人教A函数定义域题型分析g1

函数定义域题型分析（高一7期）龚学谦（湖北省襄樊市襄城高中(卧龙)441101）一、知识要点 ⒈函数定义域基本上分为两类：自然定义域──使函数解析式有意义的自变量的一切值；限定定义域──受应用条件和附加条件所限制的定义域。⒉复合函数的定义域受原函数的定义域的制约。例如y=f[φ(x)]的定义域，首先要确定f(x)的定义域A，然后由φ(x)的值域B及φ(x)的定义域D确定。但BA必须成立。⒊对含字母参数的函数，求其定义域时必须对字母参数的一切允许值分类讨论。⒋对函数的性质的讨论，必须在定义域上进行，函数定义域是研究函数的基础，注意函数定义域不能是，若不然，则与函数的定义“非空数集上的映射”矛盾。二、已知函数f(x)定义域求复合函数f[g(x)]的定义域例1已知函数f(x)的定义域为[0,1]，求函数f(2x)-f(x+)的定义域。分析由f(x)的定义域可知0≤x≤1,只需使得所求函数中的2x与x+同属于这个范围即可求解。 解有0≤x≤eq\f(1,3)。∴函数f(2x)-f(x+)的定义域为[0,eq\f(1,3)]。 点评函数f(2x)-f(x+)的定义域是使得函数f(2x)与f(x+)同时成立的两个x取值区间之交。 例2已知函数y=f(x)的定义域为[0,1]，求函数F(x)=f(x+a)+f(x-a)的定义域。 分析将f(x+a)看成由f(t)和t=x+a复合而成的函数，由t的范围可得出x+a的范围。 解要使f(t)有意义，必须有0≤t≤1，即有，也就是求两个区间[-a,1-a]与[a,1+a]的交集。⑴当-eq\f(1,2)≤a＜0时,F(x)的定义域为[-a,1+a]；⑵当0≤a≤eq\f(1,2)时,F(x)的定义域为[a,1-a]；⑶当a＞eq\f(1,2)或a＜-eq\f(1,2)时，上述两区间的交集为，这时F(x)不能构成函数。点评已知函数f(x)的定义域为[a,b]，求f[g(x)]的定义域，是指求满足a≤g(x)≤b的x的取值范围。三、已知复合函数f[g(x)]定义域求函数f(x)的定义域 例3已知f(2x+1)=x2-3x+2的定义域为[1,2]，求f(x)的定义域。 分析求f(x)的定义域，就是求f(2x+1)中的2x+1的范围。 解在函数f(2x+1)中，∵1≤x≤2,∴3≤2x+1≤5，∴f(x)的定义域为[3,5]。 点评已知f[g(x)]的定义域为[a,b]，指的是x∈[a,b]，求得g(x)∈M,即得f(x)的定义域M。 四、已知函数定义域求参例4已知函数y=的定义域为R，求实数m的取值范围。分析因为函数定义域为R对任意实数x,函数都有意义，所以需使得mx2-6mx+m+8≥0对一切实数x均成立。解⑴当m=0时，函数的定义域为R；⑵当m≠0时，mx2-6mx+m+8≥0对一切实数x均成立的充要条件是：0<m≤1综合⑴⑵可知0≤m≤1。点评如果函数式y=(n∈N*)，则有f(x)≥0。例5已知函数f(x)=的定义域为集合A，函数g(x)=的定义域为集合B；若CRA∩B=B，CRA∪B={x|-2≤x≤3}，求a、b的值及实数k的取值范围。分析需先求出集合A，B，按照集合运算及集合间的关系求参。解由于A是f(x)的定义域，B是(x)的定义域，则A={x|x2+ax+b>0}，B={x|kx2+4x+k+3≥0},且A≠，B≠。∵CRA∩B=B，∴BCRA。∵CRA∪B={x|-2≤x≤3}，∴CRA={x|-2≤x≤3}。∴A={x|x＜-2或x＞3}，即不等式x2+ax+b>0的解是x＜-2或x＞3。可求得a=-1,b=-6。若k≥0，显然BCRA，故k<0。由BCRA，且B≠，方程F(x)=kx2+4x+k+3=0有实根且两实根都在区间[-2,3]内，因此有-4≤k≤-。∴所求k的取值范围为-4≤k≤-。 点评⑴明确函数定义域的意义；⑵注意不等式的解与方程的根的联系；⑶注重转化思想在本题解答中的几处应用。ABCABCD 例6用长度为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架(如图所示)，若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数式，并写出它的定义域。 分析因为半圆的直径CD=AB，可用AB表示半圆弧长，由周长为l进而求出AD及BC的长，不难求出关系式。 解设AB=2x,则=πx，于是AD=