线性代数重难点大纲

绪论从高科技本质上确实是数学技术到CT技术到数学应用到数学建模到黑客帝国2的阵母。工程数学之线性代数《线性代数》要紧讲述矩阵的初步理论及其应用，包括矩阵的代数运算；矩阵的秩与初等变换；矩阵的特点值、特点向量与相似，和线性方程组和二次型n向量空间相关性理论那么是本课程的难点所在全各部份以线性空间与线性变换为主线慢述欧氏空间的理论使学生把握线性代数的体理论与方式方面为学生学习相关课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的基础，另一方面培育学生成立数学模型解决实际问题的能力。

内容概述行列式是线性代数中一个重要概念。本章从二、三元方程组的解的公式动身，引出二阶、三阶行列式的概念，然后推行n阶行列式，并导出行列式的一些大体性质及行列式按行（列）展开的定理，最后讲用行列式解n元方组的克拉默法那么。教目：习二阶、三阶行列式的概念，了解逆序概念，把握n阶行列式概念和性质。重难：阶行列式概念和性质教进：一温习阶三行式概念．二行式咱们从二元方程组的解的公式，引出二阶行列式的概念。在线性代数中，将含两个未知量两个方程式的线性方程组的一样形式写为（1用减消元法容易求出未知量x，x的，当

a011221221

时，有（2（1）（2）这确实是二元方程组的解的公式。但那个公式不行记，为了便于记那个公式，于是引进二阶行列式的概念。咱们称记号3）为二阶行列式，它表示两项的代数和：（3）即概念（）

a112212二阶行列式所表示的两项的代数和用下面的对角线法那么经历从左上角到右下角两个元素相乘取正号，这条连线为主对角线；从右上角到左下角两个元素相乘取负号连线为副对角或次对角线由于公式3）的行列式中的元确实是二元方程组中未知量的系数，因此又称它为二元方程组的系数行列式，并用字母D表示若是将D中第一列的元素a，a换成常数项b，b，么可取得另一个行列式，用字母表示，按二阶行列式的概念，它等于两项的代数和：，确实是公式（）x的表达式的分子。同理将D中二列的元素a换常数项，b，可取另一个行列式，用字母D表，按二阶行列式的概念，它等于两项的代数和ab-b，确实是公式2）中x的

1212达式的分子。于是有于是二元方程组的解的公式又可写为三行列式

DD1其DDD含有三个未知量三个方程式的线性方程组的一般形式为（1还是用加减消元法，即可求得方程组1的解的公式，当时，有（）这确实是三元方程组的解的公式。那个公式更不行记，为了便于记它，于是引进三阶行列式的概念。咱称记号为三阶行列式。三阶行列式所表示的项的数和，也用对角线法那么来经历从左上角到右角三个元素相乘取正号右上角到左下角三个元素取负号，即（3）由于公式（）行列式中的元素是三元方程组中未知量的系数，因此称它为三元方程组的系数行列式，也用字母D来示。同理将D中第一列第二列、第三列的元素别离换成常数项,bb13

就能够够取得另外三个三阶行列式，别离记为

DD12

于是有

1122nn12n111n1122nn12n111n1依照三阶行列式的概念，它们都表示6项代数和；而且别离是公式）x，x，x的达式的分子，而系数列式D是们的分母。于是三元方程组的解的公式又可写为D例：计算

x

DDD,,DDD

，其中D≠0解：

D二排、序与换1．排列概念（排列）：由n个不的元素1,2,3,…,n成的任一有序数组，称为这n个素的全排列，简称排列。N个元排列的总数为个2．逆序概：咱们将n个同的自然数从小到大规定为标准顺序，如12345。在一个排列p

p...p中若是有某个较大的数i排在较小的数前面，就称排列有一个逆序。例如在12354中，大的数5排在小的数之前，就称排列有一个逆序或5与4为一个逆序。一个排列p...p中序的总，称为此排列的逆序数，记为N(pp)。例如N（12345）=0，N）=1N）=2求个列的序的式：1n法：先求一个元素p的逆数N即面有几个比它大的数，再求第二个元素p的逆序数，，最后求第n个素的序数，将们加起来即可。法2：第一个元素p的面有几个比它小的数目N，求第二个元素的面比它小的数量N，…，最后第n个素的面比它小的数量N，它们加起来即可。法：先看数1看有多少个比大的数排在1前，记为N,再看有多少个比2大数排在面，记为N，，再看有多少个比n大数排在前，记为N(=0)即不管哪一种方式，都有

p1

2

pNn1

N

n例计算N）和N（34125）解：在32154中3的序数为的序数为的序数为逆序数为3,4的序数为即N（32514）=0+1+0+3+1=5.同N（34125）=0+0+2+2+0=43.奇排列概念若是N(p)为数，那么称p...p为排；若是N(pp...p)为偶数，那么称...p为偶排列规定：排列12…54是奇排列，34125是排列。4.对换例如在排列32145中将2与4对换，取得新的排列。这称为对换。概念（对换一排列a...a...a...a，若是只将a与a的置互换（其余均不动得另一个排列a...a...a...a，此的变换称为一次对换。将相邻元素

ppp对换，叫做相邻对换。pppN（34125）=4奇列经对换2与4后变成了偶排列N（32514）=5定1：一个列的意个素对，列变偶。证1)第讨论对换相邻两个元素的情形。设排列为

a1

aabbl

bm

将相邻两元素a与b作一次对换那么排列变成a1

al

bm

，显然对元素

a,abb1l1m

来讲，并非改变它们的逆序数。而a、b两元素的逆序数改变成：a＜b时，通过a与b换后，排列的逆序数增加个当a＞b时，通过a与b对后，排列的逆序数减少个因此对换相邻两元素后，排列改变了奇偶性。2)再讨论一样情形.设排列为

a1

al1

bm1

c

n

欲将a与b作次对换是对换不相邻的两元素的情形。但它能够看成是先将b对换…，最后与b对换，即与前面的元素作次相邻元素的对换变成排列

a1

aabbl

bm1

c

n

；然后将元素a与后面的元素b,b,…b,作m+1次相邻元素的换而成。即相当于作m+(m+1)=2m+1次邻两元素的对换。由前面证明的可知，排列的奇偶性改变了2m+1次不论为何数，2m+1必为数，说明排列改变了奇偶性。于是证明了任一排列通过一次对换后，其奇偶性改变。证推奇排调标排的换数奇，排调标准列对次为数证：由理知对的次数确实是排列奇偶性的转变次数，而标准排列是偶排列（逆数为0此知推论成立。毕三、行列式的概念

证观看

11D2131

122232

132333

=

aaaaaaaa112233122331132132223121331132寻觅规律：1)三阶行列式是！项的代数和。每一项都可写成

1p

2p

3

，正是来自不同行不同列的三个元素的积。

ppp13

时的个排列，当排列是偶列时，项取正号；反之取负号。因此，各项所带的符号能够表示为，t为列排列

pp123

的逆序数。即

11Da2131

122232

132333

=

(ap

表对123三数的所有排

pp13

取和。仿此，能够把行列式推行到一样情形。．概（阶行式念：由n

个元素排成n行n列数表（表）作出表中位于不同行不得同列n个数的乘积，冠于符号(，得形如的项，其2pnp中为然数12…n的个排列t为个排列的逆序数，如此的项共有n!项，所12n

det(或，ij数称行列式的元素。ij21222122213415a、有这n!项代数和aa称n阶行列,记作表2形为det(或，ij数称行列式的元素。ij21222122213415a、2pnpaaa1112n1112ijaaD

det(a)ij1n2

,

n2

表1

nn

n1

n

nn表2注意：一、n阶列式的概念有三个要点：（1）是n!项代数和；（2每一项的符号是：当其元素的行指标按自然数顺序排列后，如果列指标排列为偶排列，则取正号；如果为奇排列，则取负号；（3）每一项是取自不同行不同列的个素的乘积（这样的项恰有n!）二、由行列式的概念不难看出：若是一个行列式有一行（或一列）的元素全为零，那么此行列式的值必为零。3按此概念的二阶三阶行列式和前面用对角线法那么概念的二阶三阶行列式显然是一致的。当n=1时一阶行列式|a|=a不是对值。例3求角行列式D和（对角线或副对角线之外元素全为零的行列式三角形行列式D（对角线下方元素全为零的行列角形行列式D主对角线上方元素全为零的行列式）的值。

00

D

00a

D3

a11120a22

anan

D

a0aa022

D

0anan

0

00ann

aa

a

解显=D=

aa1122

a

nn

D＝D＝

(tn2,n

n(a=(n

aa12,

a．一概（n阶列概行列式的概念为Daa，行排列是标准排列不能够使列2np排列为标准排列？也确实是能够将通过假设干次的对换变成1pnp1qn而不改变原先的符号吗？先看对换一次情形如何：将a中npipjpijij对换为现在行标排列由1…i…j变1…j…i…n，序为r，由定理1知r奇数；列标排列由

p1ij

n

变成

1ji

n

，逆序为k，那定1得tk，于是(aaaaipjppjpipnpijji它说明对换两元素后，行标排列和列标排列之和不改变奇偶性。通过一次对换是如此，多次对换后仍是如此，假设干次后，列标排列

pp1

2

p

n

（逆序数为t）成自然排列（逆序数

可否淡化一点？为0标排成新排列

qq1

q

n

，逆序数为s，那么有(ap2

a

=

(s1

an

，由此可得：定n阶列也概为

D

(taq

an

其t为标列逆数。证：（书事实上n阶列还更一的念

D

(

a

a

a

q

其、t为行

标列排的序。四行式性记

a11a21

a12a22

a1a2

则

T

a11a12

a21a22

an1an2

称为行列式的置行列式an1

an2

ann

a1

a2

ann性1行式它转行式等证：

a11a21

a12a22

aa2

设

T

b11b21

b12b22

bnb2n

i,j,ijjian1

an2

ann

b

bn2

bnn则

DT

(tbp2pnp

(jj

j)

aa1p2

a

D说：列中与地相，行立性对也立反之然性2互行式两行列行式号互换ij两（）为

rrcij,i

j

）证设行列式

1

b11b21

b12b22

b1nb2n

是由原先的行列式

det()ij

变换ij两行取得的，bn1

bn2

bnn不是i,j行时，即k≠i,j,

akp

kp

；当是i,j行时即ki,j,

a,jpip

于是D(p

bipi

b

jp

j

b=

jpi

ip

j

=a

aip

j

a

jpi

a其中…i…j…n为自然排列t排列p

pi

pj

p

的逆序数，设排列p

p

j

pi

p

的逆序数为s，那么

t

故

(abpipjpji

证推：是列有行列相，么列为0（换两，-D=D故）性3用k乘行式某行列中有素等用数k此列。记：乘k记

r简kr；第列以，为ii

c，记。ii推：列中一（）公子够到列符外性4假行式两（）对应素比，么行式于0。性5若行式一（）两组的，么行式等两行式和而两行式这行列之全原行式对的（列一。

1

1n

2

b

+

c

c

c

n

n1

1a1

2

1

=

1222

2

+

12a22

cc

2nn1

2

n

n

n2

c

说：D=

(ap

b)a=ijp

i

a

c

j

性6行列的一（）所元乘同数k后加另行列）应元上，列的不。为

rkr(stst

1证：

D

st1n

s2t2

sntn

作

rkr得Dst1

1ttn1

stt2

sntntn

1n

na2sn

kat

kat2

katn

Dt

t2

tn

t

t2

tnn

n1

说：质5说能够将复杂的行列时分解为两个行列式，乃至能够继续下去；性质介绍了行列式的三种运算，利用这些运算进行化简，专门是利用性质6将列式化为（上）三角形行列式。12

注意淡化证明重在说明强化应用例4

计算

1301(把

a11

3换成，将该行或该列其他元素消成，继续消成三角形行列)11例5

313

（注意所有行或所有列的元素之和相等，那么全数加到第一行或第1一列，提取公因子，再消成三角形行列式）

12121212练习xxx是方程3

+x+1=0的个根，求

123

231

312

的值

c

例6

计算D

a4abc3a10c例7

判定：通过

rr,r121

计算

c

c

是不是正确？例8

设

D

k1c

kkc1n

1

，

D1

11k

1nkk

，

D2

111

1nncn

nk

n1

证明：D=DD五、小结：行列式的重点是计算，应当在明白得行列式的概念、把握行列式性质的基础上，熟练正确地计算低阶行列式会恒等变形化行列式为上下三角形行列式从而直接求其值。六、作业：的一、二、、4（（17（）板：课反：5）

ijij内容概述：矩阵是数学中的一个重要的概念；它是线性代数的要紧研究对象之一，在科学技术及经济领域中有普遍的应用阵论贯穿线性代数始终对矩阵的明白得和把握要扎实深切融会贯通。这一章的目的是引入矩阵的概念及运算，并讨论它们的一些大体性质，最后给出两种求逆矩阵的方式。考试要求：1明得矩阵概念，了解一些特矩阵概念2把矩阵线性运算、乘法、转和它们的运算规律；了解方阵的幂、方阵行列式3明白逆矩阵概念，把握其性质、矩阵可逆的充要条件；明白得伴随矩阵，会用它求逆阵4了分块矩阵概念及运算由m×n数

(ij)ij

排成一个行n列矩表称为个m行n列矩阵，简称m×n矩阵其中的元素称为矩阵的第行j列的素。

a1aanSa1aanS

aa1112aa2122

aina2n

aa1m2

通，们用大写拉丁字母，C等表示矩阵，为了明确起AA见，有时在右下角标明矩阵的行数和列数，例或作m或=元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。同矩：个矩阵的行数相等、列数也相等

)ijm矩相：阵例；A=B

ABmm

是同型矩阵且它们的元素都相等ai,j)ijij取得x=y=z=2一特殊的矩阵：零阵ZeroMatrix):素全为零的矩阵称为零矩阵m零阵记作或。注m意：不同阶数的零矩阵是不相等的。行阵RowMatrix):只有一行的阵A,a矩(或向量.2n列阵Column只一列的矩阵称为列矩或向)方行与列数都等于n的阵，称为n阶阵

An对阵Matrix):方阵对元素不全为零对角元素都为零=diag{}数矩方阵，主对角元素全为非零常数k，其余元素全为零单矩方阵，主对角元素全为1，其余元素都为零。记作

E

n

或行式矩的别一是式一是表一个列相,一行数不.对n阶方可它行式记为:A

0000

000

，

2

i列矩阵，

是复矩阵是方阵diag(a,a2

)

是对角阵,

n

是数量矩阵

n矩阵应实例：(价矩某工厂往三家商Shop)送四种食物(，

ij

表示第i商店第j种食物的数量，单位量的售(某种货币单位)和重量可用以下两个矩阵给出FFFF1122B

例：(通矩)四个城市的通路如图从i市j市有通路，aij

从i市j市有通路

ij

那这四个城市的通路可用矩阵表示，能够将它推行到假设干个城市：

111110111110将变y116821.A)ij

1100001

例：博矩)我古代有齐王赛”的事例说战国时期齐王与其大将田忌赛马,两约定各出上、中、下个品级的马各一匹进行竞如共赛马3次每竞赛的败者付给胜者一百金。已知在同一品级马的竞赛中，齐王之马可稳操胜券但忌的上、中品级的马别离可胜齐王11中、下品级的马。竞赛策略：上中、下，2=(中、上、111下)，3=(、中、)，上、下、中)，中下、上，31下上、)，表示齐王的第i种略对田忌的第j种11ij策略的结果，别离为31-3么齐王的博得矩阵A如下图。从矩阵中能够取得齐王策略和田其策略。

例4(系数矩个量,x与个1n变量,之间的关系式如下图表示一个从12变量,x到量y,yy的性变换1n中是数。线性变换的系数组成系数矩阵ijija)ij

xaa21122x1

xnnnnax线性变换确信系数矩阵反亦线性变换和系数矩阵存在着一一对应的关系后咱们研究线性变换只需研究系数矩阵即可。专门的，某些线性变换对应着特殊的矩阵：恒等变换

x1x

100

010

001

单位阵

y1y22yn

0例5（投影换旋变）对线变换

x1y1

如下图

sin

对应线性变换

x1ysin1

将变成如图y1二、矩阵的运算：1．矩的加法：概念：两个m行n列阵

P(x,y)

y

(x)111和Bb)ijij

对应位置

元素相加取得的m行n列矩阵，

x称为矩阵A与B的,记为A+B，

(x,0)

0应当注意:只有个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算。例68

aaaa2122a12m2

a1na2nnamnmn

11

11211

12

ij1ij10001负矩阵：

a)ij

，

)ij

称为负矩阵那么减法为：（-B）A+（-A矩阵加（减）法运算以下运算律。，B，C，O都是m×n矩阵，那么有：（1）A+B=B+A（换律）A+（B+C）=）+C（结合律）A+O=O+A=A2、数乘：概念（数和矩阵相乘数λ矩阵的一个元素所取得的矩阵，称为数λ与矩阵A的积记为λA即，ij举例与阵A相乘数与行式相乘不同。A数乘运算律A、B是m×n矩阵λμ是数（2（3λμ)A=μA

.（4）(μ)A=μA）λ(A+B)=λA+λB表示数的结合律和分派律。注意：在（）中，左侧的0表数零，而右边的0那么表示行n列矩阵。矩阵相加与数乘合起来统称为矩阵的线性运算例7求足以劣等式的矩阵.3、矩阵的乘法：概念（矩阵的乘法设

a)ij

b)ijs

那么矩阵A和B的乘积c)ijm其中cbijiji2j

sbbissjikkj

;j

k说明：若是矩阵A的列数等于矩阵B的数，那么A与B够相乘，不然不可乘。其乘积C的i行列元素C等于矩阵的第i行的元素与矩阵B的j列对应元素乘积之和。而且矩阵C的行等于矩阵A的行数，矩阵C列数等于矩阵B的数。2矩阵乘法不可互换。

A(1,0,4),B(1,1,0)T

验证AB≠BA乃至无心义。3左乘和右乘有严格区别。假设AB=BA，互换。

4

4AB=0可能A≠0且B≠0即无真因子。验证BA=00

=05A=

B=

C=不知足消去律AB=AC→B=C反之成立。例8设阵求。例9求

1

a11a21

a121a22

1521101371521101371,414

，

14217

1

2

3

112131

122232

132333

142434

3

a11a21a31

a12a22a32

a13a23a33

a14a24a34

3

1

2

3

4

4取得

E

m

Am

Am

Am

E

n

，E~位元；(λE)A=λA=A(λE)=λE是阵纯阵相当于数乘线性方程组能够写为AX=Y，A为数矩阵…,x)，Y=(y,…,y)

矩阵乘法的运算规律(设以下阵都能够进行有关的运)（1）C=A（BC）（结律（2（AB）=（kA）B=A(kB)（k是数）（3）C=AC+BC（A+B（左右分派律）例如依照矩阵乘法的概念，那么线性方程组能够表示为Ax=B。4、方阵的幂概念（方阵的幂A为n阶方，那么的连积称为方阵A的k次幂即方阵的幂有以下运算规律A是方阵是自然数.）那么（）mA（2））nE一样来讲，对k>1（AB）≠AB只当AB=BA时（AB=A例已知

A

求：A，B，A－B，(A－B).解=咱们看到：，是因为乘法不知足互换律。

A则A则1知足X，为n阶位阵，H=E—2XX

11