线性代数3学分

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§3向量组的秩最大无关组及向量组的秩注意:

一般来说,最大无关组不唯一.实际上,设向量组A的秩为r,则向量组A的任意r个线性无关的向量都是向量组A的最大无关组.

例①2.向量组A和它的最大无关组等价.证:例②3.尽管向量组A可能有许多不同的最大无关组,但是它的最大无关组所含向量个数是唯一确定的,所以向量组A的秩是由向量组A唯一确定的,它和最大无关组的取法无关.证:定理(最大无关组的等价定义).

证:定理6.

矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也等于它的行向量组的秩.

由此可知向量组的秩是矩阵的秩的推广.

矩阵对应的向量组只含有有限个向量，所以矩阵的秩只适用于含有有限个向量的向量组，而向量组的秩适用于含有无限多个向量的向量组.所以可以认为向量组的秩是矩阵的秩的推广.证:矩阵的秩和向量组的秩的关系:定理1’

定理2’

定理3’

例.

证:定理：矩阵的行初等变换不改变矩阵的列向量组的线性关系.问题:如何求向量组的最大无关组例1.

解求m维列向量组α1,α2,…,αn的最大无关组,并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示.例2.

(2学分)解例3.

(3学分)解例4.(Ex14.)证:例5.(Ex15)证:小结:1.最大线性无关组的定义及其等价定义.向量组的秩的概念.2.矩阵的秩与向量组的秩的关系:矩阵的秩＝矩阵列向量组的秩＝矩阵行向量组的秩.3.求向量组的秩以及最大无关组的方法:

将向

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