2019-2020学年陕西省西安高一下学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年陕西省西安高一下学期期末数学试题一、单选题1．是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】D【解析】将表示为的形式，由此判断出其所在象限.【详解】依题意，，所以是第四象限角.故选：D【点睛】本小题主要考查终边相同的角，属于基础题.2．下列命题正确的是（）A．若向量，则与的方向相同或相反B．若向量，，则C．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等D．若向量，，则【答案】D【解析】根据向量共线、向量相等的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A选项，向量，可能，此时不能得到与的方向相同或相反，故A选项错误.对于B选项，向量，，可能，此时不能得到，故B选项错误.对于C选项，两个单位向量相互平行，可能方向相反，此时不能得到两个向量相等，故C选项错误.对于D选项，根据向量相等的知识可知D选项正确.故选：D【点睛】本小题主要考查向量共线、相等的知识，考查对于零向量的理解，属于基础题.3．(2015新课标全国Ⅰ理科)=A． B．C． D．【答案】D【解析】原式===，故选D.【考点】本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.4．在△ABC中，c＝，A＝75°，B＝45°，则△ABC的外接圆面积为A． B．π C．2π D．4π【答案】B【解析】根据正弦定理可得2R＝，解得R＝1，故△ABC的外接圆面积S＝πR2＝π.【详解】在△ABC中，A＝75°，B＝45°，∴C＝180°－A－B＝60°.设△ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理可得2R＝，解得R＝1，故△ABC的外接圆面积S＝πR2＝π.故选B.【点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.5．在△中，若，则△的形状是（）A．直角三角形B．等腰或直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【答案】B【解析】试题分析：由可得,即,故或,即或,所以是等腰或直角三角形,故应选B.【考点】同角三角函数的关系与正弦定理的综合运用.【易错点晴】本题以三角形的变角之间的关系为背景考查的是三角形形状的判别的综合问题.求解时充分借助题设条件中的有效信息,利用先将题设条件化为,再运用正弦定理和二倍角公式将其化为,最后得到或,即或,所以是等腰或直角三角形.6．已知，向量在向量上的投影为，则与的夹角为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】记向量与向量的夹角为，在上的投影为．在上的投影为，，，．故选B．7．已知函数，则的值为（）A． B． C．1 D．【答案】B【解析】根据分段函数解析式，求得的值.【详解】依题意.故选：B【点睛】本小题主要考查分段函数求值，属于基础题.8．已知，则为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】分析：先求出的值，再把变形为，再利用差角的余弦公式展开化简即得的值.详解：∵，∴90°＜＜180°，∴=-，∵c=,∴c=-×，故选D.点睛：三角恒等变形要注意“三看（看角看名看式）”和“三变（变角变名变式）”，本题主要利用了看角变角，，把未知的角向已知的角转化,从而完成解题目标.9．甲船在岛的正南方处，且甲船以的速度向正北方向航行，同时乙船自岛出发以的速度向北偏东的方向行驶，当甲、乙两船相距最近时它们航行的时间是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】依题意画出图形，假设经过x小时两船相距最近，利用余弦定理可得，当时，最小，即最小，两船相距最近，最后将小时换算成分钟即可得解.【详解】假设经过x小时两船相距最近，甲乙分别行至C，D如图所示：可知，，，，当小时，即时，距离最小.故选：A．【点睛】本题考查利用余弦定理定理解决实际问题，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.10．若函数在上有零点，则实数的取值范围（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意结合函数零点的概念可得方程在上有解，令，通过换元法求得y在上的值域即可得解.【详解】因为函数在上有零点，所以方程在上有解，设，，，，，，当时，y取得最大值，当时，y取得最小值，故可得，.故选：A.【点睛】本题考查了函数与方程的综合应用，考查了三角函数的性质及三角恒等变换的应用，考查了逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.二、填空题11．在中，是的中点，向量，向量，则向量_____．（用向量，表示）【答案】【解析】直接利用向量的加法的平行四边形法则，求出结果即可.【详解】因为是的边上的中点,向量,向量,所以向量，故答案为:.【点睛】本题考查向量加法运算及其几何意义,难度容易.12．已知向量与满足，，与的夹角为，，则______．【答案】【解析】利用向量垂直的表示列方程，解方程求得的值，进而求得.【详解】依题意，，，与的夹角为，，所以，解得.所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查向量垂直的表示，考查向量模的求法，属于中档题.13．已知函数（，，）在半个周期内的图象如图所示，则______．【答案】【解析】根据的图象，依次求得和的值.【详解】根据的图象可知，，所以.由得，由于，即，，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象求参数，属于基础题.14．在锐角中，，，则的取值范围为____________.【答案】【解析】解：在锐角△ABC中，BC=1，∠B=2∠A，∴π2＜3A＜π，且0＜2A＜π2，故π6＜A＜π4，故＜cosA＜．由正弦定理可得1：sinA="b"：sin2A，∴b=2cosA，∴＜b＜．15．关于函数，有下列命题：①为偶函数；②方程的解集为；③的图象关于点对称；④在内的增区间为和；⑤的振幅为4，频率为，初相为．其中真命题的序号为______．【答案】③⑤【解析】①利用三角函数的奇偶性判断真假；②解三角方程来判断真假；③利用代入法判断真假；④利用单调性的知识判断真假；⑤根据的有关概念判断真假.【详解】①，依题意，令，则，所以①错误.②，由得.当，即时，，但，所以②错误.③，，所以的图象关于点对称，即③正确.④，由于，，所以不是的增区间，所以④错误.⑤，的振幅为，周期，频率为，初相为，所以⑤正确.故答案为：③⑤【点睛】本小题主要考查三角函数的奇偶性、对称性、单调性、和三角函数的概念，属于中档题.三、解答题16．已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边在射线上．（1）求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据三角函数的定义求得，由此求得的值.（2）先求得的值，利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式化简所求表达式，由此求得所求表达式的值.【详解】（1）因为角的终边在射线上，所以可设终边上一点，则根据三角函数的定义有，，，所以．（2）由及，解得：；所以.【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查两角和的正切公式，考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式，属于中档题.17．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，，求的周长.【答案】（1）（2）【解析】【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把化成，利用和角公式可得从而求得角；（2）根据三角形的面积和角的值求得，由余弦定理求得边得到的周长.试题解析：（1）由已知可得（2）又，的周长为【考点】正余弦定理解三角形.18．已知向量，，定义函数．（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的单调递减区间；（3）求函数在区间上的最值，并求出取得最值时的值．【答案】（1）；（2）（）；（3）时，；时，．【解析】先按照平面向量数量积的坐标公式和辅助角公式将函数化简为，（1）按照计算即可；（2）令，解出x的范围即可；（3）由可得，然后求出函数的最值即可.【详解】，（1）；（2）令，则（），即函数的单调递减区间为（）；（3）由可得当，即时，，当，即时，．【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示，考查三角恒等变换，考查三角函数的性质，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.19．已知在直角坐标系中（为坐标原点），，，．（1）若，，共线，求的值；（2）当时，直线上存在点使，求点的坐标．【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）利用，结合向量共线的坐标表示列方程，解方程求得的值.（2）设点的坐标为，利用，结合向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值，进而求得点的坐标.【详解】（1）；∵、、共线，∴∴∴．（2）∵在直线上，∴设∴∵∴即：解得：或.∴或．∴点的坐标为或．【点睛】本小题主要考查向量共线、垂直的坐标表示，属于中档题.20．设．（1）求使不等式成立的的取值集合；（2）先将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变；再向右平移个单位；最后向下平移个单位得到函数的图象．若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）利用降幂公式和辅助角公式可得，因此等价于，利用正弦函数的性质可求不等式的解集.（2）根据图象变换可得，从而原不等式可化为在，换元后利用二次函数的性质可求的取值范围.【详解】解：.（1）即：，所以原不等式的解