建筑力学 第章 组合变形杆的强度计算

第10章组合变形杆的强度计算[内容提要]本章介绍了组合变形的概念和截面核心的概念；阐述了斜弯曲、偏心压缩(拉伸)、弯扭组合变形内力和应力分析方法及其应用。10.1组合变形的概念·工程实例

前面各章讨论了杆件在荷载作用下产生的几种基本变形：轴向拉伸(压缩)、扭转、和平面弯曲。但在实际工程中，所有杆件受力后往往产生的变形不是单一的基本变形，而是同时由两种及以上基本变形组成的复杂变形，此情形下,我们称构件的这类变形为组合变形。构件的复杂变形中,如果其中一种变形形式是主要的，由它引起的应力(或变形)比其它的变形形式所引起的应力(或变形)大很多(大一个数量级以上)，则构件可按主要的变形形式进行基本变形计算。如果几种变形形式所对应的应力(或变形)属于同一数量级，我们就必须按照组合变形的理论进行计算。组合变形在实际工程中常常遇到。例如图10-1(a)所示的烟囱的变形除自重引起的轴向压缩外，还有因水平方向的风力而引起的弯曲；图10-1(b)所示的机械中的齿轮传动轴在外力作用下，将同时发生扭转变形及在水平平面和垂直平面内的弯曲变形；图10-1(c)所示的有吊车的厂房中，立柱受到由吊车梁传来的具有偏心距e的竖向荷载，立柱将同时发生轴向压缩和弯曲变形。图10-1对于组合变形下的构件，在小变形和胡克定律适用的前提下，可以应用叠加原理来处理杆件的组合变形问题。。组合变形杆件的强度计算，通常按照下述步骤进行：将作用于组合变形杆件上的外力分解或简化为基本变形的受力方式；应用以前各章的知识对这些基本变形进行应力计算；将各基本变形同一点处的应力叠加，以确定组合变形时各点的应力；分析确定危险点的应力，建立强度条件。本章着重讨论工程中常遇到的下列几种组合变形：(1)斜弯曲；(2)偏心压缩(拉伸)；(3)弯曲与扭转的组合。10.2斜弯曲杆在研究梁平面弯曲时的应力和应变的过程中，梁上的外力是横向力或力偶，并且作用在梁的同一个纵向对称平面内，弯曲后梁的挠曲线仍在此对称平面内，即梁的挠曲线所在平面与外力作用平面相重合，且力平面与中性轴垂直。如果梁上的外力虽然通过截面形心，但是并没有在纵向对称平面内，而是与截面的某一对称轴成一角度，则梁变形后的挠曲线就不会在外力作用平面内，即不再是平面弯曲，这种弯曲称为斜弯曲。10.2.1斜弯曲杆的内力和应力

现以如图10-2所示的矩形截面悬臂梁为例来分析斜弯曲时梁的强度计算问题。设在梁的自由端处平面内作用有一个垂直于梁轴，并通过截面形心且与形心轴y成角度φ的外力P作用，由上可知，该梁将发生斜弯曲。为便于说明问题，通常设外力P所在象限为选定坐标系的第一象限。图10-21.外力分析根据组合变形的计算方法，首先将力P沿y轴和z轴方向分解，得到力P在梁的两个纵(横)向对称平面内的分力(如图10-2(b))将力P用与之等效的和代替后，只引起梁在xy平面内的平面弯曲，只引起梁在xz平面内的平面弯曲。由此可知，斜弯曲实质是梁在两个相互垂直方向平面弯曲的组合，故又称双向弯曲。将力P用与之之等效的和代代替后，只引引起梁在xy平面内的平平面弯曲，只只引起梁在xz平面内的的平面弯曲。。由此可知，，斜弯曲实质质是梁在两个个相互垂直方方向平面弯曲曲的组合，故故又称双向弯弯曲。2.内内力分析在、作用下，，横截面上的的内力有剪力力和弯矩两种种内力，一般般情况下，特特别是实体截截面梁时，剪剪力引起的切切应力数值较较小，常常忽忽略不计，斜斜弯曲梁的强强度主要是由由正应力控制制，故通常只只计算弯矩的的作用。在距固定端端为x的横横截面m——m截面上上由和分别别引起的弯弯矩为：产生的弯矩矩：产生的弯矩矩：式中，为为力力P引起的m——m截面上上产生的总总弯距且，，所以以、、也也可以看作作总弯矩在在两两个形心轴轴z、y轴轴上的分量量。3.应应力分析析应用叠加原原理，可以以求得m——m截面上上任意一点点K(y，z)处的应力力。先分别别计算两个个平面弯矩矩在K点产生的应应力：引起的应力力为：引起的应力力为：由Mz、My分别引起的的应力分布布，组合应应力分布分分别如图10­-3(a)、、(b)、、(c)所所示。以上两式中中的负号是是由于K点点的应力均均是压应力力之故。根根据叠加原原理，则点点K处的应应力便便是以上上两式的代代数和：(10-1)这就是斜弯弯曲时梁内内任意一点点K处正应应力计算公公式。应用用上式计算算任意一点点处的应力力时，、、、、y、z均均以绝对值值代入，应应力与与的的正负负号可以直直接由变形形情况来判判断。如图图10-2所示的m—m截面面在单单独作作用时，上上半截面为为拉应力区区，下半截截面为压应应力区，在在单单独作用用下，左半半截面为拉拉应力区，，右半截面面为压应力力区，故图图示的K点应力均为为压应力。。对于工程中中常用的矩矩形、工字字型等截面面具有两个个对称轴，，最大正应应力必定发发生在棱角角点上。将将离中性轴轴最远的几几个点的坐坐标代入(10-1)式，便便可求得任任意截面上上的最大正正应力值。。对于等截截面梁而言言，产生最最大弯矩的的截面就是是危险截面面。危险截截面上所所处的位位置即为危危险点。如图10-2所示悬悬臂梁的固固定端截面面弯矩最大大，截面棱棱角点A处处具有最大大拉应力，，棱角点C处具有最最大压应力力。，，，，所以。。危险点的的应力为：：(10-2)上式中：为为截截面对z轴轴的抗弯截截面模量；；为截面对y轴的抗弯弯截面模量量；；。。10.2.2斜弯弯曲杆的强强度计算假定材料的的抗拉和抗抗压强度相相等，则梁梁斜弯曲时时危险点处处于单向应应力状态，，则强度条条件为：(10-3)或写为(10-4)根据这一强强度条件，，同样可可以进行斜斜弯曲杆的的强度校核核、截面设设计和确定定许可荷载载三类问题题的计算。。但是，在在设计截面面尺寸的时时候，要遇遇到和和两两个个未知量，，可先假定定一个的的比比值，根根据上式计计算出所需需的值，从从而确定定计算出值值及确定截截面的尺寸寸，再按按照式(10-4)进行强度度校核。通通常矩形形截面取=1.2~2；工工字型型截面取=8~10；槽型截截面取=6~8。【例10-1】图10-4所所示图形为为一No32a工字字钢截面简简支梁，跨跨长l=4m，跨跨中受集中中力作用，，P=30kN，P的作用线线与横截面面铅垂对称称轴y之间间的夹角=，，若材材料的容许许应力=170Mpa，，试校核该该梁的正应应力强度。。图10-4解：1、分解解外力2、计算内内力在xoy平平面内，引引起的在跨跨中截面(见图10-4(c))在xoz平平面内，引引起的仍在在跨中截面面3、计算应应力显然，危险险截面在跨跨中，危险险点为D、、E。D点点处的拉应应力最大，，E点处的的压应力最最大，且其其值相等。。根据型钢表表查得No.32a工字钢的的有关参数数为：=70.8cm3，=692.2cm3。将此数据据代入式(10-3)，得危危险点处的的正应力为为：若外力不偏偏离纵向对对称平面，，即=，，则跨跨中截面上上的最大正正应力为由以上计算算结果分析析可知：：由于于力P偏离离了=170，而最大正正应力就由由43.3Mpa变变成了165.3Mpa，增增加了3.8倍。这这是由于工工字钢截面面的远远小于于的的缘故，，所以应注注意使外力力尽可能作作用在梁的的形心主惯惯性平面0xy内。【例10-2】如图图10-5所示屋面面结构的檩檩条，跨长长=3m，受受集度为q=1kN/m的的均布荷荷载作用。。檩条采用用高宽比h/b=1/1的的矩形截面面，均布布荷载的作作用线与横横截面铅垂垂对称轴y之间的夹夹角=，，容许应应力=10Mpa，，试选择其其截面尺寸寸。图10-5解：1、分解解外力2、计算内内力3、设计截截面根据定义可可知，，，，从而代入强度条条件式(10-3)得又故可得根据以上的的计算结果果，可以选选择截面的的类型为：：。。10.3偏偏心受压压(拉)杆杆前面章节讨讨论的轴向向压缩(拉拉伸)杆件件的受力特特点是压力力作用线与与杆件的轴轴线相重合合，这时截截面上每一一点的应力力大小相等等且方向相相同。当杆杆件所受到到的外力作作用线和杆杆轴线平行行但是不重重合时，杆杆件的截面面上各点的的应力大小小将发生变变化，应力力方向甚至至发生改变变，这种因因外力作用用线与杆件件轴线不重重合导致杆杆件截面上上的应力大大小和方向向的变化称称为偏心压压缩(拉伸伸)。10.3.1偏心心压受(拉拉)杆的内内力和应力力1、单向偏偏心受力时时的内力和和应力图10-6如图10-6(a)所示一矩矩形截面杆杆在偏心压压力P作用用下，P作作用在y轴轴的K点处处，K点到到形心Ｏ的的距离称之之为偏心距距，将力P向杆端截截面形心ＯＯ简化(图图10-6(b)所所示)，得得到一个轴轴向力P和和力偶矩M=P·e。杆内任意意一个横截截面l—l(图10-6(c)所示)上上存在有两两种内力：：轴向压力力FN=P，弯矩M=P·e。分别引起起轴向压缩缩和平面弯弯曲，即偏偏心压缩实实际上是轴轴向压缩和和平面弯曲曲的组合变变形。既然偏心受受力是轴向向受力和平平面弯曲的的组合变形形，那么可可以在小变变形、弹性性假设条件件下分别按按照轴心受受力和平面面弯曲两种种基本变形形来求解各各自的内力力和应力，，然后采用用叠加原理理来求相应应的内力和和应力。按照上述的的思路，对对如图所示示一偏心受受压杆截面面上某点K处的应力力，可先分分别考虑轴轴向压缩和和平面弯曲曲两种基本本变形在K点处的应应力(如图图10-6(d)所所示)。轴向压缩时时，截面上上各点处的的应力均相相等，压应应力的大小小为：平面弯曲时时，截面上上K一点的的应力为压压应力，其其值为：故K点的总总应力为：：(10-5)上式中,A－横截截面面积；；－截面对ｚｚ轴的惯性性距；ｙ－所求应应力点到ｚｚ轴的距离离，计算时时代入入绝对值。。分析(10-5)式式可以看出出，偏心受受压杆截面面某点K的总应力符符号与、、两两者的的相对大小小有关，但但是应力的的分分布规律仍仍呈线性(如图10-5(d)所示)，横截面面上正应力力为零的点点组成的直直线N—N(如图10-5(a)所示示)，称为为零应力线线，即中性性轴。截面面上最大拉拉应力和最最大压应力力分别发生生在AB边边缘及CD边缘处，，其值为：：(10-6)截面上各点点均处于单单向应力状状态，强度度条件为(10-7)对于矩形截截面的偏心心压缩杆，，于，，，，，，代入式(10-6)可写成成(10-8)AB边缘上最大大拉应力的的正负号号，由式(10-8)中确确定，可能能出现三种情况况：(1)、当时时，，，，整个截面上上均为压应力。。(2)、当时时，，，，整个截面上均均为压应力，且且一个边缘处应应力为零。(3)、当时时，，整个截面上有有拉应力和压应应力，两种应力力同时存在。可见，偏心距e的大小决定着着横截面上有无无拉应力，而成成为有无拉应应力的分界线。。2、双向偏心受受力时的内力和和应力图10-7当压力P不是作作用在对称轴上上，而是作用在在端截面上任意意位置K点处(见图10-7(a))，距距z轴的偏心距距为，距y轴的偏心距为为，这种受受力情况称为双双向偏心压缩。。双向偏心压缩缩的计算方法和和步骤与前面的的单向偏心压缩缩类似。将力P向端截面面形心O简化得得到轴向压力P(见图10-7(b))，，对z轴的力偶偶距Mz=P·e1及对y轴的力偶偶距My=P·e2。由此可见，双双向偏心压缩实实质上是压缩和和两个方向的纯纯弯曲的组合，，或压缩与斜弯弯曲的组合变形形。根据叠加原理，，可得杆件横截截面上任意一点点C(y，z)处的应力分为为三部分应力的的叠加：轴向压力P在C点处引起的应应力为引起的C点处的的应力为引起的C点处的的应力为C点处的总应力力为(10-9)上式中：A表示构件截面面面积表示截面对z轴轴的惯性距表示截面对y轴轴的惯性距y表示所求应应力点到z轴的的距离，计算时时代入绝对值z表示所求应应力点到y轴的的距离，计算时时代入绝对值应力的正负号仍仍然是根据截面面上的内力情况况及所求点的位位置，由观察变变形情况而确定定，拉应力为正正，压应力为负负，对图10-7(c)所示示的截面分析可可知，最大拉应应力点产生在E点处，最大压压应力点产生在在F点处，其值值为(10-10)最大应力点处于于单向应力状态态，强度条件为为(10-11)单向偏心压缩时时所得的式(10-6)、(10-7)，，实际上是式(10-11)的特殊情况，，即压力作用在在端截面的一根根形心轴上，其其中一个偏心距距为零。【例10-3】】如图10-8所示一矩形柱柱。外力P=30kN，偏心心距e=50mm，柱高为1m，柱截面有有关尺寸为：h=200mm，b=150mm。材料的的容许压应力=13Mpa，容容许拉应力=10Mpa，试校校核该柱的强度度。解：1、、外力分析可可将外力P简化化为一轴心压力力P和一绕z轴轴的力偶距m=P·e。2、内力分析任任意截面上轴轴力和弯矩相等等，且其大小为为：轴力FN=P=-30kN弯矩Mz=m=30×0.05=1.5kN.m3、应力分析由由分析可知AB边上的拉应应力最大，CD边上的压应力力最大，利用公公式(10-6)可得其值分分别为：MPa图10-84、强度校核按按照公公式(10-7)可知，该柱柱的抗拉、抗压压强度能满足要要求。【例10-4】】条件同例10-3，此外在在柱顶端沿z轴轴方向且通过截截面中心O点尚尚有一水平力作作用(见图10-8)，其大大小为F=7kN，试校核其其强度。解：1、外力分分析除轴向压压力P和一等效效力偶m外，还还有F引起的绕绕y轴的力偶距距。2、内力分析在P和m作用下下各截面内力相相同，但在F作作用下柱底截面面上的弯矩最大大，故柱底截面面为危险截面，，面上的力为轴力FN=P=-30kN弯矩Mz=m=30×0.05=1.5kN.mMy=F×H=7××1.0=10kN.m3、应力分析B点处：MPaD点处：MPa故该柱仍能满足足强度要求。10.3.3截截面核心概念念本章前面曾分析析指出过，偏心心受压杆件截面面上是否出现拉拉应力与偏心距距的大小有关。。若外力作用在在截面形心附近近的某一个区域域，使得杆件整整个截面上全为为压应力而无拉拉应力，这个外外力作用的区域域就称之为截面面核心。下面将将分别简述矩形形截面和圆形截截面的截面核心心。1．矩形截面的的截面核心矩形截面上不出出现拉应力的强强度条件是公式式中的拉应力等等于或者小于零零，即：将矩形截面的，，及及代代入上式，化化简得到：上式即是以E点点的坐标、、表示的的直线方程。分分别令或或者等于于零，可得出此此直线在z轴上上和y轴上的截截距、，，即这表明当力P作作用点的偏心距距位于y轴和z轴上六分之一一的矩形尺寸之之内时，可使杆杆件截面所有点点上均不产生拉拉应力；由于截截面的对称性，，可得另一对偏偏心距，这样可可以在坐标轴上上确定四个点(1、2、3、、4)，这四个个点称之为核心心点。因为直线线方程中中中、、是是线性关系，，可以用直线连接这四四点，得到一个个区域，这个区区域即为矩形截截面上的截面核核心。若压力P作用在这个区区域之内，截面面上的任何部分分都不会出现拉拉应力。2．圆形截面的的截面核心由于圆形截面是是极对称的，所所以截面核心的的边界是个圆，，按照上面相类类似的思路，可可以证明其截面面核心的半径是是。10.4弯-扭组合变形杆杆10.4.1弯弯-扭组合变变形杆的内力、、应力图10-9除了上述的斜弯弯曲、偏心受压压(拉)外，工工程中还有弯-扭组合变形也也较为常见。对对于图10-9所示的水平曲曲拐，等直原杆杆AB直径为d，A端固定，，B端具有与AB成直角的刚刚臂BC，并承承受铅垂力P的的作用，将P力力向AB杆右端端截面的形心B简化(图10-9(b))，简化后的静静力等效力系为为一作用在杆端端的横向力P和和一作用在杆B端的力偶Pa。可见，杆AB将发生弯曲曲和扭转的组合合变形。分别作作杆的弯矩图和和扭矩图(图10-9(c)、(d))，，由内力图可见见，杆的危险截截面为固定端，，其内力分量为为，由弯曲和扭转的的应力变化规律律可知，危险截截面上的最大弯弯曲正应力发生生在铅垂直径的的上、下两端点点D、E处(如如图10-9(c))，而最最大扭转切应力力发生在截面周周边的各点处，，应力状态如图图10-9(f)所示。危险险截面上的危险险点为D和E，，其最大弯曲正正应力和最大扭扭转切应力分别别为，(10-12)10.4.2弯弯-扭组合变变形杆的强度计计算因危险点处于二二向应力状态，，对于塑性材料料制成的构件，，可通过强度理理论来建立强度度条件。由第三三、第四强度理理论建立的强度度条件为(10-13)对于圆形杆件，，强度条件的表表达式为(10-14)【例10-5】】如图10-10所示一两端端铰支、杆中点点为一转轮的手手摇卷扬机示意意图。已知机轴轴直径=30mm，转轮直径径R=200mm，l=1000mm，材料的容许许应力=160Mpa，试按第第三强度理论确确定手摇卷扬机机的最大起重量量P。图10-10解：(1)外力力分析将P向向轴心C简化，，得到一竖向力力P和力偶距PR。AC段有有弯-扭组合变变形。(2)内力分析析扭矩T=PR=0.1P弯矩圆轴的抗弯模量量(3)强度计算算根据公式(10-14)可得得解得P≤1.58kN小结本章在各种基本本变形的基础上上，主要讨论了了斜弯曲、偏心心压缩(拉伸)和弯-扭组合合变形杆三种组组合变形的强度度计算和截面核核心的概念。组合变形的应力力计算仍采用基基于小变形假设设的叠加原理。。分析组合变形形构件强度问题题的关键在于：：对于任意作用用的外力进行分分解或简化。只只要能将组成组组合变形的几个个基本变形找出出，便可应用熟熟知的基本变形形计算知识来解解决。组合变形杆件强强度计算的一般般步骤如下：1、外力分析：：首先将作用在在构件上的外力力向截面形心处处简化，使其产产生几种基本变变形形式；2、内力分析：：分析构件在每每一种基本变形形时的内力，从从而确定出危险险截面的位置；；3、应力分析：：根据内力的大大小和方向找出出危险截面上的的应力分布规律律，确定出危险险点的位置并计计算其应力；4、强度计算：：根据危险点的的应力进行强度度计算。斜弯曲与偏心压压缩的强度条件件为本章主要的应力力强度计算公式式及强度条件为为：斜弯曲应应力公式强度条件单向偏心压缩应应力公公式强度条件双向偏心压缩应应力公公式强度条件弯-扭组合应应力公公式，，强度条件圆轴弯扭组合强强度度条件偏心压缩