优选文档函数极限的性质PPT

函数极限的性质定理3.2

如果当xx0时f(x)的极限存,那么这极限是唯一的

证明，

x

x

f

B

A

时的极限

当

都是

设

0

,

®

,

)

(

0

,

0

,

0

1

0

1

e

d

d

e

<

-

<

-

<

>

$

>

"

A

x

f

x

x

时有

当

则

,

)

(

0

,

0

2

0

2

e

d

d

<

-

<

-

<

>

$

B

x

f

x

x

时有

当

故有

同时成立

时

则当

取

，

x

x

)

2

(

),

1

(

0

),

,

min(

0

2

1

d

d

d

d

<

-

<

=

.

2

)

(

)

(

)

)

(

(

)

)

(

(

e

<

-

+

-

£

-

-

-

=

-

B

x

f

A

x

f

B

x

f

A

x

f

B

A

.

.

即其极限唯一

的任意性得

由

B

A

=

e

(1)(2)一函数极限的性质1.唯一性2.局部有界性若极限

存在，

则函数在的某一空心邻域上有界。

证明有

使得

则

取

设

)

;

(

,

0

,

1

,

)

(

lim

0

0

d

d

e

x

U

x

A

x

f

x

x

o

Î

"

>

$

=

=

®

.

1

)

(

1

)

(

+

<

Þ

<

-

A

x

f

A

x

f

.

)

;

(

)

(

0

内有界

在

即

d

x

U

x

f

o

3.局部保号性定理3.4证明设A＞0,对任何＞0,使得对一切＞这就证得结论.对于A＜0的情形可类似地证明.推论定理3.4(函数极限的局部保号性)

如果f(x)A(xx0)

而且A0(或A0)

那么对任何正数r<A(或r<-A),在x0的某一去心邻域内

有f(x)r>0(或f(x)-r<0)

证明)

;

(

,

0

,

),

1

,

0

(

,

0

0

d

d

e

x

U

x

r

A

r

A

Î

"

>

$

-

=

Î

"

>

使得

则

取

设

.

)

(

r

A

x

f

=

-

>

e

有

.

0

的情形类似可证

对于

<

r

推论

如果在x0的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0)

而且

f(x)A(xx0)

那么A0(或A0)

3.局部保号性定理3.5(函数极限的保不等式性)证明).

(

lim

)

(

lim

),

(

)

(

)

;

(

)

(

),

(

0

0

'

0

0

x

g

x

f

x

g

x

f

x

U

x

g

x

f

x

x

x

x

x

x

®

®

£

£

®

则

内有

极限都存在且在

时

如果

d

o

,

)

(

lim

,

)

(

lim

0

0

B

x

g

A

x

f

x

x

x

x

=

=

®

®

设

)

1

(

),

(

0

,

0

,

0

1

0

1

x

f

A

x

x

<

-

<

-

<

>

$

>

"

e

d

d

e

时有

当

则

)

2

(

.

)

(

0

,

0

2

0

2

e

d

d

+

<

<

-

<

>

$

B

x

g

x

x

时有

当

于是有

同时成立

与

不等式

时

则当

令

，

x

g

x

f

x

x

)

2

(

),

1

(

)

(

)

(

,

0

},

,

,

min{

0

2

1

'

£

<

-

<

=

d

d

d

d

d

,

)

(

)

(

e

e

+

<

£

<

-

B

x

g

x

f

A

.

,

2

B

A

B

A

£

+

<

的任意性知

由

从而

e

e

4保不等式推论定理3.6

如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件

(1)g(x)f(x)h(x)

(2)limg(x)Alimh(x)A

那么limf(x)存在

且limf(x)A

证明),

(

0

,

0

,

0

1

0

1

x

g

A

x

x

，

<

-

<

-

<

>

$

>

"

e

d

d

e

时有

当

按假设

.

)

(

0

,

0

2

0

2

e

d

d

+

<

<

-

<

>

$

A

x

h

x

x

时有

当

故有

同时成立

时上两不等式与

则当

令

,

)

(

)

(

)

(

0

},

,

min{

0

2

1

x

h

x

f

x

g

x

x

£

£

<

-

<

=

d

d

d

d

,

)

(

)

(

)

(

e

e

+

<

£

£

<

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A

x

h

x

f

x

g

A

.

)

(

lim

)

(

0

A

x

f

，

A

x

f

x

x

=

<

-

®

即

由此得

e

5迫敛性定理3.7设,则

1）2）3）6四则运算法则(3)的证明

只要证，

令，由

，使得当

时，有

，即

,仍然由

，.，使得当

时，有

.

取

，则当

时，有

即

推论1常数因子可以提到极限记号外面.推论2⑤定理的条件：存在商的情形还须加上分母的极限不为0⑥定理简言之即是：和、差、积、商的极限等于极限的和、差、积、商⑦定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对任何一个过程都成立).(lim)](lim[,,)(limxfcxcfcxf=则为常数而存在如果.)]([lim)](lim[,,)(limnnxfxfnxf=则是正整数而存在如果二、利用函数极限的性质计算某些函数的极限..已证明过以下几个极限：

（注意前四个极限中极限就是函数值）

利用极限性质，特别是运算性质求极限的原是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.

这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,参阅[4]P37—38.我们将陆续证明这些公式.常数因子可以提到极限记号外面.多项式与分式函数代入法求极限;利用无穷小运算性质求极限;在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,参阅[4]P37—38.已证明过以下几个极限：（注意前四个极限中极限就是函数值）由以上几例可见，在应用极限的四则运算法则求(1)g(x)f(x)h(x)如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件如果在x0的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0)而且利用“迫敛性”和“四则运算”，可以从一些“简单函数极限”出发，计算较复杂函数的极限。极限时，必须注意定理的条件，当条件不具备时，有时可作适当的变形，以创造应用定理的条件，有时可以利用无穷小的运算性质或无穷小与无穷大的关系求极限。(2)limg(x)Alimh(x)A证明设A＞0,对任何如果当xx0时f(x)的极限存,那么这极限是唯一的极限时，必须注意定理的条件，当条件不具备时，有时可作适当的变形，以创造应用定理的条件，有时可以利用无穷小的运算性质或无穷小与无穷大的关系求极限。⑦定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对多项式与分式函数代入法求极限;利用“迫敛性”和“四则运算”，可以从一些“简单函数极限”出发，计算较复杂函数的极限。例１求.例２求.例３求.(利用极限和)例4证明证（不妨设ε＜1）例6求例5求註:关于的有理分式当时的极限.参阅[4]P37

[利用公式

]

求A和B.

补充题:已知

求极限方法举例例7解小结:例8解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得例9解(消去零因子法)例10解(无穷小因子分出法)利用左右极限求分段函数极限.那么limf(x)存在且limf(x)A如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件利用“迫敛性”和“四则运算”，可以从一些“简单函数极限”出发，计算较复杂函数的极限。我们将陆续证明这些公式.等于极限的和、差、积、商,则这些极限可作为公式用.如果f(x)A(xx0)而且A0(或A0)那么对任何正数r<A(或r<-A),在x0的某一去心邻域内有f(x)r>0(或f(x)-r<0)证明设A＞0,对任何由以上几例可见，在应用极限的四则运算法则求⑦定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对极限时，必须注意定理的条件，当条件不具备时，有时可作适当的变形，以创造应用定理的条件，有时可以利用无穷小的运算性质或无穷小与无穷大的关系求极限。,则一函数极限的性质由无穷小与无穷大的关系,得多项式与分式函数代入法求极限;小结:无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.例11解先变形再求极限.由以上几例可见，在应用极限的四则运算法则求极限时，必须注意定理的条件，当条件不具备时，有时可作适当的变形，以创造应用定理的条件，有时可以利用无穷小的运算性质或无穷小与无穷大的关系求极限。三、复合函数极限定理（复合函数极限运算法则——变量代