人教数学A版选修《椭圆与双曲线》基础训练

椭圆与双曲线基础训练A组题2011年11月24日星期四（A组题是文理共做，B组题理科必做，文科选作）1已知双曲线的离心率为，焦点是，，则双曲线方程为（A）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．2平面直角坐标系中，双曲线中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线方程为，则它的离心率为（A）A．B．C．D．3过点，且焦点在坐标轴上的双曲线标准方程为EQ\f(y2,9)-EQ\f(x2,16)=14.，经过点（－5，2），焦点在轴上的双曲线标准方程为．EQ\f(x2,5)-EQy2=15.与双曲线有相同焦点，且经过点的双曲线标准方程为____EQ\f(x2,12)-EQ\f(y2,8)=16双曲线的渐近线方程是___y=±EQ\f(EQ\r(,6),3)x7双曲线的实轴长为____2EQ\r(,2)8已知方程表示椭圆，则的取值范围____．(3,4)∪(4,5)9过双曲线左焦点的直线交曲线的左支于两点，为其右焦点，则的值为___810已知双曲线的离心率一个焦点到一条渐近线的距离为6，则其焦距等于2011已知双曲线的右焦点分别为、，点在双曲线上的左支上且，则=__EQ\f(π,2)．12已知、是椭圆C：的两个焦点，点在椭圆C上且满足，则的面积____1．13已知椭圆及直线．（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．解：（1）把直线方程代入椭圆方程得，即．，解得．（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为，，由（1）得，．根据弦长公式得．解得．因此，所求直线的方程为．B组题1设分别是双曲线的左、右焦点．若点在双曲线上，且，则（B）A． B． C． D．2已知点P是双曲线右支上一点，分别为双曲线的左、右焦点，为△的内心，若成立，则的值为（B） A. B. C.D.3若椭圆和双曲线有相同的焦点和，而是这两条曲线的一个交点，则的值是(A)．A．B．C．D．4在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则EQ\f(5,4)5已知双曲线的一条渐近线的法向量是，那么EQ\f(1,2)6已知椭圆和双曲线有相同的焦点F1、F2，点P为椭圆和双曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是257以椭圆的焦点为焦点，过直线上一点作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点应在何处？并求出此时的椭圆方程解：如图所示，椭圆的焦点为，．点关于直线的对称点的坐标为（－9，6），直线的方程为．解方程组得交点的坐标为（－5，4）．此时最小．所求椭圆的长轴，∴，又，∴．因此，所求椭圆的方程为．8已知椭圆：()过点，其左、右焦点分别为，且．（1）求椭圆的方程；（2）若是直线上的两个动点，且，则以为直径的圆是否过定点？请说明理由．解：（1）设点的坐标分别为，则故，可得，…2分所以，…4分故，所以椭圆的方程为．……………6分（2）设的坐标分别为，则，又，可得，即，…8分又圆的圆心为半径为，故圆的方程为，即，也就是，……11分令，可得或2，故圆必过定点和．……13分（另法：（1）中也可以直接将点坐标代入椭圆方程来进行求解；（2）中可利用圆C直径的两端点直接写出圆的方程）9已知：椭圆（），过点，的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）斜率大于零的直线过与椭圆交于，两点，若，求直线的方程；（3）是否存在实数，直线交椭圆于，两点，以为直径的圆过点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．解（1）由，，得，，所以椭圆方程是：……4分（2）设EF：（）代入，得，设，，由，得．由，……8分得，，（舍去），（没舍去扣1分）直线的方程为：即……10分（3）将代入，得（*）记，，PQ为直径的圆过，则，即，又，，得．………………14分解得，此时（*）方程，存在，满足题设条件．…………16分10已知椭圆中心为，右顶点为，过定点作直线交椭圆于、两点.（1）若直线与轴垂直，求三角形面积的最大值；（2）若，直线的斜率为，求证：；（3）直线和的斜率的乘积是否为非零常数？请说明理由..解：设直线与椭圆的交点坐标为.（1）把代入可得：，（2分）则，当且仅当时取等号（4分）（2）由得，，（6分）所以（9分）（3）直线和的斜率的乘积是一个非零常数.（11分）当直线与轴不垂直时，可设直线方程为：，由消去整理得则①又②（13分）所以（15分）当直线与轴垂直时，由得两交点，显然.所以直线和的斜率的乘积是一个非零常数.（16分）11已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，且椭圆E上一点到两个焦点距离之和为4；是过点P（0，2）且互相垂直的两条直线，交E于A，B两点，交E交C，D两点，AB，CD的中点分别为M，N。1）求椭圆E的方程；（2）求k的取值范围；（3）求证直线OM与直线ON的斜率乘积为定值（O为坐标原点）12如图，已知圆经过椭圆的右焦点及上顶点，过椭圆外一点且倾斜角为的直线交椭圆于两点．（I）求椭圆的方程；（Ⅱ若求的值．解：（I）∵圆经过点F，B，