传染病最简单模型

传染病最简单模型：已感染人数(病人)x(t),每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为九有 x(t+At)—x(t)=九x(t)A/ 又设x(0)=x，得微分方程 =九x0 dt解得x(t)=x。e九SI模型：区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)。总人数N不变，九为日接触率，病人和健康人的比例分别为i(t),s(t)。则有dt=九Si，又有s(t)+i(t)=1。所以有dt=九i(1一')丿(°)=i0。11求解出i(t)=——r ，传染速度最快时刻为t=X-1ln(--1)1+(--1)e-Xt m i0i0SIS模型：传染病无免疫性。总人数N不变，病人的日接触率为九,病人和健康人的比例分别为i(t),s(t),接触数b(感di染期内每个病人的有效接触人数)。病人日治愈率为卩，所以有“不=^Nsi-pNi , i(0)二i。。由s(t)+i(t)=1,b=入/卩，就推出dt=-切-(1_^)］。SIR模型：传染病有免疫性。总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为i(t),s(t),r(t)，病人的日接触率为X，病人日治愈率为U，接触数b=X/U。且有s(t)+i(t)+r(t)=l。则有di=di=Xsi—Uidtds=一九sidti(0)=i,s(0)0s0因通常r(0)=r0很小，故i0+s0沁0。推出di=Xsi-卩i,i(0)=idt 0ds—=—Xsi,s(0)=s、dt 0经济增长模型；1)道格拉斯(Douglas)生产函数Q(t),K(t),L(t),f分别表示某地区在t时刻的产值、资金、劳动力和技术。静态模型令z=Q/L,y=K/L,则z是每个劳动力产值，y是每个劳动力投资。由于z随y增加而增长，但增速递减。Q=fL(K/L)aZ=Q/L=f0g(y) g(yQ=fL(K/L)a，Q(K,L)=fKaL1-a0 此为Douglas生产函数。更一般的道格拉斯(Douglas)生产函数为Q(K,L)=fKaL,0<a,卩<1,f〉0002)资金与劳动力的最佳分配(静态模型)S=Q—rK—wL资金来自贷款，利率r,劳动力付工资w,资金和劳动力创造的效益为资金与劳动力的分配比例K/L(每个劳动力占有的资金)，使效益S最大.3)经济(生产率)增长的条件投资增长率与产值成正比dK忑八f资金与劳动力的分配比例K/L(每个劳动力占有的资金)，使效益S最大.3)经济(生产率)增长的条件投资增长率与产值成正比dK忑八f冋a(动态模型)=九Q,九〉0dt ，劳动力相对增长率为常数。dt乎+PLyrdt此为Bernoulli方程，它的解为(1KP-K0o—)e-(1—a)卩t]>L1—a一般战争模型x(t)~甲方兵力，y(t)~乙方兵力，甲乙双方的增援率为u(t),v(t)。每方非战斗减员率与本方兵力成正比.。则有Jt)—f(x,y)—ax+u(t),a>0\典t)=g(x,y)—Py+v(t),P>0正规战争模型；双方均以正规部队作战，f(x,y)=ay,a~乙方每个士兵的杀伤率，a=rypy,ry~射击率，py~命中率Jx&=—ay—ax+u(t)[j&=—bx-Py+v(t) g=—bx,b=rpxx，忽略非战斗减员就有j&=—ay片：<j&=—bx\x(0)—x,y(0)—y00游击战争模型双方都用游击部队作战，甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加而增加，f(x,y)=cxy,c~乙方每个士兵g(x,y)——dxy,d—rp—rs/s的杀伤率，c=rp，r〜射击率p〜命中率， xxxrxy，忽略yyy y非战斗减员(x&=—cxy玻=—dxyx(0)—x,y(0)—y00混合战争模型