【湘教版】八年级数学上册全册教案

第1章分式1.1分式第1课时分式1.理解分式的定义，能够根据定义判断一个式子是否是分式.2.能写出分式存在的条件，会求分式的值为0时字母的取值范围.(重难点)3.能根据字母的取值求分式的值.(重点)4.能用分式表示现实情境中的数量关系.(重点)自学指导：阅读教材P2～3，完成下列问题.(一)知识探究1.一般地，如果一个整式f除以一个非零整式g(g中含有字母)，所得商eq\f(f,g)叫作分式，其中f是分式的分子，g是分式的分母，g≠0.2.(1)分式eq\f(f,g)存在的条件是g≠0；(2)分式eq\f(f,g)不存在的条件是g＝0；(3)分式eq\f(f,g)的值为0的条件是f＝0，g≠0.(二)自学反馈1.下列各式中，哪些是分式？①eq\f(2,b－s)；②eq\f(3000,300－a)；③eq\f(2,7)；④eq\f(v,s)；⑤eq\f(s,32)；⑥2x2＋eq\f(1,5)；⑦eq\f(4,5b＋c)；⑧－5；⑨3x2－1；⑩eq\f(x2－xy＋y2,2x－1)；⑪5x－7.解：分式有①②④⑦⑩.判断是否是分式主要看分母是不是含有字母.这是判断分式的唯一条件.2.当x取何值时，下列分式的值不存在？当x取何值时，下列分式的值等于0?(1)eq\f(3－x,x＋2)；(2)eq\f(x＋5,3－2x).解：(1)当x＋2＝0时，即x＝－2时，分式eq\f(3－x,x＋2)的值不存在.当x＝3时，分式eq\f(3－x,x＋2)的值等于0.(2)当3－2x＝0时，即x＝eq\f(3,2)时，分式eq\f(x＋5,3－2x)的值不存在.当x＝－5时，分式eq\f(x＋5,3－2x)的值等于0.分母是否为0决定分式的值是否存在.活动1小组讨论例1列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是整式？哪些是分式？(1)甲每小时做x个零件，他做80个零件需多少小时；(2)轮船在静水中每小时走a千米，水流的速度是b千米/时，轮船的顺流速度是多少千米/时，轮船的逆流速度是多少千米/时；(3)x与y的差除以4的商是多少.解：(1)eq\f(80,x)；分式.(2)a＋b，a－b；整式.(3)eq\f(x－y,4)；整式.例2当x取何值时，分式eq\f(2x－5,x2－4)的值存在？当x取何值时，分式eq\f(2x－5,x2－4)的值为零？解：当eq\f(2x－5,x2－4)的值存在时，x2－4≠0，即x≠±2；当eq\f(2x－5,x2－4)的值为0时，有2x－5＝0且x2－4≠0，即x＝eq\f(5,2).分式的值存在的条件：分式的分母不能为0.分式的值不存在的条件：分式的分母等于0.分式值为0的条件：分式的分子等于0，但分母不能等于0.分式的值为零一定是在有意义的条件下成立的.活动2跟踪训练1.下列各式中，哪些是分式？①eq\f(4,x)；②eq\f(a,4)；③eq\f(1,x－y)；④eq\f(3x,4)；⑤eq\f(1,2)x2.解：①③是分式.2.当x取何值时，分式eq\f(x2＋1,3x－2)的值存在？解：3x－2≠0，即x≠eq\f(2,3)时，eq\f(x2＋1,3x－2)存在.3.求下列条件下分式eq\f(x－2,x＋3)的值.(1)x＝1；(2)x＝－1.解：(1)当x＝1时，eq\f(x－2,x＋3)＝－eq\f(1,4).(2)当x＝－1时，eq\f(x－2,x＋3)＝－eq\f(3,2).活动3课堂小结1.分式的定义及根据条件列分式.2.分式的值存在的条件，以及分式值为0的条件.第2课时分式的基本性质1.理解并掌握分式的基本性质.(重点)2.能运用分式的基本性质约分，并进行简单的求值运算.(重难点)自学指导：阅读教材P4～6，完成下列问题.(一)知识探究1.分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于零的整式，分式的值不变.用式子表示为eq\f(f,g)＝eq\f(（f·h）,g·h)(h≠0).2.根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去(即分子与分母都除以它们的公因式)，叫作分式的约分.3.分子与分母没有公因式的分式叫作最简分式.(二)自学反馈1.下列等式的右边是怎样从左边得到的？(1)eq\f(a,2b)＝eq\f(ac,2bc)(c≠0)；(2)eq\f(x3,xy)＝eq\f(x2,y).解：(1)由c≠0，知eq\f(a,2b)＝eq\f(a·c,2b·c)＝eq\f(ac,2bc).(2)由x≠0，知eq\f(x3,xy)＝eq\f(x3÷x,xy÷x)＝eq\f(x2,y).应用分式的基本性质时，一定要确定分式在有意义的情况下才能应用.2.填空，使等式成立：(1)eq\f(3,4y)＝eq\f(3（x＋y）,4y（x＋y）)(其中x＋y≠0)；(2)eq\f(y＋2,y2－4)＝eq\f(1,（y－2）).在分式有意义的情况下，正确运用分式的基本性质，保证分式的值不变，给分式变形.3.约分：(1)eq\f(a2bc,ab)；(2)eq\f(－32a3b2c,24a2b3d).解：(1)公因式为ab，所以eq\f(a2bc,ab)＝ac.(2)公因式为8a2b2，所以eq\f(－32a3b2c,24a2b3d)＝－eq\f(4ac,3bd).活动1小组讨论例1约分：(1)eq\f(－3a3,a4)；(2)eq\f(12a3（y－x）2,27a（x－y）)；(3)eq\f(x2－1,x2－2x＋1).解：(1)eq\f(－3a3,a4)＝－eq\f(3,a).(2)eq\f(12a3（y－x）2,27a（x－y）)＝eq\f(4a2（x－y）,9).(3)eq\f(x2－1,x2－2x＋1)＝eq\f(（x＋1）（x－1）,（x－1）2)＝eq\f(x＋1,x－1).约分的过程中注意完全平方式(a－b)2＝(b－a)2的应用.像(3)这样的分子分母是多项式，应先分解因式再约分.例2先约分，再求值：eq\f(x2y＋xy2,2xy)，其中x＝3，y＝1.解：eq\f(x2y＋xy2,2xy)＝eq\f(xy（x＋y）,2xy)＝eq\f(x＋y,2).当x＝3，y＝1时，eq\f(x＋y,2)＝eq\f(3＋1,2).活动2跟踪训练1.约分：(1)eq\f(－15（a＋b）2,－25（a＋b）)；(2)eq\f(m2－3m,9－m2).解：(1)eq\f(－15（a＋b）2,－25（a＋b）)＝eq\f(3（a＋b）,5).(2)eq\f(m2－3m,9－m2)＝eq\f(m（m－3）,（3＋m）（3－m）)＝－eq\f(m,m＋3).2.先约分，再求值：(1)eq\f(3m＋n,9m2－n2)，其中m＝1，n＝2；(2)eq\f(x2－4y2,x2－4xy＋4y2)，其中x＝2，y＝4.解：(1)eq\f(3m＋n,9m2－n2)＝eq\f(1,3m－n)＝eq\f(1,3×1－2)＝1.(2)eq\f(x2－4y2,x2－4xy＋4y2)＝eq\f(（x＋2y）（x－2y）,（x－2y）2)＝eq\f(x＋2y,x－2y)＝eq\f(2＋2×4,2－2×4)＝－eq\f(5,3).活动3课堂小结1.分数的基本性质.2.约分、化简求值.1.2分式的乘法和除法第1课时分式的乘法和除法1.理解分式的乘、除法的法则.(重点)2.会进行分式的乘除运算.(重难点)自学指导：阅读教材P8～9，完成下列问题.(一)知识探究分式的乘、除法运算法则：(1)分式乘分式，把分子乘分子、分母乘分母分别作为积的分子、分母.用式子表示为eq\f(f,g)·eq\f(u,v)＝eq\f(fu,gv).(2)分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用式子表示为：如果u≠0，则规定eq\f(f,g)÷eq\f(u,v)＝eq\f(f,g)·eq\f(v,u)＝eq\f(fv,gu).(二)自学反馈1.计算eq\f(x,y)·eq\f(y,2x)的结果是eq\f(1,2).2.化简eq\f(m－1,m)÷eq\f(m－1,m2)的结果是m.3.下列计算对吗？若不对，要怎样改正？(1)eq\f(b,a)·eq\f(a,b)＝1；(2)eq\f(b,a)÷a＝b；(3)eq\f(－x,2b)·eq\f(6b,x2)＝eq\f(3b,x)；(4)eq\f(4x,3a)÷eq\f(a,2x)＝eq\f(2,3).解：(1)对.(2)错.正确的是eq\f(b,a2).(3)错.正确的是－eq\f(3,x).(4)错.正确的是eq\f(8x2,3a2).活动1小组讨论例1计算：(1)eq\f(4x,3y)·eq\f(y,2x3)；(2)eq\f(ab2,2c2)÷eq\f(－3a2b2,4cd).解：(1)原式＝eq\f(4x·y,3y·2x3)＝eq\f(4xy,6x3y)＝eq\f(2,3x2).(2)原式＝eq\f(ab2,2c2)·eq\f(4cd,－3a2b2)＝－eq\f(ab2·4cd,2c2·3a2b2)＝－eq\f(2d,3ac).例2计算：(1)eq\f(a2－4a＋4,a2－2a＋1)·eq\f(a－1,a2－4)；(2)eq\f(1,49－m2)÷eq\f(1,m2－7m).解：(1)原式＝eq\f(（a－2）2,（a－1）2)·eq\f(a－1,（a＋2）（a－2）)＝eq\f(（a－2）2（a－1）,（a－1）2（a－2）（a＋2）)＝eq\f(a－2,（a－1）（a＋2）).(2)原式＝eq\f(1,49－m2)·eq\f(m2－7m,1)＝eq\f(1,（7＋m）（7－m）)·eq\f(m（m－7）,1)＝eq\f(m（m－7）,（7＋m）（7－m）)＝－eq\f(m,7＋m).整式与分式运算时，可以把整式看成分母是1的分式.注意变换过程中的符号.活动2跟踪训练1.计算：(1)eq\f(3a,4b)·eq\f(16b,9a2)；(2)eq\f(12xy,5a)÷8x2y；(3)－3xy÷eq\f(2y2,3x).解：(1)原式＝eq\f(3a·16b,4b·9a2)＝eq\f(4,3a).(2)原式＝eq\f(12xy,5a)·eq\f(1,8x2y)＝eq\f(12xy,5a·8x2y)＝eq\f(3,10ax).(3)原式＝－3xy·eq\f(3x,2y2)＝－eq\f(3xy·3x,2y2)＝－eq\f(9x2,2y).(2)和(3)要把除法转换成乘法运算，然后约分，运算结果要化为最简分式.2.计算：(1)eq\f(x2－4,x2－4x＋3)÷eq\f(x2＋3x＋2,x2－x)；(2)eq\f(2x＋6,4－4x＋x2)÷(x＋3)·eq\f(x2＋x－6,3－x).解：(1)原式＝eq\f(x2－4,x2－4x＋3)·eq\f(x2－x,x2＋3x＋2)＝eq\f(（x＋2）（x－2）,（x－3）（x－1）)·eq\f(x（x－1）,（x＋1）（x＋2）)＝eq\f(x（x－2）,（x－3）（x＋1）)＝eq\f(x2－2x,x2－2x－3).(2)原式＝eq\f(2x＋6,4－4x＋x2)·eq\f(1,x＋3)·eq\f(x2＋x－6,3－x)＝eq\f(2（x＋3）,（x－2）2)·eq\f(1,x＋3)·eq\f(（x＋3）（x－2）,－（x－3）)＝－eq\f(2（x＋3）,（x－2）（x－3）).分式的乘除要严格按着法则运算，除法必须先换算成乘法，如果分式的分子或分母是多项式，那么就把分子或分母分解因式，然后约分，化成最简分式.运算过程一定要注意符号.活动3课堂小结1.分式的乘、除运算法则.2.分式的乘、除法法则的运用.第2课时分式的乘方1.理解分式乘方的运算法则.(重点)2.熟练地进行分式乘方及乘、除、乘方混合运算.(重难点)自学指导：阅读教材P10～11，完成下列问题.(一)知识探究分式的乘方法则：分式的乘方要把分子、分母分别乘方.用式子表示为(eq\f(f,g))n＝eq\f(fn,gn).(其中n为正整数)(二)自学反馈1.计算：(1)(eq\f(2,ab))2；(2)(－eq\f(b2,a))3.解：(1)(eq\f(2,ab))2＝eq\f(4,a2b2).(2)(－eq\f(b2,a))3＝－eq\f(b6,a3).2.计算：(1)(－eq\f(2a,b))2·eq\f(b3,6a2)；(2)(3a2b)2÷(－eq\f(b,2a))2.解：(1)原式＝eq\f(4a2,b2)·eq\f(b3,6a2)＝eq\f(2,3)b.(2)原式＝9a4b2÷eq\f(b2,4a2)＝9a4b2·eq\f(4a2,b2)＝36a6.活动1小组讨论例1计算：(1)(eq\f(n2,m))3；(2)(eq\f(a2b,－cd3))3.解：(1)(eq\f(n2,m))3＝eq\f(n6,m3).(2)(eq\f(a2b,－cd3))3＝eq\f(（a2b）3,（－cd3）3)＝eq\f(a6b3,－c3d9).分式的乘方运算将分式的分子、分母分别乘方，再根据幂的乘方进行运算.例2计算：(1)m3n2÷(eq\f(m,n))3；(2)(－eq\f(n,2m))2÷(eq\f(n2,m3))3·(eq\f(2n,m))3.解：(1)m3n2÷(eq\f(m,n))3＝m3n2÷eq\f(m3,n3)＝m3n2·eq\f(n3,m3)＝n5.(2)(－eq\f(n,2m))2÷(eq\f(n2,m3))3·(eq\f(2n,m))3＝eq\f(n2,4m2)÷eq\f(n6,m9)·eq\f(8n3,m3)＝eq\f(n2,4m2)·eq\f(m9,n6)·eq\f(8n3,m3)＝eq\f(2m4,n).分式混合运算，要注意：(1)化除法为乘法；(2)分式的乘方；(3)约分化简成最简分式.活动2跟踪训练1.计算：(1)eq\f(2m2n,3pq2)·eq\f(5p2q,4mn2)÷eq\f(5mnp,3q)；(2)eq\f(16－a2,a2＋8a＋16)÷eq\f(a－4,2a＋8)·eq\f(a－2,a＋2)；(3)(eq\f(a－1,a＋3))2÷(a－1)·eq\f(9－a2,a－1).解：(1)原式＝eq\f(2m2n,3pq2)·eq\f(5p2q,4mn2)·eq\f(3q,5mnp)＝eq\f(1,2n2).(2)原式＝eq\f(（4＋a）（4－a）,（a＋4）2)·eq\f(2（a＋4）,a－4)·eq\f(a－2,a＋2)＝－eq\f(2（a－2）,a＋2).(3)原式＝eq\f(（a－1）2,（a＋3）2)·eq\f(1,a－1)·eq\f(（3＋a）（3－a）,a－1)＝eq\f(3－a,a＋3).2.计算：(1)(eq\f(－2x4y2,3z))3；(2)(eq\f(2ab3,－c2d))2÷eq\f(6a4,b3)·(eq\f(－3c,b2))3.解：(1)原式＝eq\f(（－2x4y2）3,（3z）3)＝－eq\f(8x12y6,27z3).(2)原式＝eq\f(4a2b6,c4d2)·eq\f(b3,6a4)·eq\f(－27c3,b6)＝－eq\f(18b3,a2cd2).3.化简求值：eq\f(b2,a2－ab)÷(eq\f(b,a－b))2·eq\f(a2b,a－b)，其中a＝eq\f(1,2)，b＝－3.解：化简结果是ab；求值结果为－eq\f(3,2).化简过程中注意“－”.化简中，乘除混合运算顺序要从左到右.活动3课堂小结1.分式乘方的运算.2.分式乘除法及乘方的运算方法.1.3整数指数幂1.3.1同底数幂的除法1.理解同底数幂的除法法则.(重点)2.熟练进行同底数幂的除法运算.(重难点)自学指导：阅读教材P14～15，完成下列问题.(一)知识探究同底数幂相除，底数不变，指数相减.设a≠0，m，n是正整数，且m＞n，则eq\f(am,an)＝eq\f(an·（am－n）,an)＝am－n.(二)自学反馈1.计算a10÷a2(a≠0)的结果是(C)A.a5B.－a5C.a8D.－a82.计算：x5÷(－x)2＝x3；(ab)5÷(ab)2＝a3b3.活动1小组讨论例1计算：(1)eq\f(（－x）5,x3)；(2)eq\f(（xy）8,（－xy）5).解：(1)eq\f(（－x）5,x3)＝－x5－3＝－x2.(2)eq\f(（xy）8,（－xy）5)＝eq\f(x8y8,－x5y5)＝－x3y3.例2计算：(x－y)6÷(y－x)3÷(x－y).解：原式＝(x－y)6÷[－(x－y)]3÷(x－y)＝－(x－y)6－3－1＝－(x－y)2.活动2跟踪训练1.计算：(1)eq\f(a5,a2)；(2)eq\f(（x2y3）2,（－x2y3）2).解：(1)原式＝a3.(2)原式＝1.2.计算：(p－q)4÷(q－p)3·(p－q)2.解：原式＝(p－q)4÷[－(p－q)3]·(p－q)2＝－(p－q)·(p－q)2＝－(p－q)3.活动3课堂小结同底数幂的除法的运算.1.3.2零次幂和负整数指数幂1.理解零次幂和整数指数幂的运算性质，并能解决一些实际问题.(重难点)2.理解零指数幂和负整数指数幂的意义.(重点)3.负整数指数幂在科学记数法中的应用.(重难点)自学指导：阅读教材P16～18，完成下列问题.(一)知识探究1.任何不等于零的数的零次幂都等于1，即a0＝1(a≠0).2.a－n＝eq\f(1,an)(n是正整数，a≠0).(二)自学反馈1.计算：30＝1；(－2)－3＝－eq\f(1,8).2.用科学记数法表示数0.0002016为2.016×10－4.3.计算：23－(eq\f(1,2))0－(eq\f(1,2))－2.解：原式＝8－1－4＝3.活动1小组讨论例1计算：(1)3－2；(2)(10)－3；(3)(eq\f(4,5))－2.解：(1)3－2＝eq\f(1,32)＝eq\f(1,9).(2)10－3＝eq\f(1,103)＝0.001.(3)(eq\f(4,5))－2＝(eq\f(5,4))2＝eq\f(25,16).例2把下列各式写成分式的形式：(1)3x－3；(2)2x－23y－3.解：(1)3x－3＝eq\f(3,x3).(2)2x－23y－3＝eq\f(6,x2y3).例3用科学记数法表示下列各数：(1)0.0003267；(2)－0.0011.解：(1)0.0003267＝3.267×10－4.(2)－0.0011＝－1.10×10－3.活动2跟踪训练1.计算：(－2)0＝1；3－1＝eq\f(1,3).2.把(－100)0，(－3)－2，(－eq\f(1,3))2按从小到大的顺序排列为(－100)0>(－eq\f(1,3))2＝(－3)－2.3.计算：(－1)2012×(3－π)0＋(eq\f(1,2))－1.解：原式＝1×1＋2＝3.活动3课堂小结1.零次幂和整数指数幂的运算性质.2.零指数幂和负整数指数幂的意义.3.负整数指数幂在科学记数法中的应用.1.3.3整数指数幂的运算法则1.理解整数指数幂的运算法则.(重点)2.熟练掌握整数指数幂的各种运算.(重难点)自学指导：阅读教材P19～20，完成下列问题.(一)知识探究1.am·an＝am＋n(a≠0，m，n都是整数).2.(am)n＝amn(a≠0，m，n都是整数).3.(ab)n＝anbn(a≠0，b≠0，m，n都是整数).(二)自学反馈计算：(1)a3·a－5＝a－2＝eq\f(1,a2)；(2)a－3·a－5＝a－8＝eq\f(1,a8)；(3)a0·a－5＝a－5＝eq\f(1,a5)；(4)am·an＝am＋n(m，n为任意整数).am·an＝am＋n这条性质对于m，n是任意整数的情形仍然适用.同样正整数指数幂的运算可以推广到整数指数幂的运算.活动1小组讨论例1计算：(1)(a－1b2)3；(2)a－2b2·(a2b－2)－3.解：(1)原式＝a－3b6＝eq\f(b6,a3).(2)原式＝a－2b2·a－6b6＝a－8b8＝eq\f(b8,a8).例2下列等式是否正确？为什么？(1)am÷an＝am·a－n；(2)(eq\f(a,b))n＝anb－n.解：(1)正确.理由：am÷an＝am－n＝am＋(－n)＝am·a－n.(2)正确.理由：(eq\f(a,b))n＝eq\f(an,bn)＝an·eq\f(1,bn)＝anb－n.活动2跟踪训练1.下列式子中，正确的有(D)①a2÷a5＝a－3＝eq\f(1,a3)；②a2·a－3＝a－1＝eq\f(1,a)；③(a·b)－3＝eq\f(1,（ab）3)＝eq\f(1,a3b3)；④(a3)－2＝a－6＝eq\f(1,a6).A.1个B.2个C.3个D.4个2.计算：[x(x2－4)]－2·(x2－2x)2＝eq\f(1,（x＋2）2).活动3课堂小结牢记整数指数幂的运算法则.1.4分式的加法和减法第1课时同分母分式的加减法1.掌握同分母分式的加、减法则，并能运用法则进行同分母分式的加减运算.(重点)2.会将分母互为相反数的分式化为同分母分式进行运算.(重难点)自学指导：阅读教材P23～24，完成下列问题.(一)知识探究1.同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.即，eq\f(f,g)±eq\f(h,g)＝eq\f(f±h,g).2.eq\f(－f,g)＝eq\f(f,－g)＝－eq\f(f,g)，eq\f(－f,－g)＝eq\f(f,g).(二)自学反馈1.计算：eq\f(y,x)＋eq\f(2,x)＝eq\f(y＋2,x)；eq\f(5,y)－eq\f(a,y)＝eq\f(5－a,y).2.计算：(1)eq\f(3,2－3x)－eq\f(1＋3x,2－3x)；(2)eq\f(a2,a－b)－eq\f(b2－2ab,b－a).解：(1)eq\f(3,2－3x)－eq\f(1＋3x,2－3x)＝eq\f(3－1－3x,2－3x)＝eq\f(2－3x,2－3x)＝1.(2)eq\f(a2,a－b)－eq\f(b2－2ab,b－a)＝eq\f(a2,a－b)＋eq\f(b2－2ab,a－b)＝eq\f(（a－b）2,a－b)＝a－b.活动1小组讨论例1计算：(1)eq\f(x－1,x)＋eq\f(1,x)；(2)eq\f(5x＋3y,x2－y2)－eq\f(2x,x2－y2).解：(1)原式＝eq\f(x－1＋1,x)＝eq\f(x,x)＝1.(2)原式＝eq\f(5x＋3y－2x,x2－y2)＝eq\f(3x＋3y,（x＋y）（x－y）)＝eq\f(3（x＋y）,（x＋y）（x－y）)＝eq\f(3,x－y).例2计算：(1)eq\f(m,m－1)－eq\f(1,1－m)；(2)eq\f(5x,x2－x)－eq\f(5,1－x).解：(1)原式＝eq\f(m,m－1)＋eq\f(1,m－1)＝eq\f(m＋1,m－1).(2)原式＝eq\f(5x,x（x－1）)－eq\f(5,1－x)＝eq\f(5,x－1)＋eq\f(5,x－1)＝eq\f(5＋5,x－1)＝eq\f(10,x－1).活动2跟踪训练1.化简eq\f(x2,x－1)＋eq\f(x,1－x)的结果是(D)A.x＋1B.x－1C.－xD.x2.化简eq\f(a2,a－b)－eq\f(b2,a－b)的结果是(A)A.a＋bB.a－bC.a2－b2D.13.计算：(1)eq\f(x＋1,x)－eq\f(1,x)；(2)eq\f(a,b＋1)＋eq\f(2a,b＋1)－eq\f(3a,b＋1).解：(1)原式＝eq\f(x＋1－1,x)＝1.(2)原式＝eq\f(a＋2a－3a,b＋1)＝0.1.在分式有关的运算中，一般总是先把分子、分母分解因式；2.注意：计算过程中，分子、分母一般保持分解因式的形式.活动3课堂小结1.分式相加减时，如果分子是一个多项式，要将分子看成一个整体，先用括号括起来，再运算，可减少出现符号错误.2.分式加减运算的结果要约分，化为最简分式(或整式).第2课时通分1.了解什么是最简公分母，会求最简公分母.(重点)2.了解通分的概念，并能将异分母分式通分.(重难点)自学指导：阅读教材P25～26，完成下列问题.(一)知识探究1.异分母分式进行加减运算时，也要先化成同分母分式，然后再加减.2.根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式的过程，叫作分式的通分.3.通分时，关键是确定公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母.(二)自学反馈1.eq\f(1,2x)，eq\f(1,3y)的最简公分母是6xy.2.对分式eq\f(y,2x)，eq\f(x,3y2)，eq\f(1,4xy)通分时，最简公分母是12xy2.3.通分：(1)eq\f(3c,2ab2)与eq\f(－a,8bc2)；(2)eq\f(x,4a（x＋2）)与eq\f(x,6b（x＋2）).解：(1)eq\f(3c,2ab2)＝eq\f(3c·4c2,2ab2·4c2)＝eq\f(12c3,8ab2c2)；－eq\f(a,8bc2)＝－eq\f(a·ab,8bc2·ab)＝－eq\f(a2b,8ab2c2).(2)eq\f(x,4a（x＋2）)＝eq\f(3bx,12ab（x＋2）)，eq\f(y,6b（x＋2）)＝eq\f(2ay,12ab（x＋2）).活动1小组讨论例1通分：(1)eq\f(3,2a2b)与eq\f(a－b,ab2c)；(2)eq\f(2x,x－5)与eq\f(3x,x＋5).解：(1)最简公分母是2a2b2c.eq\f(3,2a2b)＝eq\f(3·bc,2a2b·bc)＝eq\f(3bc,2a2b2c)，eq\f(a－b,ab2c)＝eq\f(（a－b）·2a,ab2c·2a)＝eq\f(2a（a－b）,2a2b2c).(2)最简公分母是(x＋5)(x－5).eq\f(2x,x－5)＝eq\f(2x（x＋5）,（x－5）（x＋5）)＝eq\f(2x2＋10x,x2－25)，eq\f(3x,x＋5)＝eq\f(3x（x－5）,（x＋5）（x－5）)＝eq\f(3x2－15x,x2－25).例2通分：(1)eq\f(2c,bd)与eq\f(3ac,4b2)；(2)eq\f(1,x2－4)与eq\f(x,4－2x).解：(1)最简公分母是4b2d.eq\f(2c,bd)＝eq\f(8bc,4b2d)，eq\f(3ac,4b2)＝eq\f(3acd,4b2d).(2)最简公分母是2(x＋2)(x－2).eq\f(1,x2－4)＝eq\f(1×2,（x＋2）（x－2）×2)＝eq\f(2,2x2－8)，eq\f(x,4－2x)＝eq\f(x,－2（x－2）)＝eq\f(－x·（x＋2）,2（x＋2）（x－2）)＝－eq\f(x2＋2x,2x2－8).活动2跟踪训练1.分式eq\f(1,x2－4)，eq\f(x,2（x－2）)的最简公分母为(B)A.(x＋2)(x－2)B.2(x＋2)(x－2)C.2(x＋2)(x－2)2D.－(x＋2)(x－2)22.分式eq\f(1,x2－1)，eq\f(x－1,x2－x)，eq\f(1,x2＋2x＋1)的最简公分母是x(x＋1)2(x－1).3.通分：(1)eq\f(x,3y)与eq\f(3x,2y2)；(2)eq\f(x－y,2x＋2y)与eq\f(xy,（x＋y）2)；(3)eq\f(2mn,4m2－9)与eq\f(2m－3,2m＋3).解：(1)eq\f(x,3y)＝eq\f(2xy,6y2)，eq\f(3x,2y2)＝eq\f(9x,6y2).(2)eq\f(x－y,2x＋2y)＝eq\f(x2－y2,2（x＋y）2)，eq\f(xy,（x＋y）2)＝eq\f(2xy,2（x＋y）2).(3)eq\f(2mn,4m2－9)＝eq\f(2mn,4m2－9)，eq\f(2m－3,2m＋3)＝eq\f(（2m－3）2,4m2－9).活动3课堂小结1.确定最简公分母.2.将异分母分式通分.第3课时异分母分式的加减法1.熟练掌握求最简公分母的方法.2.能根据异分母分式的加减法则进行计算.(重难点)自学指导：阅读教材P27～29，完成下列问题.(一)知识探究异分母的分式相加减时，要先通分，即把各个分式的分子、分母同乘一个适当的整式，化成同分母分式，然后再加减.(二)自学反馈1.化简分式eq\f(1,x)＋eq\f(1,x（x－1）)的结果是(C)A.xB.eq\f(1,x2)C.eq\f(1,x－1)D.eq\f(x,x－1)2.下列计算正确的是(D)A.eq\f(1,x)＋eq\f(1,2x)＝eq\f(1,3x)B.eq\f(1,x)－eq\f(1,y)＝eq\f(1,x－y)C.eq\f(x,x＋1)＋1＝eq\f(1,x＋1)D.eq\f(1,a－1)－eq\f(1,a＋1)＝eq\f(2,a2－1)活动1小组讨论例1计算：(1)eq\f(3,x)＋eq\f(2,y)；(2)eq\f(1,a＋1)－eq\f(1,a－1).解：(1)原式＝eq\f(3y,xy)＋eq\f(2x,xy)＝eq\f(3y＋2x,xy).(2)原式＝eq\f(a－1,（a＋1）（a－1）)－eq\f(（a＋1）,（a＋1）（a－1）)＝eq\f(－2,（a＋1）（a－1）).例2计算：(1)(1－eq\f(b,a＋b))÷eq\f(a,a2－b2)；(2)eq\f(1,2p＋3q)＋eq\f(1,2p－3q).解：(1)原式＝eq\f(a＋b－b,a＋b)·eq\f(a2－b2,a)＝eq\f(a,a＋b)·eq\f(（a＋b）（a－b）,a)＝a－b.(2)原式＝eq\f(2p－3q,（2p＋3q）（2p－3q）)＋eq\f(2p＋3q,（2p＋3q）（2p－3q）)＝eq\f(2p－3q＋2p＋3q,（2p＋3q）（2p－3q）)＝eq\f(4p,4p2－9q2).活动2跟踪训练1.计算(eq\f(a2,a－3)＋eq\f(9,3－a))÷eq\f(a＋3,a)的结果为(A)A.aB.－aC.(a＋3)2D.12.化简(1＋eq\f(4,a－2))÷eq\f(a,a－2)的结果是(A)A.eq\f(a＋2,a)B.eq\f(a,a＋2)C.eq\f(a－2,a)D.eq\f(a,a－2)3.化简eq\f(x2－1,x2－2x＋1)·eq\f(x－1,x2＋x)＋eq\f(2,x)的结果是eq\f(3,x).4.化简(1－eq\f(1,m＋1))(m＋1)的结果是m.1.在分式有关的运算中，一般总是先把分子、分母分解因式；2.注意：化简过程中，分子、分母一般保持分解因式的形式.活动3课堂小结1.分式加减运算的方法思路：eq\x(\a\al(异分母,相加减))eq\o(→,\s\up7(通分转化为))eq\x(\a\al(同分母,相加减))eq\o(→,\s\up7(分母不变))eq\x(\a\al(分子（整式）,相加减))2.分式相加减时，如果分子是一个多项式，要将分子看成一个整体，先用括号括起来，再运算，可减少出现符号错误.3.分式加减运算的结果要约分，化为最简分式(或整式).1.5可化为一元一次方程的分式方程第1课时可化为一元一次方程的分式方程1.理解分式方程的意义.2.了解分式方程的基本思路和解法.(重点)3.理解分式方程可能无解的原因，并掌握验根的方法.(重点)自学指导：阅读教材P32～34，完成下列问题.(一)知识探究1.分母中含有未知数的方程叫作分式方程.2.在检验分式方程的根时，将所求的未知数的值代入最简公分母中，如果它使最简公分母的值不等于0，那么它是原分式方程的一个根；如果它使最简公分母的值为0，那么它不是原分式方程的根，称它是原方程的增根.3.解分式方程有可能产生增根，因此解分式方程必须检验.(二)自学反馈1.下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？①eq\f(x－2,2)＝eq\f(x,3)；②eq\f(4,x)＋eq\f(3,y)＝7；③eq\f(1,x－2)＝eq\f(3,x)；④eq\f(x（x－1）,x)＝－1；⑤eq\f(3－x,π)＝eq\f(x,2)；⑥2x＋eq\f(x－1,5)＝10；⑦x－eq\f(1,x)＝2；⑧eq\f(2x＋1,x)＋3x＝1.解：①⑤⑥是整式方程，②③④⑦⑧是分式方程.判断整式方程和分式方程的方法就是看分母中是否含有未知数.2.解分式方程的一般步骤是：(1)去分母；(2)解整式方程；(3)验根；(4)小结.活动1小组讨论例1解方程：eq\f(2,x－3)＝eq\f(3,x).解：方程两边同乘x(x－3)，得2x＝3(x－3).解得x＝9.检验：当x＝9时，x(x－3)≠0.所以，原分式方程的解为x＝9.例2解方程：eq\f(x,x－1)－1＝eq\f(3,（x－1）（x＋2）).解：方程两边同乘(x－1)(x＋2)，得x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3.解得x＝1.检验：当x＝1时，(x－1)(x＋2)＝0.所以x＝1不是原方程的解.所以，原方程无解.活动2跟踪训练解方程：(1)eq\f(1,2x)＝eq\f(2,x＋3)；(2)eq\f(x,x＋1)＝eq\f(2x,3x＋3)＋1；(3)eq\f(2,x－1)＝eq\f(4,x2－1)；(4)eq\f(5,x2＋x)－eq\f(1,x2－x)＝0.解：(1)方程两边同乘2x(x＋3)，得x＋3＝4x.化简得3x＝3.解得x＝1.检验：当x＝1时，2x(x＋3)≠0.所以x＝1是方程的解.(2)方程两边同乘3(x＋1)，得3x＝2x＋3x＋3.解得x＝－eq\f(3,2).检验：当x＝－eq\f(3,2)时，3x＋3≠0.所以x＝－eq\f(3,2)是方程的解.(3)方程两边同乘x2－1，得2(x＋1)＝4.解得x＝1.检验：当x＝1时，x2－1＝0，所以x＝1不是方程的解.所以原方程无解.(4)方程两边同乘x(x＋1)(x－1)，得5(x－1)－(x＋1)＝0.解得x＝eq\f(3,2).检验：当x＝eq\f(3,2)时，x(x＋1)(x－1)≠0.所以x＝eq\f(3,2)是原方程的解.方程中分母是多项式，要先分解因式再找公分母.活动3课堂小结解分式方程的思路是：第2课时分式方程的应用能将实际问题中的相等关系用分式方程表示，并进行方法总结.(重难点)自学指导：阅读教材P35～36，完成下列问题.(一)知识探究列分式方程解应用题的一般步骤是：(1)审题设未知数；(2)找等量关系列方程；(3)去分母，化分式方程为整式方程；(4)解整式方程.(5)验根是否符合实际意义；(6)答题.(二)自学反馈重庆市政府打算把一块荒地建成公园，动用了一台甲型挖土机，4天挖完了这块地的一半.后又加一台乙型挖土机，两台挖土机一起挖，结果1天就挖完了这块地的另一半.乙型挖土机单独挖这块地需要几天？甲型挖土机4天完成了一半，那么甲型挖土机每天挖eq\f(1,2)÷4＝eq\f(1,8)，如果设乙型挖土机单独挖这块地需要x天，那么一天挖eq\f(1,x)；两台挖土机一天共挖eq\f(1,8)＋eq\f(1,x)；两台一天完成另一半.所以列方程为eq\f(1,8)＋eq\f(1,x)＝eq\f(1,2)；解得x＝eq\f(8,3)，即乙单独挖需eq\f(8,3)天.认真分析题意.根据等量关系列方程.活动1小组讨论例甲、乙两人分别从相距36千米的A，B两地相向而行，甲从A出发到1千米时发现有东西遗忘在A地，立即返回，取过东西后又立即从A向B行进，这样两人恰好在AB中点处相遇.已知甲比乙每小时多走0.5千米，求二人的速度各是多少？分析：路程速度时间甲18＋1×2x＋0.5eq\f(18＋1×2,x＋0.5)乙18xeq\f(18,x)等量关系：t甲＝t乙.解：设乙的速度为x千米/小时，则甲的速度为(x＋0.5)千米/小时.根据题意，列方程得eq\f(18＋1×2,x＋0.5)＝eq\f(18,x).解得x＝4.5.检验：当x＝4.5时，x(x＋0.5)≠0.所以x＝4.5是原方程的解.则x＋0.5＝5.答：甲的速度为5千米/小时，乙的速度为4.5千米/小时.等量关系是时间相等，那么就要找到相等时间里每个人所走的路程，甲的路程比乙的路程多两个1千米.活动2跟踪训练1.A、B两地相距135千米，有大、小两辆汽车从A地开往B地，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟.已知大、小汽车速度的比为2∶5，求两辆汽车的速度.解：设大汽车的速度为2x千米/小时，则小汽车的速度为5x千米/小时.根据题意，列方程得eq\f(135－2x×5,2x)＝eq\f(135－\f(1,2)×5x,5x).解得x＝9.检验：当x＝9时，10x≠0.所以，x＝9是原方程的解.则2x＝18，5x＝45.答：大汽车的速度是18千米/小时，小汽车的速度是45千米/小时.等量关系是大汽车5小时后剩下路程所走的时间，等于小汽车去掉30分钟路程所用的时间.2.一项工程，需要在规定日期内完成，如果甲队独做，恰好如期完成，如果乙队独做，就要超过规定3天，现在由甲、乙两队合作2天，剩下的由乙队独做，也刚好在规定日期内完成，问规定日期是几天？解：设规定日期是x天，则甲队独做需x天，乙队独做需(x＋3)天，根据题意，列方程得eq\f(2,x)＋eq\f(x,x＋3)＝1.解得x＝6.检验：当x＝6时，x(x＋3)≠0.所以，x＝6是原方程的解.答：规定日期是6天.活动3课堂小结1.列分式方程解应用题，应该注意解题的六个步骤.2.列方程的关键是要在准确设元(可直接设，也可设间接)的前提下找出等量关系.3.解题过程注意画图或列表帮助分析题意找等量关系.4.注意不要遗漏检验和写答案.第2章三角形2.1三角形第1课时三角形的有关概念及三边关系1.通过具体实例，进一步认识三角形的概念及其基本要素.2.学会三角形的表示及根据“是否有边相等”对三角形进行的分类.3.掌握三角形三条边之间的关系.(重点)自学指导：阅读教材P42～44，完成下列各题.(一)知识探究1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形.2.等边三角形：三条边都相等的三角形.3.等腰三角形：有两边相等的三角形，其中相等的两条边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角.4.不等边三角形：三条边都不相等的三角形.5.三角形按边的相等关系分类：三角形eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(不等边三角形,等腰三角形\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(底边和腰不相等的等腰三角形,等边三角形))))6.三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边.三角形两边之和大于第三边指的是三角形任意两边之和大于第三边，即a＋b>c，b＋c>a，c＋a>b三个不等式同时成立.(二)自学反馈1.找一找，图中有多少个三角形，并把它们写下来.解：图中有5个三角形.分别是△ABE、△DEC、△BEC、△ABC、△DBC.2.下列长度的三条线段能否组成三角形？(1)3，4，8；(不能)(2)2，5，6；(能)(3)5，6，10；(能)(4)5，6，11.(不能)用较短的两条线段之和与最长的线段比较，若和大，能组成三角形；反之，则不能.活动1小组讨论例如图，D是△ABC的边AC上一点，AD＝BD，试判断AC与BC的大小.解：在△BDC中，有BD＋DC>BC(三角形的任意两边之和大于第三边).又因为AD＝BD，则BD＋DC＝AD＋DC＝AC，所以AC>BC.活动2跟踪训练1.现有两根木棒，它们的长度分别为20cm和30cm，若不改变木棒的长度，要钉成一个三角形木架，应在下列四根木棒中选取(B)A.10cm的木棒B.20cm的木棒C.50cm的木棒D.60cm的木棒2.看图填空，如图：(1)如图中共有4个三角形，它们是△ABC、△EBG、△AEF、△CGF；(2)△BGE的三个顶点分别是B、G、E，三条边分别是BE、EG、BE，三个角分别是∠B、∠BEG、∠BGE；(3)△AEF中，顶点A所对的边是EF；边AF所对的顶点是E；(4)∠ACB是△ACB的内角，∠ACB的对边是AB.3.用一根长为18厘米的细铁丝围成一个等腰三角形.(1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？(2)能围成有一边的长为4厘米的等腰三角形吗？解：(1)设底边长为x厘米，则腰长为2x厘米.则x＋2x＋2x＝18.解得x＝3.6.所以三边长分别为3.6厘米、7.2厘米、7.2厘米.(2)①当4厘米长为底边，设腰长为x厘米，则4＋2x＝18.解得x＝7.所以等腰三角形的三边长为7厘米、7厘米、4厘米；②当4厘米长为腰长，设底边长为x厘米，可得4×2＋x＝18.解得x＝10.因为4＋4<10，所以此时不能构成三角形.即可围成等腰三角形，且三边长分别为7厘米、7厘米和4厘米.活动3课堂小结1.由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形.三角形的对、角、顶点及表示方法.2.三角形的分类：按边和角分类.3.三角形的三边关系：三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边的差小于第三边.第2课时三角形的高、角平分线和中线1.能找到一个三角形的高，知道三角形的角平分线和中线的含义，了解三角形的重心.(重点)2.能应用三角形的高、角平分线和中线解决相关的问题.(难点)自学指导：阅读教材P44～45，完成下列问题.(一)知识探究1.从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高.2.在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.3.在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作这个三角形的中线；三角形的三条中线相交于一点，我们把这三条中线的交点叫作三角形的重心.(二)自学反馈1.如图，过△ABC的顶点A作BC边上的高，以下作法正确的是(A)2.如图所示，D、E分别是△ABC的边AC、BC的中点，那么下列说法中不正确的是(D)A.在△CDE中，∠C的对边是DEB.BD是△ABC的中线C.AD＝DC，BE＝ECD.DE是△ABC的中线3.如图所示，在△ABC中，D，E，F是BC边上的三点，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4，AE是哪个三角形的角平分线(D)A.△ABEB.△ADFC.△ABCD.△ABC，△ADF活动1小组讨论例如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高.(1)图中共有几个三角形？请分别列举出来.(2)其中哪些三角形的面积相等？解：(1)图中有6个三角形，它们分别是△ABD，△ADE，△AEC，△ABE，△ADC，△ABC.(2)因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC.因为AE是△ABC的高，也是△ABD和△ADC的高，又S△ABD＝eq\f(1,2)BD·AE，S△ADC＝eq\f(1,2)DC·AE，所以S△ABD＝S△ADC.活动2跟踪训练1.一定能将三角形面积平分成相等两部分的是三角形的(B)A.高线B.中线C.角平分线D.不确定2.如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，把△ABC沿直线AC翻折180°，使点B落在点B′的位置，则线段AC(D)A.是边BB′上的中线B.是边BB′上的高C.是∠BAB′的角平分线D.以上都对3.如图所示，在△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，S△ABC＝4cm2，则S△ABE的面积是1cm2.活动3课堂小结三角形中几条重要线段：高、角平分线、中线.第3课时三角形内角和定理1.知道三角形的内角和是180°，能应用此性质解决相关问题.2.知道三角形的分类，并会用数学符号表示直角三角形.3.会找一个三角形的外角，能应用三角形外角的性质解决相关问题.(重点)自学指导：阅读教材P46～48，完成下列问题.(一)知识探究1.三角形的内角和等于180°.2.三角形中，三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形.3.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.(二)自学反馈1.△ABC中，若∠A＋∠B＝∠C，则△ABC是(B)A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形2.在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠C＝50°.3.求下列各图中∠1的度数.解：75°，125°.活动1小组讨论例在△ABC中，∠A的度数是∠B的度数的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.解：设∠B为x°，则∠A为(3x)°，∠C为(x＋15)°，从而有3x＋x＋(x＋15)＝180.解得x＝33.所以3x＝99，x＋15＝48.答：∠A，∠B，∠C的度数分别为99°，33°，48°.活动2跟踪训练1.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则∠C的度数为(C)A.45°B.60°C.75°D.90°2.如图，AC∥ED，∠C＝26°，∠CBE＝37°，则∠BED的度数是(A)A.63°B.83°C.73°D.53°3.如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，∠B＝30°，∠DAE＝50°，则∠D的度数为20°，∠ACD的度数为110°.活动3课堂小结2.2命题与证明第1课时定义与命题1.知道“定义”和“命题”，能判断给出的语句哪些是命题.2.能把简单的命题写成“如果……，那么……”的形式，能找到命题的条件和结论.(重点)3.知道什么是“原命题”、“逆命题”和“互逆命题”，能写出已知命题的逆命题.(重难点)自学指导：阅读教材P50～52，完成下列问题.(一)知识探究1.对一个概念的含义加以描述说明或作出明确规定的语句叫作这个概念的定义.2.对某一件事情作出判断的语句(陈述句)叫作命题.3.命题通常写成“如果……，那么……”的形式，其中“如果”引出的部分就是条件，“那么”引出的部分就是结论.4.对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作逆命题.只要将一个命题的条件和结论互换，就可得到它的逆命题，所以每一个命题都有逆命题.(二)自学反馈1.下列语句中，属于定义的是(D)A.两点确定一条直线B.平行线的同位角相等C.两点之间线段最短D.直线外一点到直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离2.下列语句中哪些是命题，哪些不是命题？(1)负数都小于零；(2)当a＞0时，|a|＝a；(3)平角与周角一定不相等.解：(1)(2)(3)都是命题.3.把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式.(1)对顶角相等；解：如果这两个角是对顶角，那么这两个角相等.(2)同位角相等.解：如果两个角是同位角，那么这两个角相等.活动1小组讨论例1判断下列语句哪些是命题？哪些不是？(1)画一个角等于已知角；(2)两直线平行，同位角相等；(3)同位角相等，两条直线平行吗？(4)鸟是动物；(5)若x－5＝0，求x的值.解：(2)(4)是命题；(1)(3)(5)不是命题.例2指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……，那么……”的形式，并写出它的逆命题.(1)两直线平行，同位角相等；解：条件是“两直线平行”，结论是“同位角相等”.可以改写成“如果两直线平行，那么同位角相等”.逆命题是：同位角相等，两直线平行.(2)垂直于同一直线的两条直线平行；解：条件是“垂直于同一直线的两条直线”，结论是“这两条直线平行”.可以改写成“如果有两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”.逆命题是：两条直线平行，这两条直线会垂直于同一直线.(3)对顶角相等.解：条件是“两个角是对顶角”，结论是“两个角相等”.可以改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”.逆命题是：相等的角是对顶角.活动2跟踪训练1.下列语句中，是命题的是(B)A.连接A、B两点B.锐角小于钝角C.作平行线D.取线段AB的中点M2.把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并写出它的逆命题.(1)能被2整除的数必能被4整除；解：如果一个数能被2整除，那么这个数一定能被4整除.(2)异号两数相加得零.解：如果两个数异号，那么这两个数相加的和为零.3.写出下列命题的逆命题.(1)直角三角形的两个锐角互余；解：两个锐角互余的三角形是直角三角形.(2)若a＝0，则ab＝0.解：若ab＝0，则a＝0.活动3课堂小结第2课时真命题、假命题与定理1.会判断一个命题的真假，并且知道要判定一个命题是真命题需要证明；要判定一个命题是假命题，只需举反例.(重点)2.知道基本事实、定理和逆定理的含义，以及它们之间的内在联系.3.知道公理与定理的区别，认识公理是进行逻辑推理的基本依据.自学指导：阅读教材P53～55，完成下列问题.(一)知识探究1.正确的命题叫作真命题，错误的命题叫作假命题.2.如何判断一个命题为真命题，这个过程叫作证明.如何判断一个命题为假命题，这种方法叫作举反例.3.由某定理直接得出的真命题叫作这个定理的推论.4.逆定理是一个定理的逆命题能被证明是真命题，而逆命题不一定是真的.基本事实和定理的相同点：都是真命题；不同点：基本事实是不需要证明的，而定理是需要经过证明.(二)自学反馈1.下列命题中，哪些是真命题，哪些是假命题？(1)直角三角形的两锐角互余；解：真命题.(2)如果a>b，那么a2>b2.解：假命题，例如，a＝1，b＝－2，则a>b，而a2<b2.2.判断.(正确的打“√”，错误的打“”)(1)定理和公理都是真命题；(√)(2)定理是命题，命题未必是定理；(√)(3)公理是真命题，真命题是公理；()(4)“对顶角相等”与“相等的角是对顶角”是互逆定理.()活动1小组讨论例1有下面命题：①直角三角形的两个锐角互余；②钝角三角形的两个内角互补；③两个锐角的和一定是直角；④两点之间线段最短.其中，真命题有(B)A.1个B.2个C.3个D.4个例2判断下列命题的真假，举出反例.①大于锐角的角是钝角；②如果一个实数有算术平方根，那么它的算术平方根是整数；③如果AC＝BC，那么点C是线段AB的中点.解：①②③假命题.①的反例：90°的角大于锐角，但不是钝角.②的反例：5有算术平方根，但算术平方根不是整数.③的反例：如果AC＝BC，而点A，B，C三点不在同一直线上，那么点C就不是AB的中点.活动2跟踪训练1.下列命题中，真命题是(D)A.相等的角是直角B.不相交的两条线段平行C.两直线平行，同位角互补D.经过两点有且只有一条直线2.写出你熟悉的一个定理：两直线平行，同位角相等，写出这个定理的逆定理：同位角相等，两直线平行.3.下列命题是真命题吗？若不是请举出反例.(1)只有锐角才有余角；解：真命题.(2)若x2＝4，则x＝2；解：假命题，如x＝－2.(3)a2＋1≥1；解：真命题.(4)若|a|＝－a，则a<0.解：假命题，如a＝0.活动3课堂小结第3课时命题的证明1.知道证明的含义及步骤，能用规范的语言进行证明.2.会证明文字类证明题.3.能利用反证法进行简单的证明.(重点)自学指导：阅读教材P55～57，完成下列问题.(一)知识探究1.数学上证明一个命题时，常常从命题的条件出发，通过一步步推理，最后证实这个命题的结论成立，这是证明的含义.也就是说，我们在证明一个命题时，将条件作为“已知”，结论作为“求证”.2.文字证明题的基本步骤：第1步：根据题意画出图形；第2步：根据命题的条件和结论，结合图形，写出已知、求证.第3步：通过分析，找出证明的途径，写出证明的过程.3.先假设命题不成立，然后利用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确，这种证明方法称为反证法.基本思路归结为“否定结论，导出矛盾，肯定结论”.(二)自学反馈1.证明：三角形内角和为180°.解：已知：如图所示的△ABC.求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.证明：过点C作CD∥AB，点E为BC的延长线上一点，如图.∵CD∥AB，∴∠1＝∠A，∠2＝∠B.∵∠C＋∠1＋∠2＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＝180°.2.用反证法证明下题.已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°.求证：∠A＋∠B＝90°.证明：假设∠A＋∠B≠90°，所以∠A＋∠B＋∠C≠180°，这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，所以假设不正确.因此，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则∠A＋∠B＝90°.活动1小组讨论例1已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D在线段BA的延长线上，射线AE平分∠DAC.求证：AE∥BC.证明：因为∠DAC＝∠B＋∠C，∠B＝∠C，所以∠DAC＝2∠B.又因为AE平分∠DAC.所以∠DAC＝2∠DAE.所以∠DAE＝∠B.所以AE∥BC.例2已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角.求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.证明：假设∠A，∠B，∠C中没有一个角大于或等于60°，即∠A<60°，∠B<60°，∠C<60°，则∠A＋∠B＋∠C<180°.这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，所以假设不成立.因此，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.活动2跟踪训练1.如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P.求证：∠P＝90°.证明：∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠DFE＝180°.又∵∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，∴∠PEF＝eq\f(1,2)∠BEF，∠PFE＝eq\f(1,2)∠DFE.∴∠PEF＋∠PFE＝eq\f(1,2)(∠BEF＋∠DFE)＝90°.∵∠PEF＋∠PFE＋∠P＝180°，∴∠P＝90°.2.用反证法证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.解：已知：如图，∠1是△ABC的一个外角，求证：∠1＝∠A＋∠B，证明：假设∠1≠∠A＋∠B，在△ABC中，∠A＋∠B＋∠2＝180°，∴∠A＋∠B＝180°－∠2，∵∠1＋∠2＝180°，∴∠1＝180°－∠2，∴∠1＝∠A＋∠B，与假设相矛盾，∴假设不成立，∴原命题成立，即∠1＝∠A＋∠B.活动3课堂小结2.3等腰三角形第1课时等腰三角形的性质1.能用语言描述等腰三角形的性质，并会运用性质解决一些简单的实际问题.2.能用等腰三角形的性质推导出等边三角形的性质.(重难点)自学指导：阅读教材P61～63，完成下列问题.(一)知识探究1.等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).2.等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.3.等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在的直线.4.等边三角形三边相等，三个内角相等，且都等于60°.等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的所有性质.(二)自学反馈1.在△ABC中，若AC＝AB，则∠B＝∠C.2.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上.(1)∵AD⊥BC，∴∠1＝∠2，BD＝CD；(2)∵AD是中线，∴AD⊥BC，∠1＝∠2；(3)∵AD是角平分线，∴AD⊥BC，BD＝CD.活动1小组讨论例已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在边BC上，且AD＝AE.求证：BD＝CE.证明：作AF⊥BC，垂足为点F，则AF是等腰三角形ABC和等腰三角形ADE底边上的高，也是底边上的中线.∴BF＝CF，DF＝EF.∴BF－DF＝CF－EF，即BD＝CE.利用等腰三角形三线合一的性质求证.活动2跟踪训练1.若等腰三角形的顶角为80°，则它的底角度数为(B)A.80°B.50°C.40°D.20°2.如图，△ABC是等边三角形，则∠1＋∠2＝(C)A.60°B.90°C.120°D.180°3.如图，在△ABC中，点D是BC上一点，∠BAD＝80°，AB＝AD＝DC，则∠C的度数为25°.活动3课堂小结第2课时等腰三角形的判定1.能感知等腰三角形和等边三角形判定定理的推导过程，能复述等腰三角形和等边三角形的判定定理，会用几何语言进行描述.(重点)2.能运用判定定理解决一些实际问题.(难点)自学指导：阅读教材P63～65，完成下列问题.(一)知识探究1.等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.2.等边三角形的判定定理：(1)三个角都是60°的三角形是等边三角形；(2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.3.观察思考，并在箭头上填上相应的条件.(二)自学反馈1.在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝50°，那么△ABC的形状是等腰三角形.要证一个三角形是等腰三角形，只需要证这个三角形中有两个内角相等即可.2.如图，兴趣小组在一次测量池塘宽度AB的实践活动中测得∠APB＝60°，AP＝BP＝200m，他们便得出了结论：池塘宽度AB的长为200m.他们的结论对吗？请说明理由.解：他们的结论对.因为AP＝BP，所以△ABP是等腰三角形.又∠APB＝60°，所以△ABP是等边三角形.所以AB＝AP＝200m.活动1小组讨论例1已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC.求证：△ADE为等腰三角形.证明：因为AB＝AC，所以∠B＝∠C.又因为DE∥BC，所以∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.所以∠ADE＝∠AED.所以△ADE为等腰三角形.例2已知：如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BA，CA的延长线上，且AD＝AE.求证：△ADE为等边三角形.证明：因为△ABC是等边三角形，所以∠BAC＝∠B＝∠C＝60°.所以∠EAD＝∠BAC＝60°.又因为AD＝AE，所以△ADE为等边三角形(有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形).活动2跟踪训练1.已知a，b，c是三角形的三边长，且满足(a－b)2＋|b－c|＝0，则这个三角形一定是(B)A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.不等边三角形2.下列命题：①有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；④三个外角都相等的三角形是等边三角形.其中正确的是①④(只填序号).3.如图，△ABC为等边三角形，∠1＝∠2＝∠3，试判断△DEF的形状，并说明理由.解：△DEF是等边三角形.理由：∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.∵∠FDB＝∠FDE＋∠1＝∠A＋∠2，∠1＝∠2，∴∠FDE＝∠A＝60°.同理：∠DEF＝60°，∠DFE＝60°.∴∠FDE＝∠DEF＝∠DFE＝60°，∴△DEF是等边三角形.活动3课堂小结2.4线段的垂直平分线第1课时线段垂直平分线的性质和判定1.通过作图，探究、总结、归纳垂直平分线的性质.识记并能用几何语言描述线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理.(重点)2.会运用垂直平分线的性质定理及其逆定理解决实际问题.(难点)自学指导：阅读教材P68～69，完成下列问题.(一)知识探究1.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.2.线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.(二)自学反馈1.如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点，如果EC＝7cm，那么ED＝7cm，如果∠ECD＝60°，那么∠EDC＝60°.2.如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是(D)A.ED＝CDB.∠DAC＝∠BC.∠C＞2∠BD.∠B＋∠ADE＝90°3.如图，已知AD是线段BC的垂直平分线，且BD＝3cm，△ABC的周长为20cm，则AC的长为7cm.活动1小组讨论例已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC.求证：点O在AC的垂直平分线上.证明：因为点O在线段AB的垂直平分线上，所以OA＝OB.同理：OB＝OC.∴OA＝OC.所以点O在AC的垂直平分线上.活动2跟踪训练1.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为(B)A.6B.5C.4D.32.在锐角△ABC内一点P满足PA＝PB＝PC，则点P是△ABC