等比数列的前n项和

等比数列的前n项和第一页，共25页。2.3.2等比数列的前n项和第二页，共25页。（一）知识回顾：

2.通项公式：

3.等比数列的主要性质：

②在等比数列{}中，若则()

①成等比数列

(G,a,b≠0)1.等比数列的定义：

（常数）

（）第三页，共25页。64个格子1223344551667788你想得到什么样的赏赐？陛下，赏小人一些麦粒就可以。OK请在第一个格子放1颗麦粒请在第二个格子放2颗麦粒请在第三个格子放4颗麦粒请在第四个格子放8颗麦粒

依次类推……第四页，共25页。你认为国王有能力满足上述要求吗每个格子里的麦粒数都是前一个格子里麦粒数的2倍且共有64格子麦粒总数?第五页，共25页。由刚才的例子可知：实际上就是一个以1为首项，2为公比的等比数列的前64项的求和问题，即：

……

①

把上式左右两边同乘以2得：……②16+由②-①得：=18446744073709551615≈1.84错位相减法第六页，共25页。所以当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了他的要求。其实，人们估计，全世界一千年也难以生产这么多麦子!假定千粒麦子的质量为40g,那么麦粒的总质量超过了7000亿吨。第七页，共25页。一般地，等比数列的前n项和=?=?即“请你用错位相减法或者其他方法在这两个式子中任选一个进行研究．”第八页，共25页。已知：等比数列{}，公比为，

……

，如何用

来表示

解：……

①两边同时乘以q得：……

②①-②得：当时当时说明：这种求和方法称为错位相减法第九页，共25页。等比数列的前项和公式：或：第十页，共25页。注（1）公式中涉及五个量

“知三求二”(方程思想)（2）选择合适的公式，简化运算过程

q≠1时，已知首项和公比，用已知首项和末项，用第十一页，共25页。方法二：Sn=a1+a2+···+an=a1+a1q+a1q2+···+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+···+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(Sn–an)∴(1–q)Sn=a1–qan∴当q≠1时Sn

a1(1–qn)1-q==

a1-anq1-q当q＝1时Sn=na1第十二页，共25页。解:由得：

（1）第十三页，共25页。(2)等比数列{an}的公比q=，a8=1，求它的前8项和S8。解：因为a8=a1q7，所以因此第十四页，共25页。练习：1.根据下列条件，求相应的等比数列的第十五页，共25页。例2．求和个分析：数列9，99，999，……，不是等比数列，不能直接用公式求和，但将它转化为10－1，100－1，1000－1，……，就可以解决了。第十六页，共25页。解：原式=(10－1)+(100－1)+(1000－1)+…+(10n－1)

=(10+100+1000+……+10n)－n第十七页，共25页。例3．某工厂去年1月份的产值为a元，月平均增长率为p(p>0)，求这个工厂去年全年产值的总和。解：该工厂去年2月份的产值为a(1+p)元，3月，4月，……，的产值分别为a(1+p)2元，a(1+p)3元，……，所以12个月的产值组成一个等比数列，首项为a，公比为1+p，第十八页，共25页。答：该工厂去年全年的总产值为元。第十九页，共25页。1．等比数列{2n}的前n项和Sn＝()A．2n－1B．2n－2C．2n＋1－1 D．2n＋1－2【答案】D第二十页，共25页。2．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于()A．31 B．33C．35 D．37【答案】B3．设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn}是等差数列，则q＝________.【答案】1第二十一页，共25页。第二十二页，共25页。小结(q=1).(q≠1).1.已知则(q=1).(q≠1).已知则2.对含字母的题目一般要分别考虑q=1和q≠1两种情况。第二十三页，共25页。填表数列 等差数列 等比数列