三角形中的最值（或范围）问题

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精品资料每天更新三角形中的最值（或范围）问题解三角形问题，可以较好地考察三角函数的诱导公式，恒等变换，边角转化，正弦余弦定理等知识点，是三角，函数，解析几何和不等式的知识的交汇点，在高考中容易出综合题，其中，三角形中的最值问题又是一个重点。其实，这一部分的最值问题解决的方法一般有两种：一是建立目标函数后，利用三角函数的有界性来解决，二是也可以利用重要不等式来解决。类型一：建立目标函数后，利用三角函数有界性来解决例1.在△ABC中分别是内角的对边，且.(1)求角A的大小；（2）求的最大值.解：已知，根据正弦定理，得，即又，∴，在△ABC中可求得故=故当时，的最大值为1变式1：已知向量，，且，其中是△ABC的内角，分别是角的对边.(1)求角的大小；（2）求的最大值.解：由，得a+b—c=ab=2abcosC所以cosC=，从而C=60故=sin(60+A)所以当A=30时，的最大值是变式2．已知半径为R的圆O的内接⊿ABC中，若有2R（sinA—sinC）=（a—b）sinB成立，试求⊿ABC的面积S的最大值。解：根据题意得：2R(—)=(a—b)化简可得c=a+b—ab,由余弦定理可得：C=45,A+B=135S=absinC=2RsinA×2RsinB×sinC=sinAsin(135—A)=(sin(2A+45)+1∵0<A<135∴45<2A+45<315∴当2A+45＝90即A=15时，S取得最大值类型二：利用重要不等式来解决例2在中，角A,B,C的对边分别为且.（1）若，且<，求的值．（2）求的面积的最大值。解（1）由余弦定理，∴∴，又∵<，解方程组得或(舍)．∴（2）由余弦定理，∴∵∴，又∴即时三角形最大面积为变式3．在⊿ABC中，角A,B,C的对边是a,b,c,⊿ABC的外接圆半径R=,且＝（1）求B和b的值；（2）求⊿ABC面积的最大值解：由已知＝，整理可得：sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB即sin(B+C)=2sinAcosB∵A+B+C=π∴sinA=2sinAcosB，∵sinA≠0∴cosB=∴B=60∵R=,∴b=2RsinB=2sin60=3,故角B=60,边b=3由余弦定理得b=a+c-2accosB，即9＝a+c-2accos60∴9＋ac=a+c≥2ac(当且仅当a=b时取等号)即ac=9(当且仅当a=b=3时取等号)∴三角形得面积s=acsinB≤×9×sin60=∴三角形得面积的最大值是变式4：⊿ABC中，若AB=1,BC=2,则角C的取值范围是答案：解法1.由a=2,c=1,∴a=2c∴2sinA=4sinC∴sinC=sinA≤∵0<C<A∴0<C≤30解法2.cosC===(b+)≥,故0<C≤30练习：1、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，eq\f(π,3)＜C＜eq\f(π,2)且eq\f(b,a－b)＝eq\f(sin2C,sinA－sin2C)。（1）判断△ABC的性状；(2)若|＋|＝2，求·的取值范围．解：(1)由eq\f(b,a－b)＝eq\f(sin2C,sinA－sin2C)及正弦定理得sinB＝sin2C，∴B＝2C，且B＋2C＝π，若B＝2C，eq\f(π,3)＜C＜eq\f(π,2)，∴eq\f(2,3)π＜B＜π，B＋C＞π(舍)；∴B＋2C＝π，则A＝C，∴△ABC为等腰三角形．(2)∵|＋|＝2，∴a2＋c2＋2ac·cosB＝4，∴cosB＝eq\f(2－a2,a2)(∵a＝c)，而cosB＝－cos2C，eq\f(π,3)＜C＜eq\f(π,2)，∴eq\f(1,2)＜cosB＜1，∴1＜a2＜eq\f(4,3)，又·＝accosB＝2－a2，∴·∈(eq\f(2,3)，1)．2.已知分别为的三个内角的对边，=2，且，则面积的最大值为.【解析】由且，即，由及正弦定理得：∴，故，∴，∴，∴3.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知cosC＋(cosA－eq\r(3)sinA)cosB＝0.(1)求角B的大小；(2)若a＋c＝1，求b的取值范围．【简解】(1)由已知sinAsinB－eq\r(3)sinAcosB＝0，sinB－eq\r(3)cosB＝0，tanB＝eq\r(3)，B＝eq\f(π,3).(2)b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－3ac≥(a＋c)2－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋c,2)))2＝eq\f(1,4)(a＋c)2＝eq\f(1,4)，等号可以成立∴b≥eq\f(1,2).又a＋c>b，∴b<1，∴eq\f(1,2)≤b<1.△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB.(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．【简解】(1)sinA＝sinBcosC＋sinCsinB＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC．sinB＝cosB.又B∈(0，π)，所以B＝eq\f(π,4).(2)△ABC的面积S＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(\r(2),4)ac.由已知及余弦定