《线性代数》教案完整版教案整本书全书电子教案

1、 线性代数 教 案编 号： 课时安排： 2 学时教学课型：理论课 实验课 习题课 其它题目： 第一章 行列式 1.1二阶、三阶行列式 1.2 n阶行列式教学目的要求： 使学生掌握二、三阶行列式的定义及计算方法；理解逆序数的定义及计算方法教学重点、难点： 二、三阶行列式的定义及计算方法；逆序数的计算方法教学方式、手段、媒介： 讲授，多媒体、板书教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等） 导入（10分钟）本章主要内容和知识点 新授课内容（75分钟）二、三阶行列式的定义一、二阶行列式的定义 从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。设二元线性方程组 用消元法,当 时,

2、解得 令 ,称为二阶行列式 ,则 如果将D中第一列的元素, 换成常数项, ,则可得到另一个行列式,用字母表示,于是有按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：,这就是公式（2）中的表达式的分子。同理将中第二列的元素a 12,a 22 换成常数项b1,b2 ,可得到另一个行列式,用字母表示,于是有 按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：,这就是公式（2）中的表达式的分子。于是二元方程组的解的公式又可写为 其中解线性方程组 同样,在解三元一次方程组时,要用到“三阶行列式”,这里可采用如下的定义.二、三阶行列式的定义 设三元线性方程组用消元法解得 定义 设有9个数排成3行3列的数表 记 ,称为三阶行

3、列式,则 三阶行列式所表示的6项的代数和,也用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素相乘取正号,从右上角到左下角三个元素取负号,即例2. 计算三阶行列式 .(-14)例3. 解线性方程组 解 先计算系数行列式 再计算 ,得 , 全排列及其逆序数引例：用1、2、3三个数字,可以组成多少个没有重复的三位数？一、全排列 把n个不同的元素排成一列,叫做这个元素的全排列（简称排列）.可将个不同元素按进行编号,则个不同元素的全排列可看成这个自然数的全排列.个不同元素的全排列共有种. 二、逆序及逆序数 逆序的定义：取一个排列为标准排列,其它排列中某两个元素的次序与标准排列中这两个元素的次序相反时,则称有

4、一个逆序.通常取从小到大的排列为标准排列,即的全排列中取为标准排列. 逆序数的定义：一个排列中所有逆序数的总数称为这个排列的逆序数. 逆序数为偶数的排列称为偶排列,逆序数为奇数的排列称为奇排列,标准排列规定为偶排列. 例1: 讨论的全排列. 全排列123231312132213321逆序数022113奇偶性偶奇逆序数的计算：设为的一个全排列,则其逆序数为 .其中为排在 前,且比大的数的个数. 定理1 任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变。定理2 n个数码（n1）共有n！个n级排列，其中奇偶排列各占一半。总结（5分钟）讨论、思考题、作业：教学总结： 线性代数 教 案编 号： 课时安排： 2 学时

5、教学课型：理论课 实验课 习题课 其它题目： 第一章 行列式 1.2 阶行列式的定义(续)教学目的要求： 掌握阶行列式的定义教学重点、难点： 阶行列式的定义，特殊行列式的计算公式教学方式、手段、媒介： 讲授，多媒体、板书教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等） 复习（5分钟） 新授课内容（80分钟）回顾二阶,三阶行列式的共同特点. 二阶行列式 .其中： 是 的全排列,是的逆序数,是对所有的全排列求和. 三阶行列式 其中:是的全排列,是的逆序数,是对所有的全排列求和. 其中: 是的全排列,是的逆序数, 是对所有的全排列求和. 板书给出阶行列式语言定义和计算定义： 举

6、例进行练习阶行列式的等价定义为： 阶行列式的等价定义为： 特殊公式1： , 特殊公式2：下三角行列式.总结（5分钟）讨论、思考题、作业：教学总结： 线性代数 教 案编 号： 课时安排： 2 学时教学课型：理论课 实验课 习题课 其它题目：第一章 行列式 1.3 行列式的性质教学目的要求： 掌握阶行列式的性质，会利用阶行列式的性质计算阶行列式的值；教学重点、难点： 行列式的性质教学方式、手段、媒介： 讲授，多媒体、板书教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等） 复习（5分钟） 新授课内容（80分钟）转置行列式的定义 记 = ()行列式称为行列式的转置行列式（依次将行换

7、成列）一、阶行列式的性质性质 1： 行列式与它的转置行列式相等.由此知，行与列具有同等地位.关于行的性质，对列也同样成立，反之亦然.如: 以r表示第i行，表示第j列.交换两行记为,交换i,j两列记作.性质 2：行列式互换两行（列），行列式变号. 推论： 行列式有两行（列）相同，则此行列式为零. 性质 3：行列式的某一行（列）的所有元素乘以数 ,等于用数乘以该行列式. 推论1： 行列式的某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号外. 推论2： 行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则此行列式为零. 性质 4： 若行列式中某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和. 即若 则

8、 +.性质 5： 把行列式某一行（列）的元素乘以数再加到另一行（列）上，则该行列式不变. 二、阶行列式的计算：例1. 计算.解： .例2. . (推广至阶，总结一般方法)例3. 证明：.证明： 左端.例4. 计算阶行列式.(利用递推法计算)例5. ， 则 .总结（5分钟）讨论、思考题、作业：教学总结： 线性代数 教 案编 号： 课时安排： 2 学时教学课型：理论课 实验课 习题课 其它题目： 第一章 行列式 1.4 行列式按行（列）展开教学目的要求： 了解余子式和代数余子式的概念；掌握行列式按行（列）展开；教学重点、难点： 行列式按行（列）展开教学方式、手段、媒介： 讲授，多媒体、板书教学过程

9、：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等） 复习（5分钟） 新授课内容（80分钟）定义 在阶行列式中，把元素所处的第行、第列划去，剩下的元素按原排列构成的阶行列式，称为的余子式，记为；而称为的代数余子式. 引理 如果阶行列式中的第行除外其余元素均为零，即： .则：. 定理 行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和，即 按行： 按列： 举例讲解并练习范德蒙行列式.其中，记号“”表示全体同类因子的乘积.定理的推论 行列式一行（列）的各元素与另一行（列）对应各元素的代数余子式乘积之和为零，即 按列： 结合定理及推论，得 ，其中总结（5分钟）讨论、思考题、作业

10、：教学总结： 线性代数 教 案编 号： 课时安排： 2 学时教学课型：理论课 实验课 习题课 其它题目： 第一章 行列式 1.5 克莱姆法则教学目的要求： 了解克拉默法则的内容,了解克拉默法则的证明,会利用克拉默法则求解含有个未知数个方程的线性方程组的解；教学重点、难点： 克拉默法则的应用教学方式、手段、媒介： 讲授，多媒体、板书教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等） 复习（5分钟） 新授课内容（80分钟）研究对象：含有个未知数的个方程的线性方程组 （1）与二、三元线性方程组相类似,它的解可以用阶行列式表示.定理1（Cramer法则）如果线性方程组(1)的系数行

11、列式不等于零,即,则方程组(1)有且仅有一组解：, (2)其中是把系数行列式中的第列的元素用方程组右端的常数列代替,而其余列不变所得到的阶行列式.当全为零时,即 称之为齐次线性方程组.显然,齐次线性方程组必定有解(）.根据克拉默法则,有 1齐次线性方程组的系数行列式时,则它只有零解（没有非零解） 2反之,齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式. 例1求解线性方程组解:系数行列式同样可以计算 , , 所以 ,.注意： 1. 克莱姆法则的条件：个未知数,个方程,且2. 用克莱姆法则求解方程组运算量大一般不采用它求解方程组。3. 克莱姆法则具有重要的理论意义。4. 克莱姆法则说明线性方程组的解与它

12、的系数、常数项之间的依存关系.例2. 用克拉默法则解方程组例3. 已知齐次线性方程组有非零解,问应取何值？解 系数行列式由：,得总结（5分钟）讨论、思考题、作业：教学总结： 线性代数 教 案编 号： 课时安排： 2 学时教学课型：理论课 实验课 习题课 其它题目： 第二章 矩阵 2.1 矩阵的概念 2.2 矩阵的运算 2.3 阶矩阵（方阵），方阵的行列式教学目的要求： 了解矩阵的概念；掌握矩阵的运算教学重点、难点： 矩阵的概念和矩阵的运算教学方式、手段、媒介： 讲授，多媒体、板书教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等） 导入（10分钟）本章主要内容和知识点 新授课

13、内容（75分钟）一、矩阵的定义 称行、列的数表 为矩阵，或简称为矩阵；表示为或简记为,或或；其中表示中第行，第列的元素。 其中行列式为按行列式的运算规则所得到的一个数；而矩阵是 个数的整体,不对这些数作运算。 例如，公司的统计报表,学生成绩登记表等,都可写出相应的矩阵。设，都是 矩阵，当 则称矩阵与相等,记成。二、特殊形式 阶方阵： 矩阵 行矩阵 ：矩阵（以后又可叫做行向量），记为列矩阵 ：矩阵（以后又可叫做列向量），记为 零矩阵 ：所有元素为的矩阵,记为 矩阵的运算一、加法 设，,都是矩阵,则加法定义为 显然, ， 二、数乘 设是数,是矩阵,则数乘定义为 显然 ， ， 三、乘法 设 ，,则乘

14、法定义为 其中 注：两个矩阵相乘要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数；乘积矩阵的行数为前一个矩阵的行数,列数为后一个矩阵的列数；乘积矩阵的第行，第列元素为前一个矩阵的第行元素与后一个矩阵的第行元素对应相乘再相加。 例：设 , ，则 例:设，求及。解： ，由此发现：（1），（不满足交换律） （2），但却有。一个必须注意的问题 ： 1若，, ,则 成立,当 时, 不成立； 2即使，,则 是阶方阵,而是阶方阵；3. 如果 , 都是阶方阵,例如，则 ，而 综上所述,一般 （即矩阵乘法不满足交换率）。 下列性质显然成立： ，,几个运算结果： 1 . ；2. ；3 .若为矩阵,是阶单位阵,则;若是阶单

15、位阵,则；4线性方程组的矩阵表示： ,则 矩阵的幂:.四、转置 设 ，记则称是的转置矩阵。 显然， ， ， ， 。 五、方阵的行列式 为阶方阵，其元素构成的阶行列式称为方阵的行列式,记为或。 结论 ， ， 。总结（5分钟）讨论、思考题、作业：教学总结： 线性代数 教 案编 号： 课时安排： 2 学时教学课型：理论课 实验课 习题课 其它题目：第二章 矩阵 2.4 几种特殊的矩阵教学目的要求： 掌握几个阶特殊矩阵的定义和性质教学重点、难点： 三角形矩阵和对称矩阵的相关定义和结论教学方式、手段、媒介： 讲授，多媒体、板书教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等） 复习（

16、5分钟） 新授课内容（80分钟）对角阵 ：对角线元素为,其余元素为的方阵，记为 结论：同阶对角阵的和、数乘、乘积仍是同阶对角矩阵数量矩阵：结论：同阶数量阵的和、数乘、乘积仍是同阶数量矩阵单位阵 ：对角线元素为1，其余元素为0的方阵，记为 三角形矩阵：上三角形矩阵下三角形矩阵同阶同型三角阵的和、数乘、乘积仍是同阶同型三角矩阵对称矩阵:若矩阵满足（即）,则称是对称阵 结论：设是矩阵,则是阶对称阵,是阶对称阵.结论：数乘对称矩阵及同阶对称矩阵之和仍为对称矩阵，但是对称矩阵的乘积未必对称。两个同阶对称矩阵，当且仅当二者可交换时，乘积才是对称矩阵。总结（5分钟）讨论、思考题、作业：教学总结： 线性代数

17、教 案编 号： 课时安排： 2 学时教学课型：理论课 实验课 习题课 其它题目：第二章 矩阵 2.5分块矩阵教学目的要求： 掌握矩阵分块的运算和相关性质教学重点、难点： 矩阵分块的运算教学方式、手段、媒介： 讲授，多媒体、板书教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等） 复习（5分钟） 新授课内容（80分钟）引例：设 可按以下方式分块，每块均为小矩阵： ， ，, 则。矩阵分块法是用若干条横线和若干条竖线将矩阵分割成几个小矩阵。矩阵分块法的运算及运算性质： 1加法： 设， 则.2数乘： 设 ，是数，则 . 3乘法： 设 ，则 其中， 4转置： 设，则5对角分块的性质：

18、设 ，其中均为方阵，则 。几个矩阵分块的应用：1矩阵按行分块： 设，记 , 则 矩阵按列分块： 记 则 。 2线性方程组的表示： 设 若记 ， 则线性方程组可表示为 。总结（5分钟）讨论、思考题、作业：教学总结： 线性代数 教 案编 号： 课时安排： 2学时教学课型：理论课 实验课 习题课 其它题目： 第二章 矩阵 2.6 逆矩阵教学目的要求： 掌握逆矩阵、伴随矩阵的定义和性质；能够利用公式计算逆矩阵教学重点、难点： 逆矩阵概念和计算教学方式、手段、媒介： 讲授，多媒体、板书教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等） 复习（5分钟） 新授课内容（80分钟）一、逆矩阵

19、定义 设为阶方阵,若存在一个阶方阵，使得,则称方阵可逆,并称方阵为的逆矩阵,记作， 若,则性质1 若存在,则必唯一.性质2 若可逆，则也可逆，且性质3 若可逆,则可逆,且性质4 若同阶方阵、都可逆，则也可逆，且 二、逆阵存在的条件及逆阵的求法定义. 由的行列式中元素的代数余子式构成的阶方阵,记作,即 称为的伴随矩阵.定理 方阵可逆 且 推论 设为阶方阵,若存在阶方阵,使得，(或)，则。 注：求时，只需要验算，计算量减半。 例. 判断下列方阵,是否可逆? 若可逆，求其逆阵。解：，所以不可逆，可逆，并且三、用逆矩阵法解线性方程组例：解线性方程组解：其矩阵式为 因 , 所以 所以其解为 四、分块矩阵

20、的逆矩阵 结论：若 可逆，则结论： 设，为可逆方阵,则。 总结（5分钟）讨论、思考题、作业：教学总结：线性代数 教 案 编 号： 课时安排： 2 学时教学课型：理论课 实验课 习题课 其它题目： 第二章 矩阵 2.7 矩阵的初等变换教学目的要求： 了解矩阵的三种初等变换，熟悉初等矩阵的定义，掌握矩阵初等变换与对应初等矩阵运算上的关系，能够将给定的矩阵利用初等变换化简成阶梯形，标准形；掌握利用初等变换求逆矩阵的方法教学重点、难点： 矩阵的初等变换，利用初等变换求逆矩阵教学方式、手段、媒介： 讲授，多媒体、板书在本章的2.6节中给出了矩阵可逆的充分必要条件，并同时给出了求逆矩阵的一种方法伴随矩阵法

21、但是利用伴随矩阵法求逆矩阵，当矩阵的阶数较高时计算量是很大的这一节将介绍求逆矩阵的另一种方法初等变换法为此我们先介绍初等矩阵的概念，并建立矩阵的初等变换与矩阵乘法的联系一、初等变换1) 交换矩阵的某两行的位置；2) 用一个非零的数去乘矩阵的某一行；3) 用一个数乘某一行后加到另一行上这三种变换称为矩阵的初等行变换类似地，有1 交换矩阵的某两列的位置；2) 用一个非零的数去乘矩阵的某一列；3) 用一个数乘某一列后加到另一列上1) ，2) ，3)称为矩阵的初等列变换矩阵的初等行变换和矩阵的初等列变换统称为矩阵的初等变换定义1 由单位矩阵I经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵显然，初等矩阵都是方阵

22、，并且每个初等变换都有一个与之相应的初等矩阵互换矩阵I的第i行(列)与第j行(列)的位置，得I(i，j)= 用非零数c乘I的第i行(列)，得I(i(c)=(3)将I的第j行的k倍加到第i行上，得I(i，j(k)=该矩阵也是I的第i列的k倍加到第j列所得的初等矩阵显然，上述三种初等矩阵就是全部的初等矩阵初等矩阵具有下列性质：初等矩阵都是可逆的这是因为|I(i，j)|=10|I(i(c)|=c0|I(i ， j(k)|=10初等矩阵的逆矩阵仍是同类型的初等矩阵，且有I(i，j)1=I(i，j)I(i(c)1=I(i()I(i，j(k) 1=I(i，j(k)引入初等矩阵后，使得矩阵的初等变换可用初等

23、矩阵与该矩阵的乘积来实现定理1 对一个mn矩阵A施行一次初等行变换就相当于对A左乘一个相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换就相当于对A右乘一个相应的n阶初等矩阵这说明：把A的第j行的k倍加到第i行上就相当于在A的左边乘上一个相应的初等矩阵I(i， j(k)其它两种初等行变换可类似证明二、利用初等变换求矩阵的逆利用矩阵的初等变换，可以把任一矩阵化为最简单的形式定理2 任意一个mn矩阵A经过一系列初等变换，总可以化成形如=的矩阵，D称为矩阵A的等价标准形补充矩阵行阶梯形的定义并讲授如何利用初等行变换化简矩阵为行阶梯形根据定理1，对于一个矩阵A作初等行(列)变换就相当于用相应的初等矩阵去左(右

24、)乘这个矩阵因此，矩阵与它的标准形 D有如下关系：D=PsP2P1AQ1Q2Qt (1)其中P1，P2，Ps和Q1，Q2，Qt是初等矩阵由于初等矩阵都是可逆的，所以(1)式又可写成：A=P11P21 Ps1DQt1 Q21Q11 (2)推论 n阶方阵A可逆的充分必要条件是A的标准形为单位矩阵I定理3 n阶方阵A可逆的充分必要条件是A可以表示成一些初等矩阵的乘积即 A=Q1Q2 Qm (3)这里Q1，Q2， Qm为初等矩阵推论 若n阶方阵A可逆，则总可以经过一系列初等行变换将A化成单位矩阵以上的讨论提供了一个求逆矩阵的方法，设A为一个n阶可逆矩阵，由上述推论，存在一系列初等矩阵P1，P2，Pm，

25、使得PmP2P1A=I (5)由(5)式右乘A1得 A1=PmP2P1I (6)(5)(6)两个式子说明，如果用一系列初等行变换将可逆矩阵A化成单位矩阵，那么同样地用这一系列初等行变换就可将单位矩阵I化成A1于是得到了一个求逆矩阵的方法：作n2n矩阵(AI)，对此矩阵作初等行变换，使左边子块A化为I，同时右边子块I就化成了A1简示为：(AI) (IA1)总结（5分钟）讨论、思考题、作业：教学总结： 线性代数 教 案编 号： 课时安排： 2 学时教学课型：理论课 实验课 习题课 其它题目： 第二章 矩阵 2.8矩阵的秩教学目的要求： 掌握矩阵秩的定义,会求矩阵的秩.教学重点、难点： 求矩阵的秩教

26、学方式、手段、媒介： 讲授，多媒体、板书教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等） 复习（5分钟） 新授课内容（80分钟）定义1.在矩阵中任取行列,位于这些行列交叉处的个元素,不改变它们在中所处的位置次序而得到的阶行列式,称为矩阵的阶子式.矩阵A的k阶子式共个.定义2 如果在矩阵中有一个不等于零的阶子式 ，且所有的阶子式都等于, 则称 D为的一个最高阶非零子式.数 称为矩阵的秩，矩阵的秩记成. 零矩阵的秩规定为0 . 注解: 1.规定零矩阵的秩规定为0. 2.若称为满秩矩阵. 3.若称为降秩矩阵. 4. 问题：经过初等变换矩阵的秩变吗？ 定理 若则.初等变换求矩阵秩

27、的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.矩阵的秩的性质(1).(2).;(3).若则(4).若可逆,则.(5).(6).(7).(8).若则求秩方法：用初等变换把矩阵化成行阶梯形矩阵，矩阵的秩 = 此行阶梯形矩阵的秩（据定理1 ）行阶梯形矩阵的秩 = 其非零行的行数（定义2）满秩阵总结（5分钟）讨论、思考题、作业：教学总结： 线性代数 教 案编 号： 课时安排： 2 学时教学课型：理论课 实验课 习题课 其它题目： 第三章 线性方程组 3.1线性方程组的消元解法教学目的要求： 掌握线性方程组消元与增广矩阵初等行变换化简阶梯形的关系，掌握一般线性方程

28、组解的判别定理；教学重点、难点： 利用初等变换求线性方程组的解教学方式、手段、媒介： 讲授，多媒体、板书教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等） 导入（10分钟）本章主要内容和知识点 新授课内容（75分钟）消元法解二元、三元线性方程组时曾用过加减消元法，实际上这个方法比用行列式求解更具有普遍性，是解一般n元线性方程组的最有效的方法通过例子介绍如何用消元法解一般的线性方程组 消元方法具有一般性，即无论方程组只有一个解或有无穷个解还是没有解，都可用消元法将其化为一个阶梯形方程组，从而判断出它是否有解分析一下消元法，不难看出，它实际上是反复地对方程组进行变换，而所作的变

29、换，也只是由以下三种基本的变换所构成：1.交换方程组中某两个方程的位置；2.用一个非零数乘某一个方程；3.用一个数乘某一个方程后加到另一个方程上这三种变换称为线性方程组的初等变换用消元法解线性方程组的过程就是对线性方程组反复地实行初等变换的过程考虑线性方程组(I)方程组(I)的全部解称为(I)的解集合如果两个方程组有相同的解集合，就称它们是同解的或等价的方程组下面来说明，如何利用初等变换来解一般的线性方程组对于方程组(I)，首先检查x1的系数如果x1的系数a11， a21， ， am1全为零，那么方程组(I)对x1没有任何限制，x1就可以任意取值，而方程组(I)可看作x2， ， xn的方程组来

30、解如果x1的系数不全为零，不妨设a110不等于零，否则可利用初等变换1，交换第一个方程与另一个方程的位置，使得第一个方程中x1的系数不为零然后利用初等变换3，分别把第一个方程的倍加到第i个(i=2，3， m)方程，于是方程组(I)变成 ()其中 显然方程组()与()是同解的对方程组()再按上面的考虑进行变换，并且这样一步一步做下去，必要时改变未知量的次序，最后就得到一个阶梯形方程组为了讨论方便，不妨设所得到的阶梯形方程组为()其中cii0， i=1，2，r方程组()中“0 = 0”是一些恒等式，可以去掉，并不影响方程组的解我们知道，(I)与()是同解的，根据上面的分析，方程组()是否有解就取决

31、于第r+1个方程0 = dr+1是否矛盾，于是方程组(I)有解的充分必要条件为dr+1= 0在方程组有解时，分两种情形：1) 当r=n时，阶梯形方程组为()其中cii0， i=1，2， n由克莱姆法则()有唯一解，从而(I)有唯一解()其中cii0， i=1，2，r方程组()中“0 = 0”是一些恒等式，可以去掉，并不影响方程组的解2) 当 rn时，这时阶梯形方程组为其中 cii0， i=1，2， r， 写成如下形式()由克莱姆法则，当xr+1，xn任意取定一组值，就唯一确定出x1，xr值，也就是定出方程组()的一个解，一般地，由()可以把x1，x2，xr的值由xr+1，xn表示出来这样表示出

32、来的解称为方程组(I)的一般解，因xr+1，xn可以任意取值，故称它们为自由未知量显然，()有无穷多个解，即(I)有无穷多个解定理：非齐次线性方程组，方程组无解充分必要条件是)方程组有唯一解的充分必要条件是)方程组有无穷多组解的充分必要条件是),且在任 一解中含有个任意常数 . 用消元法解线性方程组的过程，归纳起来就是，首先用初等变换把方程组化为阶梯形方程组，若最后出现一些等式“0 = 0”，则将其去掉如果剩下的方程当中最后一个方程是零等于一个非零的数，那么方程组无解，否则有解方程组有解时，如果阶梯形方程组中方程的个数等于未知量的个数，则方程组有唯一解；如果阶梯形方程组中方程个数小于未知量的个

33、数，则方程组有无穷多个解当线性方程组(1)中的常数项b1= b2= bm= 0时，即()称为齐次线性方程组显然，齐次线性方程组是一定有解的因为x1= x2= xn=0就是它的一个解这个解称为齐次方程组的零解我们所关心的是它除了零解之外，还有没有非零解？把上述对非齐次线性方程组讨论的结果应用到齐次线性方程组，就有如下定理定理 在齐次线性方程组()中，如果mn时，任意m个n维向量都线性相关即 当向量组中所含向量个数大于向量的维数时，此向量组线性相关定理2 向量组1，2，m(m2)线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量可由其余m1个向量线性表出推论 向量组1，2，m(m2)线性无关的充分必要条件

34、是其中每一个向量都不能由其余m1个向量线性表出定理3 若向量组1，2，m线性无关，而向量组，1，2，m线性相关，则可由1，2，m线性表出，且表达式唯一 定理4 若向量组中有一部分向量组(称为部分组)线性相关，则整个向量组线性相关例如，含有两个成比例的向量的向量组是线性相关的因为两个成比例的向量是线性相关的，由定理5知该向量组线性相关推论 若向量组线性无关，则它的任意一个部分组线性无关如，n维单位向量组1，2，n线性无关，因此它的任意一个部分组线性无关定理5 如果n维向量组1，2，s线性无关，则在每个向量上都添加m个分量，所得到的n+m维向量组1*，2*，s*也线性无关 推论 如果n维向量组1，

35、2，s线性相关，则在每一个向量上都去掉m(mn)个分量，所得的nm维向量组1*，2*，s*也线性相关定理6 设有两个向量组（A）及 （B）向量组（B）可由向量组（A）线性表示，如果，则向量组（B）线性相关推论向量组（A）与向量组（B）等价，如果向量组（A）（B）都是线性无关的，则 总结（5分钟）讨论、思考题、作业：教学总结： 线性代数 教 案编 号： 课时安排： 2学时教学课型：理论课 实验课 习题课 其它题目： 第三章 线性方程组 3.4 向量组的秩教学目的要求： 掌握极大无关组与向量组的秩的概念，能求给定向量组的极大无关组及秩教学重点、难点： 向量组的极大无关组及秩教学方式、手段、媒介：

36、讲授，多媒体、板书教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等） 复习（5分钟） 新授课内容（80分钟）一、向量组的极大无关组定义1 设有向量组1，2，m，如果它的一个部分组i1，i2，ir，满足：(1)i1，i2，ir线性无关；(2)向量组1，2，m中的任意一个向量都可由部分组i1，i2，ir线性表出则称部分组i1，i2，ir是向量组1，2，m的一个极大线性无关组，简称为极大无关组从定义可看出，一个线性无关的向量组的极大无关组就是这个向量组本身显然，仅有零向量组成的向量组没有极大无关组为了更深入地讨论向量组的极大无关组的性质，我们先来讨论两个向量组之间的关系极大线性无

37、关组有下列性质：性质1 向量组1，2，m与它的极大无关组i1，i2，ir等价推论 向量组的任意两个极大无关组等价性质2 向量组的任意两个极大无关组所含向量的个数相同定理1 矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也等于它的行量组的秩.定理2 对一个矩阵进行初等行变换，不改变对应列向量组之间的线性关系。二、向量组的秩由于一个向量组的所有极大无关组含有相同个数的向量，这说明极大无关组所含向量的个数反映了向量组本身的性质因此，我们引进如下概念：定义2 向量组的极大无关组所含向量的个数，称为该向量组的秩，记作r(1，2，m)规定零向量组成的向量组的秩为零n维基本单位向量组1， 2， n是线性无关的，它的极大无关

38、组就是它本身，因此，r(1， 2， n)=n定理3 向量组线性无关的充分必要条件是：它的秩等于它所含向量的个数定理4 相互等价的向量组的秩相等定理4的逆定理并不成立即两个向量组的秩相等时，它们未必是等价的例如向量组1=(1，0，0，0)，2=(0，1，0，0)与向量组1=(0，0，1，0)，2=(0，0，0，1)有r(1，2)=r(1， 2)=2，而这两个向量组显然不是等价的定理5 如果两个向量组的秩相等且其中一个向量组可由另一个线性表出，则这两个向量组等价 总结（5分钟）讨论、思考题、作业：教学总结： 线性代数 教 案编 号： 课时安排： 2学时教学课型：理论课 实验课 习题课 其它题目：

39、第三章 线性方程组 3.5 线性方程组解的结构教学目的要求： 掌握齐次线性方程组解的性质和基础解系的概念；会求齐次线性方程组的基础解系和通解；教学重点、难点： 求解齐次线性方程组的基础解系及通解；教学方式、手段、媒介： 讲授，多媒体、板书教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等） 复习（5分钟） 新授课内容（80分钟）一、齐次方程组的解的性质：设有元齐次线性方程组 若是 的解，记称为方程组 的解向量.性质 1 若为（1）的两个解（向量），则也是（1）的解. 性质 2 若为（1）的解（向量），为任意实数，则也是（1）的解. 如果的全体解向量所组成的集合称为齐次方程组

40、的通解. 定义：具体说，如果是的一组解向量，且满足1 向量组线性无关；2 齐次方程组的每个解都可由线性表示；那么称为齐次方程组的一个基础解系. 如果是齐次方程组的一个基础解系，那么的所有解都可表为 其中为任意实数,称上式为齐次方程组的通解.定理 1 元齐次线性方程组 的基础解系含个解，其中.证明 设，用初等行变换化系数矩阵为行最简形矩阵,不妨令为 于是得到与同解的方程组：对自由未知量分别取值 代入的右端依次可得： 于是得到的个解: 下面证明解向量组是的一个基础解系，从而它们也是的一个基础解系.首先，线性无关.其次证明的任意解都可由线性表示.设是的一个解.根据齐次方程组解的性质可知，向量也是的一

41、个解，由于与的后面的个分量对应相等，因此即可由线性表示. 这就证明了,是方程组（3），从而也是齐次方程组（1）的一个基础解系， 所以， 的基础解系含个解.例 1. 求下列齐次线性方程组的基础解系与通解.解: 对系数矩阵作初等行变换,将其变为行最简形矩阵,得于是得同解方程组令 可得即得基础解系：并得方程组的通解 总结（5分钟）讨论、思考题、作业：教学总结： 线性代数 教 案编 号： 课时安排： 2学时教学课型：理论课 实验课 习题课 其它题目： 第三章 线性方程组 3.5 线性方程组解的结构（续）教学目的要求：掌握非齐次线性方程组解的结构并会求解非齐次线性方程组；教学重点、难点： 求解非齐次线性

42、方程组的通解；教学方式、手段、媒介： 讲授，多媒体、板书教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等） 复习（5分钟） 新授课内容（80分钟）一、非齐次线性方程组的解的结构下面讨论当非齐次线性方程组有无穷多解时，解的结构问题设非齐次线性方程组为(2)当它的常数项都等于零时，就得到前面介绍过的齐次线性方程组(1)，即(1)方程组(1)称为方程组(2)的导出组非齐次线性方程组(2)的解与其导出组(1)的解之间有如下关系：性质1 非齐次线性方程组(2)的任意两个解的差是它的导出组(1)的一个解性质 非齐次线性方程组(2)的一个解与它的导出组(1)的一个解的和是非齐次线性方程组

43、(2)的一个解由性质1、性质可得定理 设0是非齐次线性方程组(2)的一个解，是导出组(1)的全部解，则=0+是非齐次线性方程组的全部解由此定理可知，如果非齐次线性方程组有解，则只需求出它的一个解(特解) 0，并求出其导出组的基础解系1， 2， nr，则非齐次线性方程组的全部解可表示为0=0k11+ k22+ knrnr 其中k1，k2，knr为任意数如果非齐次线性方程组的导出组仅有零解，则该非齐次线性方程组只有唯一解，如果其导出组有无穷多解，则它也有无穷多解二、非齐次线性方程组的通解例 求方程组的全部解解：对方程组的增广矩阵施行初等行变换所以原方程组的一般解为其中x3 ， x4为自由未知量让自

44、由未知量取值，得方程组的一个解原方程组的导出组的一般解为其中x3 ， x4为自由未知量让自由未知量取值， 即得导出组的基础解系，因此所给方程组的全部解为 =+k1+k2其中k1，k2为任意常数总结（5分钟）讨论、思考题、作业：教学总结： 线性代数 教 案编 号： 课时安排： 2 学时教学课型：理论课 实验课 习题课 其它题目： 第四章 矩阵的特征值 4.1 矩阵的特征值与特征向量教学目的要求： 掌握特征值与特征向量的概念，计算特征值与特征向量的方法教学重点、难点： 计算特征值与特征向量的方法教学方式、手段、媒介： 讲授，多媒体、板书教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发

45、思维等） 导入（10分钟）本章主要内容和知识点 新授课内容（75分钟） 一、特征值与特征向量相关概念定义 设是阶矩阵，如果有和维非零列向量使得那么数称为方阵的特征值，非零向量称为的对于特征值的特征向量.行列式是的次多项式，称为方阵的特征多项式.方程称为 阶矩阵的特征方程. (1)式也可写成 于是，矩阵的特征值是它的特征方程的根，的特征向量是齐次线性方程组的非零解.求阶方阵的特征值与特征向量的方法：1 求出矩阵的特征多项式, 即计算行列式2 特征方程的解（根）就是的特征值.3 解齐次线性方程组，它的非零解都是特征值的特征向量.举例并介绍一些特殊矩阵的相应结果.二、特征值与特征向量的基本性质 定理

46、 1 n阶矩阵与它的转置矩阵有相同的特征值. 定理2设n阶矩阵，如果(1) 或(2) 有一个成立，则矩阵的所有特征值的模()小于1.定理3 设是方阵的特征值，依次是与之对应的特征向量,如果各不相等，那么线性无关.定理4 设n阶矩阵的全部特征值为（其中可能有重根、复根），则即的所有特征值之和等于的主对角线元素之和，所有特征值之积等于的行列式。总结（5分钟）讨论、思考题、作业：教学总结： 线性代数 教 案编 号： 课时安排： 2 学时教学课型：理论课 实验课 习题课 其它题目：第四章 矩阵的特征值 4.2 相似矩阵与矩阵对角化教学目的要求： 掌握相似矩阵的概念、主要性质及矩阵与对角矩阵相似的条件教

47、学重点、难点： 矩阵与对角矩阵相似的条件教学方式、手段、媒介： 讲授，多媒体、板书教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等） 复习（5分钟） 新授课内容（80分钟） 一、相似矩阵及其性质定义 设都是阶矩阵，若有可逆矩阵，使，则称矩阵与相似，可逆矩阵称为把变成的相似变换矩阵.相似矩阵有相同的行列式与相同的秩.定理1 若阶矩阵与相似，则与的特征多项式相同, 从而与的特征值也相同.推论 若阶矩阵与对角阵相似，则即为的个特征值.二、阶矩阵与对角矩阵相似的条件定理2 阶矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是: 有个线性无关的特征向量.推论 如果阶矩阵有个互不相同的特征值，则与以特

48、征值为主对角线元素的对角矩阵相似定理3 阶矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是对于每一个重特征根，矩阵的秩是.三、关于约当形矩阵的概念 简单介绍约当形矩阵的概念和一些定理.总结（5分钟）讨论、思考题、作业：教学总结： 线性代数 教 案编 号： 课时安排： 2 学时教学课型：理论课 实验课 习题课 其它题目： 第四章 矩阵的特征值 4.3 实对称矩阵的特征值和特征向量教学目的要求： 了 掌握向量内积、正交向量组、正交矩阵等概念，熟悉对称矩阵的特征值与特征向量的性质，掌握利用正交变换将对称矩阵化为对角矩阵的方法；教学重点、难点： 利用正交变换将对称矩阵化为对角矩阵教学方式、手段、媒介： 讲授，多媒体

49、、板书教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等） 复习（5分钟） 新授课内容（80分钟）一、向量的内积定义 1 设有维向量令称为向量与的内积. .讲授内积基本性质 定义 2 非负实数称为维向量的长度（范数）.向量的长度具有性质：1.2.3.长为 1 的向量称为单位向量. 若向量,则是单位向量.例1.都是3维单位向量.二、正交向量组定义1如果，那么称向量与正交.定义2一组两两正交的非零向量组称为正交向量组: 例2.试求一个非零向量与向量都正交.解：设所求的向量为那么它应满足由得，取向量即为所求.定理 1 正交向量组必线性无关.例3. 向量组线性无关，但不为正交向量组.

50、向量组为单位正交向量组，当且仅当设向量组线性无关，则必有单位正交向量组与等价.正交化：取单位化：于是，是单位正交向量组，且与等价.例4. 把向量组规范正交化.解： 正交化：取； 再单位化：取 即为所求.例5. 已知，求向量使为正交向量组.解：因为向量都与向量正交，所以对齐次方程组，取它的一个基础解系再把正交化即为所求. 也就是取向量组是所求正交向量组.三、正交矩阵定义3 如果阶矩阵满足，那么称为正交矩阵.例 6. 都是正交矩阵.设阶矩阵,其中是的列向量组. 为正交矩阵，即是亦记由此可见，为正交矩阵的充分必要条件是的列（行）向量组是单位正交向量组.补充：变量与变量之间的关系式叫做从变量到变量的线

51、性变换. 线性变换的系数构成矩阵 于是线性变换（）就可以记为 定义 5 若为正交矩阵，则线性变换称为正交变换.正交变换具有下列性质：(1)正交变换保持两向量内积不变;(2)正交变换保持向量的长度不变(保距性);(3)正交变换保持向量的夹角不变(保角性);(4)正交变换把标准正交基仍变为标准正交基.四、实对称矩阵的特征值和特征向量定理 实对称矩阵的特征值为实数.定理 实对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量是正交的。 定理 设为阶对称矩阵，则必有正交矩阵,使，是以的个特征值为对角元素的对角矩阵.为对角矩阵解: 的特征多项式当时，由于是得正交矩阵 且使得总结（5分钟）讨论、思考题、作业：教学总结：

52、线性代数 教 案编 号： 课时安排： 1 学时教学课型：理论课 实验课 习题课 其它题目： 第四章 矩阵的特征值 4.4 矩阵级数的收敛性教学目的要求： 了解向量序列与矩阵序列的极限及相关定理教学重点、难点： 矩阵序列的极限与相关定理教学方式、手段、媒介： 讲授，多媒体、板书教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等） 复习（5分钟） 新授课内容（35分钟） 一、向量序列与矩阵序列的极限概念 1.介绍向量序列的极限定义 2.介绍矩阵序列的极限定义 3.介绍向量无穷级数收敛的定义，以及向量无穷级数和的定义 4.介绍矩阵无穷级数收敛的定义，以及矩阵无穷级数和的定义 二、关

53、于矩阵序列的极限的几个定理 定理1 阶矩阵的次幂的充分必要条件是的一切特征值的模小于1.即. 定理 2设n阶矩阵，如果 或 ，则 定理3 方阵级数收敛的充分必要条件是且有，其中 三、应用举例投入产出平衡方程组解的讨论 简单介绍投入产出数学模型的理论基础-即投入产出模型中，利用之前的定理，回答对于已知的，方程是否有非负解，矩阵是否可逆等问题。总结（5分钟）讨论、思考题、作业：教学总结： 线性代数 教 案编 号： 课时安排： 2 学时教学课型：理论课 实验课 习题课 其它题目： 第五章 二次型 5.1 二次型与对称矩阵教学目的要求： 掌握二次型、二次型的标准形、合同等概念教学重点、难点： 二次型，二次型的标准形，合同矩阵教学方式、手段、媒介： 讲授，多媒体、板书教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等） 导入（10分钟）本章主要内容和知识点 新授课内容（75分钟）一、二次型的概念定义1 含有 个变量的二次齐次函数 =称为二次型.1矩阵表示：于是(1)式可写成对二次型(1),记则二次型(1)又表示为 其