2018届河北省定州（承智班）高三下学期第一次月考数学试题（解析版）

2018届河北省定州（承智班）高三下学期第一次月考数学试题（解析版）一、单选题1.定义在R上的函数满足，且对任意的不相等的实数，有成立，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围（）A.B.C.D.【答案】D【解析】∴定义在R上的函数满足，，

∴函数为偶函数，又对任意的不相等的实数，有成立，即函数数在上递减，

∴在上单调递增，

若关于的不等式在上恒成立，

即对恒成立．

∴对恒成立，

即对恒成立，即且对恒成立．

令，则，则在上递增，上递减，令则在上递减，．

综上所述，故选D．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，函数的恒成立问题，解题时要注意转化的数学思想的利用．2.已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围（）A.B.C.D.【答案】C【解析】当时，在上为减函数，在上为增函数，且恒成立，若函数在区间上单调递增，则在区间上单调递增，则，解得，当时，在区间上单调递增，满足条件．当时，在上单调递增，令，则，则在上为减函数，在上为增函数，则，解得，综上所述，实数的取值范围，故选C．点睛：本题考查了函数基本性质的综合应用问题，解答中涉及到“对勾函数”的图象与性质的应用，其中熟记“对勾函数”的性质和复合函数的单调性的应用是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，及分类讨论思想的应用，合理分类讨论是本题解答中的一个易错点，试题有一定的难度，属于中档试题．3.现有两个半径为2的小球和两个半径为3的小球两两相切，若第五个小球和它们都相切，则这个小球的半径是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】如图所示，A,B是半径为2的球的球心，C,D是半径为3的球的球心，O是第五个球的球心.由题得,,，因为平面BEC，所以.在直角△AEO中，，故选A.点睛：本题的难点在于画图和从线面关系里找到方程.所以首先要把图画得直观，再从几何图里找到线面关系利用解三角形的知识列出方程.4.定义在上的函数满足，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值是（）A.-1B.C.D.【答案】C【解析】函数为偶函数,且当时,函数为减函数,时,函数为增函数.若对任意的，不等式恒成立，则,即,所以.当时,,所以,解得,所以.当,时,不等式成立,当时,,无解,故,的最大值为.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性与单调性,考查不等式恒成立问题的转化方法及利用分类讨论的方法解含有绝对值的不等式.函数的奇偶性的判断,则函数为偶函数,若则函数为奇函数.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于轴对称.5.定义在上的函数满足当时，若函数在内恰有3个零点，则实数m的取值范围是()A.B.C.D.【答案】C【解析】若，则，，根据函数的平移变换与翻折变换，画出在上的图象，则与的图象有三个交点时，函数有三个零点，可得，是斜率为，且过定点的直线，绕旋转直线，由图知，当时，直线与曲线有三个交点，函数在内恰有个零点，的取值范围是，故选C.【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题.6.已知函数，则函数的零点个数为（）A.8B.7C.6D.5【答案】C【解析】令f（x）=t可得f（t）=t+1．作出f（x）的函数图象如图所示：设直线y=kx+1与y=ex相切，切点为（x0，y0），则,解得x0=0，k=1．设直线y=kx+1与y=lnx相切，切点为（x1，y1），则,解得x1=e2，k=．∴直线y=t+1与f（t）的图象有4个交点，不妨设4个交点横坐标为t1，t2，t3，t4，且t1＜t2＜t3＜t4，由图象可知t1＜0，t2=0，0＜t3＜1，t4=e2．由f（x）的函数图象可知f（x）=t1无解，f（x）=t2有1解，f（x）=t3有3解，f（x）=t4有2解．∴F（x）有6个零点．故选：C．7.设函数，若在区间上无零点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，x∈（﹣1，+∞）．f′（x）=,令g（x）=2ax2+ax﹣a+1．（i）当a=0时，g（x）=1，此时f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增（ii）当a＞0时，△=a2﹣8a（1﹣a）=a（9a﹣8）．①当0＜a≤时，△≤0，g（x）≥0，f′（x）≥0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值点．②当a＞时，△＞0，设方程2ax2+ax﹣a+1=0的两个实数根分别为x1，x2，x1＜x2．当x∈（﹣1，x1）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x∈（x1，x2）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x∈（x2，+∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．①当0≤a≤时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．∵f（0）=0，∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，符合题意．②当＜a≤1时，由g（0）≥0，可得x2≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．又f（0）=0，∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0．③当1＜a时，由g（0）＜0，可得x2＞0，∴x∈（0，x2）时，函数f（x）单调递减．又f（0）=0，∴x∈（0，x2）时，f（x）＜0，x趋向于正无穷时函数值大于0，不符合题意，舍去；④当a＜0时，设h（x）=x﹣ln（x+1），x∈（0，+∞），h′（x）=＞0．∴h（x）在（0，+∞）上单调递增．因此x∈（0，+∞）时，h（x）＞h（0）=0，即ln（x+1）＜x，可得：f（x）＜x+a（x2﹣x）=ax2+（1﹣a）x，当x＞1﹣时，ax2+（1﹣a）x＜0，此时f（x）＜0，不合题意，舍去．综上所述，a的取值范围为[0，1]．故答案为：A．点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题．研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最值、函数的变化趋势等，根据题目要求，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现。同时在解题过程中要注意转化与化归、函数与方程、分类讨论思想的应用．8.已知在中，角，，所对的边分别为，，，，点在线段上，且.若，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】设，则由面积关系得所以，选B.9.已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝(1＋cos2)an＋sin2，则该数列的前10项和为()A.2101B.1067C.1012D.2012【答案】B【解析】当n为奇数时，an＋2＝an＋1，是首项为1，公差为1的等差数列；当n为偶数时，an＋2＝2an＋1，是首项为2，公比为2的等比数列．所以S18＝a1＋a2＋…＋a17＋a18＝(a1＋a3＋…＋a17)＋(a2＋a4＋…＋a18)．选B．点睛：（1）对于cos2和sin2中的要分奇数和偶数两种情况进行讨论，然后求得相应的三角函数值；（2）求数列的和时，首先要分析数列通项的特点，再根据通项的特点选择合适的求和方法，在本题中由于数列的奇数项和偶数项分别成等差、等比数列，故求和时选用分组求和的方法．10.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9>0，S10<0，则，，…，中最大的是()A.B.C.D.【答案】B【解析】∵S9＝(a1＋a9)＝9a5>0，∴a5>0．又S10＝(a1＋a10)＝5(a5＋a6)<0，∴a5＋a6<0，∴a6<0，且|a6|>a5．∴数列{an}的前5项均为正数，从第6项开始均为负数，则当n≤5时，数列是递增的正数项数列，其最大项为；当n>6时，各项均为负数．∴数列中最大．选B．11.某举办科技节活动,有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛,该项目只设置一个一等奖.在评奖揭晓前,小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下:小张说:“甲或乙团队获得一等奖”；小王说:“丁团队获得一等奖”；小李说:“乙、丙两个团队均未获得一等奖”；小赵说:“甲团队获得一等奖”,若这四位同学中只有两位预测结果是对的,则获得一等奖的团队是（）A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】D【解析】1.若甲获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符;2.若乙获得一等奖,则只有小张的预测正确,与题意不符;3.若丙获得一等奖,则四人的预测都错误,与题意不符;4.若丁获得一等奖,则小王、小李的预测正确,小张、小赵的预测错误,符合题意，故选D.【思路点睛】本题主要考查演绎推理的定义与应用以及反证法的应用，属于中档题.本题中，若甲获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符；若乙获得一等奖,则只有小张的预测正确,与题意不符；若丙获得一等奖,则四人的预测都错误,与题意不符；若丁获得一等奖,则小王、小李的预测正确,小张、小赵的预测错误,符合题意.12.若函数在区间内有两个不同的零点，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】因为，所以在内有两解，令，则，所以在为减函数，在上为增函数，所以当时，取得最小值，当时，，当时，，所以，所以，即实数的取值范围是，故选D.二、填空题13.已知函数，，若与的图像上存在关于直线对称的点，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】关于直线对称的直线为

∴直线与在上有交点．

作出与的函数图象，如图所示：

若直线经过点，则，

若直线与相切，设切点为则，解得故答案为．14.如图，在四面体中，平面，是边长为的等边三角形.若，则四面体外接球的表面积为__________．【答案】【解析】取的中点，连结在四面体中，平面是边长为的等边三角形，是等腰三角形，的中心为，作交的中垂线于为外接球的中心，，，四面体外接球的表面积为，故答案为.15.已知首项为2的数列的前项和满足：，记，当取得最大值时，的值为__________．【答案】8【解析】因为，所以，所以.所以，因为，所以，所以数列是以为首项，公比为2的等比数列，所以，即，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，即.所以，因为对称轴，所以当时，取得最大值故答案为：8.点睛：求解数列中的最大项或最小项的一般方法：（1）研究数列的单调性，利用单调性求最值；（2）可以用或；（3）转化为函数最值问题或利用数形结合求解.16.已知为常数，函数的最小值为，则的所有值为____．【答案】【解析】由题意得函数为奇函数.∵函数∴令，得，则.∵函数的最小值为∴∴，得.①当时，函数的定义域为，由得或，由得，函数在，上为增函数，在上为减函数.∵，，∴，则②当时，函数的定义域为，由得，得或，函数在上为增函数，在，为减函数.∵，∴，则.综上所述，或.故答案为，.三、解答题17.已知…，．记．（1）求的值；（2）化简的表达式，并证明：对任意的，都能被整除．【答案】(1)30；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）由二项式定理，得，；（2），进而可得到结论.解析：由二项式定理，得（i0，1，2，…，2n+1）．（1）；（2）∵∴．∴．∵∴能被整除．18.设函数．（1）若函数是R上的单调增函数，求实数a的取值范围；（2）设，是的导函数．①若对任意的，求证：存在使；②若求证：．【答案】(1)；(2)①.证明见解析；②证明见解析.【解析】试题分析：（1）由题意，对恒成立，对恒成立；（2）①，由题中条件得到令，则，代入表达式得到，得证；②，，即，，只需证，换元研究函数最值即可............................解析:（1）由题意，对恒成立.∵∴对恒成立，∵∴，从而．（2）①，则．若，则存在，使，不合题意.∴．取，则．此时．∴存在，使．②依题意，不妨设，令，则．由（1）知函数单调递增，则，从而．∵∴∴．∴．下面证明，即证明，只要证明．设，则在恒成立．∴在单调递减，故，从而得证．∴，即．点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.19.若对任意的正整数，总存在正整数，使得数列的前项和，则称是“回归数列”．（）①前项和为的数列是否是“回归数列”？并请说明理由．②通项公式为的数列是否是“回归数列”？并请说明理由；（）设是等差数列，首项，公差，若是“回归数列”，求的值．（）是否对任意的等差数列，总存在两个“回归数列”和，使得成立，请给出你的结论，并说明理由．【答案】（）见解析;（）;（）见解析.【解析】试题分析：利用当时，，当时，即可得到，再利用“回归数列”的意义即可得出；②，，为偶数，即可证明数列是“回归数列”利用等差数列的前项和即可得到，对任意，存在，使，取时和根据即可得出结论设等差数列的公差为，构造数列，，可证明和是等差数列。再利用等差数列的前项和公式及其通项公式，“回归数列”，即可得出；解析：（）①当时，，当时，，当时，，