汽车振动分析作业习题与参考答案(更新)

00TT0TTnnnn00TT0TTnnnn、方振动信号的波分析，

xt)

x,022

。绘制频谱图。解：xt)的学表达式可写为：计算三要素：a()=0

t

00

//()t)sin=

T20

x0

t

=

22=

4x0,1,3,5

X()cos22=

n4x2nb=Tnn

,n=1,3,5,

，

0

或2

振幅频谱图4xAn1,3,5n

bnbn相位频谱图

n

tan

n0,、求期性矩形脉波的复数形式的傅立叶级数，绘频谱图。解：数学达式：

n/t/t/1t/inxn/t/t/1t/inx0x0计算三要素：

2t022t22

偶函数atx2xt0a012n2傅立叶级数复数形式：

bX

aaxtnn0102n

/2/

x0

t

dtxe0t/xt102

x01

t/xtXlim10x

en

in

t

n0n

sin

t1

int频谱图t0,Txn

12e1212e2112e1212e212.1解（1能量法11aax2k()2()222

223k24（2能量法11x122a4224（3固有频率

2.1.x2

2ka2kp2132ame1

112.3解平衡位置系统受力如图则

2,1弹簧

k1

变形

1

2G1

，弹簧变形

2

G2

，且静移

xx1

G4Gk1k

,42

固有圆频率

p

ke2e

kk12k1对数衰减率：

1110ln1lnjA20j相对阻尼系数：

1

2

12

2

衰减系数：

n

g9.80.0110.314s阻尼系数：

cs/)临界阻尼：

5.6520.011

N/)

22•••s22•••skx’’’受力分析如图单自由度振动系统振动微分方程

kxmx

xnn

n设

cs

iwt

，则

x(xc22Hn2nH

2

，相位差角：

tan

2()1(t)(xt)(iwts

2

i(xxt

Xa0

其中，

，k2.8解、系的振动微分方程为：

mx

即：

2kx

激励函数为：

d

t

傅立叶级数三要素：

2T22snnpt2T22snnpt/ppt001tta

tdtkd0atnwt0Tbktnwtdt0所以，激励函数的前四项为：a40n2n

dd1sinwtwt)234系统稳态响应的前三项为：dx4

b2(122(2

dd[4

sin(wt(12(2

sin(2wt)2(1(4

sin(3wt)3(12(6

]其arctan

1

,n2.9解运杜哈美积分法.

fsin(t0sinf(p0

)sinpt

)d

;f(t)Ft0.01);00当ts时，

0p

p

1

0.010

(FF0

)p

)

0p

sin(0.01

F0

2

50[0.5cos(0.01psin(0.01pp当t0.03时，x

10sin(0.03)p

0.010

fp(0.03

0p

p

F500p(sin(0.02)sin(0.03p)]mp

1212212122112132直接法

x()111x(x)2223

x11122x)22223

m010mx222

2k2

其中，

k12

2k23

拉格朗日法系统为无阻尼自由振动系统，拉格朗日方程形式为：x,x广义坐标为：111mx222i1,2i

di

iimx,1

1

x1x,22

x22U1

11x2kxk22x(x),()12212322

x()11x(x)22232

1112121k)x2影响系数法

11令

xx12k1111

2k2112

2令

x0,x1kk222322

3

k12

2k23

4.2解直接法

JJJ

rr21331rr(2223rr(3231

krr)r123rkrr)r21123rrkrr)332230J03rrrr1Krkrrr12rrrr32

2

，，，l021，，，l021a

1

2

3

4

k12

2k233

3k34

4

4k4

，

1

2

3

4

k22

2k233

3k34

4

4k4

c，

1

2

3

4

k12

2k23

3

3k34

4k4

4.4解l33质心位于距左端l处xl4令

xk11l3kkxl令，

xx22

ll3llkl4448

22刚矩阵为，Kkl

kl25kl8令

xmx211mm02112令

x0,I22

524

2

，

I

3l4l4

x

2

mldxmll

2

质矩阵为，M

2m0

05224

2kl

kl25kl8

n11.0599.061.0599.069.06in11.0599.061.0599.069.06i特征矩阵为，

2nHKMkl2

2

kl25klml824n将

n

M

整理为，

13

m

2l2n

43

l

2

n

4k5

2

l

2

求得特征值为，

2

2105m

，

2

210

mKn

的伴随阵，adjH

55klml824kl2

2n

kl22n

将

1

0.735

m

,

2

3.265

m

代入11得对应特征向量，

A

11

则主振型矩阵为，模态质量矩阵为

l

1

2m

0

1

1

MAMAP

l

0

59.06224l

2.234m0m

模态刚度矩阵为KAKA

1l

kl22kl5kl8

1l

k62.362

归一化因子为，

1mpi

1TMAii

00.22910.7082.07550.0001.00200.22910.7082.07550.0001.002

归一化因子方阵，

m

0.66900.229

正则振型矩阵为，N

1m

11.059

19.06ll

正则模态质量矩阵为，MAMAN

1

0.6690.708l

0.229l

20

00.6690.229ml24l

正则模态刚度矩阵为，K

2.075l

kl

kl

2.075l

0.0000.000第一阶主振型示意图，为点1xN第二阶主振型示意图，

N

2

为节点

N

解）接，受力如图

x

fr2fr2llll

(zf

f

)

kzr

r

mz(z(zrrffm(zl(zlrrrfff

mz)zllfrrrffmll)kl2lrrffrrff

运动微分方程为00kllrrff

kllrrffkl2l2rrff

特征矩阵为H

kkllfrrrffklll2lrrffrrff

由

KM得

m

l)2frrrfffrfr1

f

r

rrff

frrrffm

2

kkl)frfr

22

frrrf

2f

(l)frrrfffrfrm

2H

的伴随矩阵adjH

kll2rrffkllffrr

kllffrrkfr

将固有频率

、

代入

，得主振型：

11km,A(2)kmfrfr2ffrrffrr（2

kllffrr则运动微分方程变为

fA(2),A1(1)fA(2),A1(1)0m0

r

0kllrrff

自由度的固有频率为

kfm

r

自由度的固有频率为

kl2l2rrff两运动互不相关（3

lfr1,2

f

r

kllffrrffrrmllfr若

kllffrr1

frrf

2

frfr

，

(1)

1若

klklffrr1

frfr

2

frrf

，

11llrf4.9柔度矩阵F=

1

111122123

刚度矩阵F

1

k0

1

00

质量矩阵

M

00k

所以

HK

k

k

解得：

3.2

k3(1)(2)nTk3(1)(2)nT2,Mm

K

2HKMn

2n

2n

m

n

2(2),对应主振型AmAP由杜哈梅积分得X(1/PiPiiiX

mk

0Q(1t)2mQ3kXAXcost)3km5.1解系质量刚度矩阵分别为

k

第一瑞丽商：假设

112222341111222234111K2

AKA20.2;T11第二瑞丽商：11

系统柔度矩阵

1k

23

;假设A,p2邓克莱法：

AMAk110.1234;TMFMA11D=FM=

mk

12

k,则p2trD

4这三种方法中，第二瑞丽商精度最高，邓克莱法计算结果偏小。

质量矩阵：

Mm

，刚度矩阵：2取振型向量

0计算一阶固有频率及振型迭代公式：

k

k

k

（归一化）动力矩阵：

DK

m

0.5110.51.5

D(m/k)

0

X

1

2

3

4

5

0.5

1

2k

(k/m)由此得，

1

k

，

A1.23611计算第二阶固有频率及振型迭代公式：

DX

k

k

k

（归一化）清型矩阵：

DD

XTMMA21

0.55280.17080.27640.1708D(m/k)

0

X

1

2

3

0.55280.27640.0854

2(k/m)k由此得，

2

k

，

3.236412第三阶同理。给出矩阵迭代法的Matlab程如：functiongu_mode2M=[2010;02];%量矩阵0;-1-12];%度矩阵D=K\M;fori=1:3ix0=[11x1=D*x0;x11=x1/x1(1);

动力矩阵%3阶norm(x11-x0)>=1.0e-5%设置精度ifn>18break;%显迭代步数w2=1/x1(1)

12k12kx1=D*x0;x11=x1/x1(1);x1(1);x11w2=1/x1(1)D=D-x11*x11'*M*x1(1)/(x11'*M*x11)解：矩阵迭代法求系统各阶固有频率和主振型：系统的质量矩阵和刚度矩阵分别为：圆筒量

。量性

J

o

，平上弹

k

的制作滚，下所，其有率r

k下图的簧量统两弹的接有激力稳响的值

P(sin0

t

的用求量k

m

x22k

()

()

x11m建立下所系的动微方并稳响。

x22

sintcxmm

m

如下所等面臂，梁度L，性量E，横截对性的性为I，梁料度在的a位作有中荷

F(t)

。知的始件零求梁响（定知i阶有率相应的态数i

i

x，i~

）

(t)

xal两个匀性如所具相长但同量，使用响数求统动方。如下所量由系（1求统固频和态阵并出阶振图；（2）当统存初条

x(0)x(0)

(0)和x(0)

时试用态加求系统应如下所等面，度为，性量，截对性的性为I，材密为。中量m，簧度，线簧度k。出统动和能达，系质阵刚阵达。

l

121121231211212345物M质为m滑A与子B半径相等可作质量均为、径均为r的匀质圆盘。斜面和弹簧的轴线均与水平面夹角的度系数为m>msin作纯滚动。试用能量法求统的微分方程系的振动周期。在图示系统中，质量为m、径为R的质圆盘，可沿水平面作纯滚动。质量不计的水平直杆用链、B分别与圆盘A、匀质直杆BC连。杆BC为L，质量为，在B连接一刚度系数为的平弹簧。在图示的系统平衡位置时，弹簧具有原长。试用能量法求系统的微振动的运动微分方程；（2）系统的微振动周期。在图示振动系统中，已知：物块的质量为m，弹簧的刚度系数分别为，有关尺寸L已知，不计杆重。试求：（1）建立物块自由振动微分方程；（2）求初始条件x、x0下统的振动运动方程。00在图示振动系统中，已知：二物体的质量分别为m和m，簧刚度系数分别为、12、、、k，块的运动阻力不计。试求系数法写出系统的动力学方程；（2）假设mm，k，11kkk求出振动系统的固有频率3

，x4x(0)2，x4x(0)2121231212和相应的振型）假定系统存在初始条件

(0)(0)

，采用模态叠加法求系统响应。在图示振动系统中已知匀杆AB质=3kg，长为=，簧的刚度系数k2N/mk1。杆AB铅时为系统的平衡位置，杆的线位移，角位移均极微小。在质心点用有一水平力F=。质心水平位移x和角

为广义坐标。试求：（1）系统的动力学方程和固有频率；（2等于多少时能使系统的强迫动为转动而无平动？并求该强迫振动方程。图在示振动系统中，已知：重物的质量，质杆AB的量，长为L，匀质轮的量m，弹簧的刚度系数kAB杆于水平时为系统的静平衡位置。试采用能量法求系统微振时的固有频率。质为m的质圆盘置于粗糙水平上，轮缘上绕有不可伸长的细绳并通过定滑轮A连质量为的块B上心C刚度系数为k的平弹簧相连滑轮，绳及弹簧的质量，系统自弹簧原长位置静止释放。试采用能量法求系统的固有频率。x在图示振动系统中，重物质量为，外壳质量为2，个弹簧的刚度系数均为k设外壳只能沿铅垂方向运动采影响系数方法和x为义坐标建立系统的微分方程；（2求系统的固有频率。

1212113102121211310200121212121在图示振动系统中物体A的质量均为弹簧的刚度系数均为k，刚杆AD的量忽略不计，杆水平时为系统的平衡位置。采用影响系数方法，试求）x和为广义坐标，求系统作微振动的微分方程系统的固有频率方程。xx在图示振动系统中，已知：物体的质量m、m及簧的刚度系数为、k、、。（采用影响系数方法建立系统的振动微分方程）=k=，k=2，系统固有频率）取=1，，，系统初始位移条件为x和x(0)=0初速度都为零，采用模态叠加法求系统响应。一质杆质量为，度为L，两端用弹簧支承，弹簧的刚度系数为k和。杆质心C上x方向作用有简谐外部激励sint。图所示水平位置为

1

sin

2C

静平衡位置）以和义坐标，采用影响系数方法建立系统的振动微分方程取参数值为m=12，L=1=1，=3，出统固有频率）统参数

x仍取前值，试问当外部激励的频

为多少时，能够使得杆件只有

方向的角振动，而无方向的振动？质为的质点由度为l质量为的质细杆束在铅锤平面内作微幅摆动，如下图所示。求系统的固有频率。lx

m

1m质为、径为R的质柱体在水平面上作无滑动的幅滚动，在A=a的点系有两根弹性刚度系数为的平弹簧，如下图所示。求统的固有频率。

123x02123x02k

A

k

C转惯量为J的盘由三段抗扭刚度分别为

1

，

2

和

的轴约束，如下图所示。求系统的固有频率。Jk

k

k在图所示的系统中，已知

k

i

a和

，横杆质量不计。求固有频率。

F

ba

mg

x

aa

质m在倾角为的滑斜面上从高h处滑下无反弹碰撞质量，下图所示。确定系统由此产生的自由振动。m

1

12k

m

2

x

x

x

l022111222111l022111222111质为m为l的均质杆和弹簧及尼器c构成振动系统下图所示以杆偏角

为广义坐标立统的动力学程出在自由振动的条件在簧原长处立即释手，问杆的最大振幅是多少？发生在何时？最大角速度是多少？发生在何时？是否在过静平衡位置时？O

c

a

一簧质量系统沿光滑斜面作自由振动，如图2-1所示。已知=N/cm开始运动时弹簧无伸长，速度零，求系统的运动规律。

m=kgkk

m

x

x

mg下所示系统中，已知mc

1

，

2

，

F

和

。求系统动力学方程和稳态响应。k

c

x

m

m

mx

k

c

m

c

k

x

k

c

x

1

1

如图所示重悬在刚度为的簧上并处于静平衡位置一重物W从高度为h处自由下落到

上而无弹跳。求

下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。

1212123412121234

xxW

x

hW

平衡位置

x在下图所示系统中，已知m，，F和，初始时物块静止且两弹簧均为原长。10求物块运动规律。k

k

x

m

x

x11

k2

21

msin0

sin0

2求图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是

1

及

，悬臂梁的质量忽略不计。k

k

k无质量k

m

由对带偏心质量的等速反向旋转齿轮构成的振动机械安装在弹簧和阻尼器构成的支承上，如下图所示。当齿转动角度为时，偏心质量惯性力在垂直方大小为me

sin

已偏心重W=125.5N偏距=支弹簧总刚度系数N/cm得垂直方向共振振幅

X1.07m

远离共振时垂直振幅趋近常值

X0.32cm0

。求支承阻尼器的阻尼比及在

300rmin

运行时机器