0），把点A（﹣2，0）代入y＝（m+1）x+4，得m＝1，故答案为：1；﹣2，0；（2）∵OP＝4OA，OA＝2，∴P（8，0），设直线BP的解析式为y＝kx+b，将（8，0），（0，4）代入得，解得k＝﹣，b＝4，∴直线BP的解析式为y＝﹣x+4；（3）设直线AB绕点B顺时针旋转45°得到直线BE，如图，过点A作AF⊥AB交BE于点F，作FH⊥x轴于H．则∠AHF＝∠BOA＝90°，AF＝BA，∠FAH＝∠ABO，∴△AOB≌△FHA（AAS），∴FH＝AO＝2，AH＝BO＝4，∴HO＝6，∴F（﹣6，2），设直线BE的解析式为y＝mx+n，则把点F和点B的坐标代入，可得，解得，∴直线BE的解析式为y＝x+4．【典例5】（2020秋•盱眙县期末）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4交x轴，y轴分别于点A，点B，将△AOB绕坐标原点逆时针旋转90°得到△COD，直线CD交直线AB于点E，如图1：（1）求：直线CD的函数关系式；（2）如图2，连接OE，过点O作OF⊥OE交直线CD于点F，如图2，①求证：∠OEF＝45°；②求：点F的坐标；（3）若点P是直线DC上一点，点Q是x轴上一点（点Q不与点O重合），当△DPQ和△DOC全等时，直接写出点P的坐标．【答案】（1）y＝x+3(2)①略②F（﹣，）（3）（﹣，﹣）、（﹣8，﹣3）、（﹣，）；【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+4交x轴，y轴分别于点A，点B，∴A（3，0），B（0，4），∴OA＝3，OB＝4，∵△AOB绕坐标原点逆时针旋转90°得到△COD，∴△AOB≌△COD，∴CO＝OA＝3，OD＝OB＝4，∴C（0，3），D（﹣4，0），设直线CD的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴直线CD的解析式为y＝x+3；（2）①由（1）知，△AOB≌△COD，∴OB＝OD，∠ABO＝∠CDO，∵OF⊥OE，∠COF+∠COE＝90°，∵∠COE+∠DOF＝90°，∴∠BOE＝∠DOF，在△BOE和△DOF中，，∴△BOE≌△DOF，∴OE＝OF，∵∠EOF＝90°，∴△EOF是等腰直角三角形，∴∠OEF＝45°；②）如图2，∵直线AB的解析式为y＝﹣x+4①，由（1）知，直线CD的解析式为y＝x+3②；联立①②得，E（，），过点F作FG⊥OD．过点E作EH⊥OB，由①知，△BOE≌△DOF，∴∠BOE＝∠DOF，OE＝OF在△OHE和△OGF中，，∴△OHE≌△OGF，∴OG＝OH＝，FG＝EH＝∴F（﹣，），（3）如图1，①∠DP'Q'＝90°，∵△P'Q'D≌△OCD，∴DP'＝OD＝4，∵∠CDO＝∠P'DQ'，∴cos∠P'DQ'＝，sin∠P'DQ'＝，作P'H⊥x轴，则DH＝DP'•cos∠PDQ＝，P'H＝DP'•cos∠PDQ＝，∴OH＝OD+DH＝∴点P'坐标（﹣，﹣）；②∠DQP＝90°，∵△PQD≌△COD，（SAS）∴DQ＝OD＝4，PQ＝3，∴点P坐标（﹣8，﹣3）；③∠DP''Q''＝90°，∵△P''Q''D≌△OCD，（SAS）∴DP''＝OD＝4，P''Q''＝OC＝3，∴P''G＝DP''•sin∠CDO＝，DG＝DP''•cos∠CDO＝，∴OG＝，∴点P坐标（﹣，）；即：△DPQ和△DOC全等时，点P的坐标为（﹣，﹣）、（﹣8，﹣3）、（﹣，）；【变式5】（2018•莆田一模）规定：在平面直角坐标系内，某直线l1绕原点O顺时针旋转90°，得到的直线l2称为l1的“旋转垂线”．（I）求出直线y＝﹣x+2的“旋转垂线”的解析式；（II）若直线y＝k1x+1（k1≠0）的“旋转垂线”为直线y＝k2x+b．求证：k1•k2＝﹣1．【答案】（1）y＝x﹣2（2）略【解答】解：（I）直线y＝﹣x+2经过点（2，0）和（0，2），则这两点绕原点O顺时针旋转90°，得到的对应点为（0，﹣2）和（2，0），设直线y＝﹣x+2的“旋转垂线”的解析式为y＝kx+b，把（0，﹣2）和（2，0），代入y＝kx+b，可得，解得，∴直线y＝﹣x+2的“旋转垂线”的解析式为y＝x﹣2；（II）证明：直线y＝k1x+1（k1≠0）经过点（﹣，0）和（0，1），则这两点绕原点O顺时针旋转90°，得到的对应点为（0，）和（1，0），把（0，）和（1，0），代入y＝k2x+b，可得，∴，∴k1k2＝﹣1．1．（2020•天津二模）若一次函数y＝kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象与直线y＝﹣2x平行，且过点（2，﹣1），则一次函数的解析式为．【答案】y＝﹣2x+3【解答】解：因为一次函数y＝kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象与直线y＝﹣2x平行，所以k＝﹣2，则一次函数解析式可设为y＝﹣2x+b．又因为一次函数过点（2，﹣1），代入y＝﹣2x+b得，﹣1＝﹣2×2+b，解得，b＝3．所以一次函数解析式为：y＝﹣2x+3．故答案为：y＝﹣2x+3．2．（2021秋•富川县期末）将直线y＝3x﹣2平移后，得到直线y＝3x+4，则原直线（）A．沿y轴向上平移了6个单位 B．沿y轴向下平移了6个单位 C．沿x轴向左平移了6个单位 D．沿x轴向右平移了6个单位【答案】A【解答】解：将直线y＝3x﹣2沿y轴向上平移了6个单位后，得到直线y＝3x+4，∴故选：A．3．（2021春•碑林区校级期中）如图，一次函数y＝2x+b经过M（1，3），它的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点．（1）求△AOB的面积．（2）将该直线绕点A顺时针旋转45°至直线l，过点B作BC⊥AB交直线l于点C，求点C的坐标及直线l的函数表达式．【答案】（1）（2）y＝x+．【解答】解：（1）∵一次函数y＝2x+b的图象经过点M（1，3），∴3＝2+b，解得b＝1，∴y＝2x+1，令y＝0，则x＝﹣；令x＝0，则y＝1，∴A（﹣，0），B（0，1），∴OA＝，OB＝1∴△AOB的面积＝＝；（2）作CD⊥y轴于D，∵∠BAC＝45°，BC⊥AB，∴∠ACB＝45°，∴AB＝BC，∵∠ABO+∠BAO＝90°＝∠ABO+∠CBD，∴∠BAO＝∠CBD，在△AOB和△BDC中，，∴△AOB≌△BDC（AAS），∴BD＝OA＝，CD＝OB＝1，∴OD＝OB﹣BD＝，∴C（1，），设直线l的解析式为y＝mx+n，把A（﹣，0），C（1，）代入得，解得，∴直线l的解析式为y＝x+．4．（2021秋•无锡期末）如图1，点A的坐标为（4，0），点B为y轴正半轴上一个动点，将点A绕着点B顺时针旋转90°到C的位置．（1）若点C的横坐标为：﹣2，求直线AB的函数表达式；（2）如图2，若x轴恰好平分∠BAC，BC与x轴相交于点E，过点C作CD⊥AE于点D，试探究AE与CD的数量关系；（3）如图3，将点O绕着点B逆时针旋转90°到点D，连接DC，在点B的运动过程中，CD与y轴相交于点F，则线段BF的长度是否改变？若不变，求出BF的长度，若改变，请说明理由．【答案】（1）y＝x+2（2）AE＝2CD（3）BF＝FG＝BG＝2【解答】解：（1）过点C作CG⊥y轴于点G，则∠BGC＝∠AOB＝90°，∴∠BAO+∠ABO＝90°，∵∠CBG+∠ABO＝90°，∴∠BAO＝∠CBG，∵A（4，0），点C的横坐标为﹣2，∴OA＝4，CG＝2，由旋转可知：BA＝BC，在△ABO和△BCG中，，∴△ABO≌△BCG（AAS），∴BG＝OA＝4，OB＝CG＝2，∴B（0，2），设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（4，0），B（0，2）代入，得：，解得：，∴直线AB的解析式为y＝x+2；（2）如图2，延长CD与AB交于点H，∴∠CBH＝90°，∵CD⊥x轴，∴∠BCH+∠H＝90°，∵∠HAD+∠H＝90°，∴∠BCH＝∠HAD，由旋转可知：BA＝BC，在△CHB和△AEB中，，∴△CHB≌△AEB（ASA），∴AE＝CH，∵x轴平分∠BAC，CD⊥x轴，∴CD＝DH，∴CH＝2CD，∴AE＝2CD；（3）线段BF的长度不改变．如图3，过点C作CG⊥y轴于点G，由（1）知：△ABO≌△BCG，∴OB＝CG，BG＝OA＝4，∵将点O绕着点B逆时针旋转90°到点D，∴∠DBF＝∠CGF＝90°，DB＝OB，∴DB＝CG，在△DBF和△CGF中，，∴△DB