向量的数乘运算课件高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

空白演示单击输入您的封面副标题向量的数乘运算第六章

平面向量及其应用复习回顾1.向量加法三角形法则:特点:首尾相接，首尾连特点:同一起点,对角线BAO特点：共起点，连终点，方向指向被减向量2.向量加法平行四边形法则:3.向量减法三角形法则:

我们知道数是可以做乘法的，平面向量既有大小，又有方向，平面向量可以做乘法吗？它和实数可以做乘法吗？新知探究

探究

已知非零向量a，作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)，它们的长度和方向是怎样的？OABCNMQP新知探究

思考:向量与向量有什么关系?向量与向量有什么关系?(1)向量的方向与的方向相同,向量的长度是的3倍,即(2)向量的方向与的方向相反,向量的长度是的3倍,即向量的数乘运算定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘(multiplicationofvectorbyscalar)，记作λa．

几何意义：将a的长度扩大（或缩小）|λ|倍，改变（不改变）a的方向，就得到了λa．特别地，当λ=0或a=0时，λa

=0．（2）方向当λ>0时，λa的方向与

a方向相同；当λ<0时，λa的方向与a方向相反；（1）长度|λa|=|λ|·|a|它的长度和方向规定如下：新知探究

问题2

如果把非零向量a的长度伸长到原来的3.5倍，方向不变得到向量b，向量b该如何表示？

向量a，b之间的关系怎样？b=3.5ab的方向与a的方向相同，b的长度是a的长度的3.5倍．①向量数乘结果仍然是向量，其长度、方向都与λ以及有关；②实数和向量可以相乘，但不能相加减，，无意义；

注：2.点C在线段AB上，且，则CAB习题演练新知探究=探究:实数与向量积的运算律新知探究探究:实数与向量积的运算律新知探究探究：实数与向量积的运算律=问题3

我们知道实数的乘法有很好的运算律，那么，向量数乘运算有哪些运算律呢?请你写出来并加以验证．①λ(μa)=(λμ)a

运算律：设a、b为任意向量，λ、μ为任意实数，则有：②(λ+μ)a=λa+μa

③λ(a+b)=λa+λb结合律第一分配律第二分配律向量数乘运算律特别地，我们有

(-λ)a=-(λa)=λ(-a)，

λ(a-b)=λa-λb．向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b．向量数乘运算律例题讲解例5

计算下列各式：巩固练习：P162题解:注意：向量与实数之间可以象多项式一样进行运算.归纳小结例题讲解ABCMD用已知向量表示未知向量的一般步骤

[提醒]

用已知向量表示未知向量的关键是弄清向量之间的数量关系．归纳小结习题演练√习题演练√新知探究

问题

向量数乘运算具有明显的几何意义，根据向量数乘运算，你能发现向量a与a(a

≠0，是实数)之间的位置关系吗？对于向量a，b及实数，（1）如果b=a

(a

≠0)，向量a与b是否共线？（2）如果向量b与非零向量a共线，b=a成立吗？新知探究?同向反向令令令令不存在所以当时,向量共线当a与b同方向时，有b=μa；当a与b反方向时，有b=-μa，所以，始终有一个实数λ，使b=λa．

对于向量a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使得b=λa，那么，由数乘向量的定义知：向量a与b共线．

若向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是a的长度的μ倍，即有|b|=μ|a|，且向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：

存在唯一一个实数λ，使b=λa．非零向量

的单位向量

的向量，通常记做．与

同方向且长度为1新知探究

定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa.例7

如图，已知任意两个非零向量，试作.猜想A,B,C三点之间的位置关系，并证明你的猜想.例题讲解解：所求作如图示，由所作图猜想A,B,C三点共线.证明如下：ABCO证明或判断A、B、C三点共线的方法：归纳小结有公共点BACBA、B、C三点共线新知探究l几何意义：a+λ2bab

ab几何意义：新知探究

例8

设e1，e2不共线，判断下列各小题中的向量a与b是否共线.例题讲解判断e1，e2系数之比是否相等.归纳提升练习

设e1，e2是两个不共线的向量，a=e1-2e2，b=2e1+ke2.若a与b是共线向量，求实数k的值为

-4例题讲解---求参数例9

已知a，b是两个不共线的向量，向量b-ta与

a-

b共线，求实数t.解：相应向量系数相等习题演练---求参数例10

如图，已知A，B，P三点共线，且满足

，

求证：

.

证明或判断三点共线的方法利用结论：若A，B，P三点共线，O为直线外一点

存在实数x，y，使归纳提升利用向量共线定理证明：例题讲解---三点共线证明或判断三点共线的方法：归纳总结追问

：如图，若P为AB的中点，则与，的关系如何？OABP新知探究向量共线定理应用（1）

证明向量共线：向量a与b共线b=λa（3）

证明两直线平行:AB=λCDAB∥CD