微分中值定理及其应用

微分中值定理及其应用微分中值定理及其应用二、内容与要求理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，知道泰勒定理，了解并会用柯西中值定理.2.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形.重点罗尔定理、拉格朗日中值定理、用洛必达法则求未定式极限.难点罗尔定理、拉格朗日中值定理、泰勒定理三、概念、定理的理解与典型错误分析定义3.1若存在x0的某邻域，使得对一切则称为极大值（极小值），称x0为极大（小）值点。极大值、极小值统称为极值，极，都有大值点、极小值点统称为极值点。定理3.1（费马（Femat）定理）（取到极值的必要条件）设f（x）在点x0处取到极值，且反之不真，例如存在，则但f（0）不是极值。证明F（x）在某点x0费马定理常用于证明f（x）=0有一个根，找一个F（x），使处取到极值且存在，由费马定理知即定理3.2（罗尔（Rolle）定理）设f（x）在闭区间［a,b］上满足下列三个条件：（1）f（x）在闭区间［a,b］上连续；（2）f（x）在开区间（a,b）内可导；（3）至少存在一点使，使即方程f（x）=0则推论在罗尔定理中，若f（a）=f（b）=0，则在（a,b）内必有一点的两个不同实根之间，必存在方程f'（x）=0的一个根。罗尔定理的应用：1证明f（x）=0有一个根，找到一个F（x）使在某闭区间［a,b］上满足罗尔定理条件，则至少存在一点证含有的等式，通过分析转化为，验证F（x）。2证明适合某种条件的存在性：把待形式，对F（x）应用罗尔定理即可。定理3.3（拉格朗日（Lanrange）定理）若f（x）在闭区间［a,b］上满足下列二个条件：（1）f（x）在闭区间［a,b］上连续；（2）f（x）在开区间（a,b）内可导，则至少存在一点拉格朗日定理的结论常写成下列形式：上式中当ab时公式仍然成立，即不论a,b之间关系如何，总介于a,b之间，由所以拉格朗日定理是连结函数值与导函数值之间的一座桥梁，特别适合给出导数条件，要证明函数值关系的有关结论，就需要用到拉格朗日定理，拉格朗日定理主要应用是证明不等式.定理3.4（单调性定理）设f（x）在区间X（X可以是开区间，可以是闭区间，也可以是半闭半开区间，也可以无穷区间)上连续，在X内部可导(不需要在端点可导)，若内部，贝ljf(x)在区间X上递增。若(3)若若(1)中若(2)中内部，内部，贝ljf(x)在区间X上递减。则f(x)在区间X上是常值函数。，则f(x)在区间X上严格递增，，则f(x)在区间X上严格递减。内部，且f(x)推论若f(x)在区间X上连续，在区间X内部可导，当在X的任何于区间上，证由贝f(x)在区间X上严格递增(减)。，知f(x)在区间X上递增，假设f(x)在X上不是严格递增，即存在上递增，所以任给所以，有从而与条件矛盾，故f(x)在区间X上严格递增，对于，同理可证f(x)在X上严格递减。单调性定理及推论是证明函数在某区间上(严格)单调或是常值函数和求函数(严格)单调区间的重要方法。定理3.5(柯西(Cauchy)定理)设f(x),g(x)在闭区间［a,b］上满足下列条件：(1)f(x),g(x)在［a,b］上连续(2)f(x),g(x)在(a,b)内可导，则至少存在一点使证明与拉格朗日证明类似，只要把拉格朗日定理证明过程中b换成g(b)，a换成g(a)，x换成g(x)即可，读者可自证。典型错误：对f(x),g(x)在［a,b］上分别应用拉格朗日定理有实际上分子、分母中的两个是不一样。O柯西定理也可以用来证明不等式及适合某种条件的存在性，但没有拉格朗日定理和罗尔定理用得多。定理3.6(泰勒(Taylor)定理)设f(x)在区间X上存在n+1阶导数，对每一个给任，有其中是介于x0及x之间称为拉格朗日余项，当x0=0时，称为麦克劳林公式，即称为麦克劳林余项。定理3.7(佩亚诺(Peano)定理)若f(x)在点x0处存在n阶导数，则称为泰勒公式的佩亚诺余项.相应的麦克劳林公式为读者要记住5个常用函数的带有佩亚诺余项的麦克劳林公式带有拉格朗日余项的泰勒公式可用以证明方程根的存在性、适合某种条件的存在性及各种不等式。带有佩亚诺余项的泰勒公式仅适用于求函数极限。定理3.8(洛必达法则I)设(1)(2)存在的某邻域;，当时，都存在，且(3)定理3.9(洛必达(1)(2)存在的某邻域，则法则II)，设;，当时，.都存在且；(3)上述两个法则中的，则改成.时，条件(2)只须作相应的修改，结论依然成立。在用洛必达法则求极限之前，应尽可能把函数化简，或把较复杂的因式用简单等价的因式来替换，以达到简化，再利用洛必达法则。利用洛必达法则求极限时，可在计算的过程中论证是否满足洛必达法则的条件，若满足洛必达法则的条件，结果即可求出；若不满足，说明不能使用洛必达法则，则需用其它求极限的方法。此外，可重复使用洛必达法则，但只能用有限次。例1若答否.在点可导，则是否在的某邻域内可导或连续或极限存在.例由，知在处可导.当更不可导.故时，在处可导，但在但，知在处极限不存在，从而也不连续，的任何邻域里除外均不可导，不连续，极限也不存在，因此，我们在解题时，不能根据自己的感觉来得到结论，一定要根据定理、推论、性质、公式来得到所需的结果.在点可导，则在的某邻域内有界吗？点可导，则在处必连续，利用连续的局部有界性知，存在，使内有界.例3若答否.在区间I上是单调函数且可导，那么在区间I上是单调函数吗？例如：，由，知在（）上严格递增，但函数.在上小于0，在（）上大于0，故在（）不是单调例4如果可导数这种说法正确吗？答不正确.虽然函数比在与当时，有，那么当时，必有，的增长率比函数在同一点处的增长率大，但如果，都有.在处的初始值处的初始值小，就不能保证对任意的例如函数当当时，时，有.但是当;当，我们有时，有时，才有，（图8-1）。因此，利用导数的大小比较两个函数值的大小时，必须考虑起点处的两个函数值的大小.上述问题如果加上初始相等：例5设函数某邻域内单调增吗？答不可以.在包含点这一条件，那么结论一定正确，请读者自证.的开区间内可导，如果，由此可以断定在点的例如函数根据导数的定义，有而当时，有.在处，有但在任何邻域内，从而在处，却有的取值有正有负，当时，，因此在点的的任何邻域内都不是单调的，如果不然，不妨假定，使仍属于该邻域，在点的一邻域内单调增，那么对充分小的则有这与例6如果函数，于是相矛盾.在处有极大值，能否肯定存在点.的邻域，使在左邻域内单调增加，而在右邻域内单调减少？答不能肯定.我们知道，如果函数右邻域单调减少，则在在的某邻域内连续，且在的左邻域单调增加，而在的处一定有极大值，但是，这个结论反过来是不一定成立的.例如，函数显然，是极大值，是极大值点.容易算出取都可进入的充分小邻域内，为自然数），当充分大量，与而由此可见，在点与.因而函数的右邻域内，无论多么小，总有这样的点与，使不是单调的.同样，在点的左邻域内也是如此，其理由参阅问题例5最后一段.例7最大（小）值一定是极大（小）值吗？反之极大（小）值一定是最大（小）值吗？答不一定是.极大（小）值的定义是存在的必要条件是在的两侧要有定义为最小值，为最大值，，当时，都有，极值例如图8-2所示但不是极小值，因为在的左侧没定义，也不是极大值，同样是因为在的右侧没定义.从图中还可以看出，为极大值但不是最大值，为极小值但不是最小值，因此，一般情形下，最大（小）值与极大（小）值没有关系，但若最大（小）值在区间内部取到，则一定为极大（小）值，故区间内部的极值点是最大（小）值的怀凝点.例8.求.典型错误点评已不是“”型，此时不能用洛必达法则。解原式例9.求典型错误点评分子、分母都是的数列，关于不连续，更不可