山东省青岛第九中学平面向量多选题试题

a2a2山东省岛第九中学面向量选题试题含案一、平向量多选题1．已知，是面夹角为的两个单位向量，在平面上，且3）A．|a

B．|

C．|c

3

．

，的角是钝角【答案】【分析】在平面上作出a，OB，

OB，

23

，作OC，可得出C点以为直径的圆上，这样可判断选项、．由向加法和减法法则判断选项A、B．【详解】对于A|

2

+b

2

+23

，故正；对于：a，，

OB，

23

，则ABOA

2

+

2

OAcos

3

，a3

，故正；OC，(

a﹣)·(

b﹣)=0得

，点

在以AB直的圆上（可以与A合）．设点是M，cOC

的最大值为

OM

13+2

，故C正确；a与OM向，由图，OMc的角不可能为钝角．故D错误．故选：．【点睛】思路点睛：本题考查向量的线性运算，考查向量数量积．解题关键是作出图形，作出，OB，OC，确定

点轨迹，然后由向量的概念判断．2．在

ABC

中，D、E别是

、

上的点，与BD交

O

，且

2222AB，，CDDA，

，则（）A．ACC．OAOC

34

B．．ED在方向上的正射影的数量为

712【答案】【分析】根据BC及正弦定理得到

BBC

，从而求出B，一步得到

BA

，ABC

等边三角形，根据题目条件可以得到E的中点和D为【详解】

的三等分点，建立坐标系，进一步求出各选.由ABBC得

ABcosCA

，|AB|B|

，正弦定理，

CBBC

，

0

，BC，同理：

，所以

BA

，ABC

等边三角形AB，为BC的点，CDDAD为的等分点3如图建立坐标系，A,0,0D得OO

为AE中点，所以，正，故B正；33AC,

，

AC

231=，故A错；363OAOBOCOAOEOE，正；43,BA,32

，投影

BA12

，故D正确.故选：

1111【点睛】如何求向量在向量b上投，用向量a的模乘以两个向量所成的的余弦值就可以了，当然还可以利用公式

进行求解3．如图，DE是径1的O的两条不同的直径，FO，（）A．BFFCB．FD

C．FDFE≤

．足FCFE的数与的为定值4【答案】【分析】A.根BF易FC判断；由2

ODOFOE运求解判断；，建平面直角坐标系：设

DOF

0,2

，则D

,sin

1F

，得到cos,sin,

，由

cos,FE

FDFD

利用三角恒等变换和三角函数的性质判断D.将FD，利用线性运算变形为【详解】A.因BF，以BFFC，错误；2

222222B.

OFOEODODOF

，C.建立如图示平面直角坐标系：

，故正确；设

DOF

2

]

，则

D

,sin

,,03

，所以

13

cos

,FE

，所以

FE

FDFD

2

2

，

2

(]

，故正确；由FCFD，OF

，所以

，故正确；故选：【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算和数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档.4．下列说法中错误的为（）A．已知

，(1,1)

，且

与

b的角为锐角，则实数

的取值范围是

，，B．量(2,1

e,

不能作为平面内所有向量的一组基底C．//，

a

在b方上的投为

．零向量a和b满a

，则与a的角为60°【答案】【分析】由向量的数量积向的投影基定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求.【详解】对于A

(1,2)

，

，与a夹为锐角，a

)

2

)

，且

(

0时

a

与a夹角为0)所以

53

且，错误；对于，量e12确；

，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底B正，对于，若//，a在b方上的正射影的数量为对于，因为|a|平方得b

，故C错误；则

)a|2

|

，|()

2

a|

2

|

2

3a|

，故

a2)aa|a

，而向量的夹角范围为

，得

a

与a夹为30°，项误.故错误的选项为ACD故选：【点睛】本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度要求比较高，中档.5．下列关于平面向量的说法中正确的（）A．已知A、、C是平面中三点，若AB不能构成该平面的基底，则A、、共线B．b则

C．点G为的重心，则GAGBGC0．知

，若a，夹角为锐角，则实数的值范围为

【答案】【分析】根据平面向量基本定理判断；由数量积性质可判断；向量的点表示和三角形的重心性质可判断，数量积及平面向量共线定理判断．【详解】解：因为不构成该平面的基底，所以AB//

，又有共点A，以、、C共线，即A正；由平面向量的数量积可知，若b，||cos,b|c所|ab,c无得到

a

，即B不正确；设线段的点为，若点

为

的重心，则GA，GC，所以GC，

正确；

，若，b夹角为锐角，则a

解且与b不共线，即

，所以

故选：．【点睛】本题考查向量共线定理和向量数量积的性质和向量的加减运算，属于中档题．6．下列各式结果为零向量的有（）A．

AC

B．ACCDC．ODAD【答案】CD【分析】

．MP对于选项A，

BCAC

,所该选项不正确；对于选项BACBD2AD，以该选项不正确；对于选项，OAOD0

,所以该选项正确；对于选项DQPMNMP【详解】

，所以该选项正确.对于选项A，

BCACAC

,所该选项不正确；对于选项B，ACAB))ADADAD，所以该选项不正确；对于选项CODADAD0

,所该选项正确；对于选项D，NQQPMNMPNPPN故选：【点睛】

，所以该选项正.

本题主要考查平面向量的加法和减法法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水.7．已知ABC

的面积为3，ABC

所在的平面内有两点P，，满足，QA2QB，APQ的积S，则下列说法正确的是（）A．PB//

B．

BP

12BC33C．PA

．S【答案】【分析】利用向量的共线定义可判断；利用向量法的三角形法则以及向量减法的几何意义即可判断；用向量数量积的义可判断；利用三角形的面积公式即可判断【详解】由，2QB，可知点P为的等分点，点QAB延长线的点，且中点，如图所示：对于A点P为

的三等分点，点B为的中点，所以PB与

不平行，故A错；对于，

BPBA

21BA333

,故正；对于，

PAPC

PAPC

，故错；对于，设ABC的为，

ABC

1ABh2

，即

，则APQ的积

APQ

112AQhABh2

，故D正；故选：【点睛】本题考查了平面向量的共线定理、共线向量、向量的加法与减法、向量的数量积，属于基础题8．是边长为的等边三角形，已知量a、b满ABa

，，下

列结论中正确的有（）A．a为位向量B．b//BC

C．

b

．

【答案】【分析】求出可断A选项的正误；利用向量的减法法则求出b，用共线向量的基本定理可判断选的正误；计算出判断C选项的正误；计算出项的正误综可得出结论【详解】

，可判断D选对于选，

ABa

1AB，则a3

，选正确；对于选项，确；

AB，//BC，选正对于C选，

a

112AB2333

，所以与不直C选项错误；对于D选，

，所以，

，选项正确.故选：【点睛】本题考查向量有关命题真假的判断，涉及单位向量、共线向量的概念的理解以及垂直向量的判断，考查推理能力，属于中等.二、立几何多选题9．已知图中A、、

C

、D是方形EFGH

各边的中点，分别沿着

、

、

、把ABF

、△CDH

、△向上起，使得每个三形所在的平面都与平面

ABCD

垂直，再顺次连接

EFGH

，得到一个如图所的多面体，则（）A．AEF正三角形

B．面AEF平面CGHC．线CG与面AEF所角的正切值为．AB时多面体

的体积为

83【答案】【分析】取、AB的点O、，接OHOM，证明出OH面，然后以点O

为坐标原点，OM

、

、OH

所在直线分别为、y

z

轴建立空间直角坐标系，求出EF，判断A选项的正误，利用空间向量法判断BC选的正误，利用几何体的体积公式可判断选的正误.【详解】取、AB的点O、，接OH

、OM

，在图中

、B、、D是方形EFGH各边的中点，则GHEHDH

，

为

的中点OHCD

，平面CDH

平面

ABCD，面CDH

平面

CD

，平

，面

ABCD

，在图中设正方形

的边长为

2a

，可得四边形

ABCD

的边长为

a

，在图中和均等腰直角三角形，可得BAF45，90

，四形ABCD

是边长为

a

的正方形，

、M分别为

、的中，则//BM

且OCBM

，且OCB90，所以，四边形OCBM为矩形，所以，OM，以点O为标原点，、OC、OH所直线分别为、y、建立空间直角坐标系，则

,0

、

,0

、

a

、

F

、

,a

、

H

.对于选，由空中两点间的距离公式可得

AEAFEF

a

，所以，是正三角形A选项正确；对于选项，设平面的法向量为

m11

AFa

，由

11ay11

，取

z，x，y11

，则m

，设平面的向量为ny,z2

，

eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)由

ax2222

，取

，可得

x2

，y

，则n

，m

，所以，平面与面CGH

不垂直B选项错误；对于C选，

cosm

633

，设直线CG与面成角为sin

63

，

1sin

32，3所以，

tan

cos

2

，选项正确；对于D选，以ABCD底面，以OH为将几何体ABCDEFGH补长方体BC111

，则E、F、

、分别为

D、B、B、D11111

的中点，因为

，即a，，方体

BC111

的体积为，

EF

1S

，因此，多面体的积为

ABCDEFGH

V

EF

4

103

，D选项错误故选：【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（）用面面直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（）构成线角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从不必作出线面角，则线面角足

hl

（l为线段长），进而可求得线面角；（）立空间角坐标系，利用向量法求解，设为直线

l

的方向向量，为平面的法向

量，则线面角

的正弦值为

sin,

.10．方体

BC111

中，是棱

1

的中点，在面CDDC上动，且满足F//

平面.下命题正确的有（）1A．侧面上存在，使得

B11B．线BF与线1

所成角可能为3

C．面与面所锐二面角的正切值为21．正方体棱长为1，过点E，，的面截正方体所得的截面面积最大为【答案】【分析】

取

CD1

中点，CC中N，连接

B,MN，证平面MN//111

平面