定积分的应用体积旋转体的侧面积

定积分的应用体积旋转体的侧面积第一页，共二十七页，2022年，8月28日例2.

计算心形线与圆所围图形的面积.解:

利用对称性,所求面积2第二页，共二十七页，2022年，8月28日例3.

求双纽线所围图形面积.解:

利用对称性,则所求面积为思考:用定积分表示该双纽线与圆所围公共部分的面积.答案:3第三页，共二十七页，2022年，8月28日二、体积第四页，共二十七页，2022年，8月28日第五页，共二十七页，2022年，8月28日第六页，共二十七页，2022年，8月28日特别,当考虑连续曲线段轴旋转一周围成的立体体积时,有当考虑连续曲线段绕y

轴旋转一周围成的立体体积时,有7第七页，共二十七页，2022年，8月28日例2计算由椭圆所围图形绕x

轴旋转而转而成的椭球体的体积.解:方法1

利用直角坐标方程则(利用对称性)8第八页，共二十七页，2022年，8月28日方法2

利用椭圆参数方程则特别当b=a

时,就得半径为a的球体的体积9第九页，共二十七页，2022年，8月28日第十页，共二十七页，2022年，8月28日第十一页，共二十七页，2022年，8月28日第十二页，共二十七页，2022年，8月28日第十三页，共二十七页，2022年，8月28日例5.

计算摆线的一拱与y＝0所围成的图形分别绕x

轴,y

轴旋转而成的立体体积.解:

绕x

轴旋转而成的体积为利用对称性14第十四页，共二十七页，2022年，8月28日绕

y

轴旋转而成的体积为注意上下限!注15第十五页，共二十七页，2022年，8月28日分部积分注(利用“偶倍奇零”)16第十六页，共二十七页，2022年，8月28日柱壳体积说明:

柱面面积17第十七页，共二十七页，2022年，8月28日偶函数奇函数18第十八页，共二十七页，2022年，8月28日第十九页，共二十七页，2022年，8月28日第二十页，共二十七页，2022年，8月28日例7

设在

x≥0时为连续的非负函数,且形绕直线x＝t

旋转一周所成旋转体体积,证明:证:利用柱壳法则故21第二十一页，共二十七页，2022年，8月28日设平面图形A

由与所确定,求图形A绕直线x＝2旋转一周所得旋转体的体积.提示：选x为积分变量.旋转体的体积为例8.若选

y

为积分变量,则22第二十二页，共二十七页，2022年，8月28日设平面光滑曲线求积分后得旋转体的侧面积它绕x轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积.取侧面积元素:

23第二十三页，共二十七页，2022年，8月28日侧面积元素的线性主部.若光滑曲线由参数方程给出,则它绕

x

轴旋转一周所得旋转体的不是薄片侧面积△S的注意:侧面积为24第二十四页，共二十七页，2022年，8月28日例9.

计算圆x

轴旋转一周所得的球台的侧面积S.解:

对曲线弧应用公式得当球台高h＝2R时,得球的表面积公式25第二十五页，共二十七页，2022年，8月28日例10.

求由星形线一周所得的旋转体的表面积S.解:

利用对称性绕

x

轴旋转26第二十六页，共二十七页，2022年，8月28日星形线星形线是内摆线的一种.点击图片任意处播放开始或暂停大圆半径