必修二立体几何较难题

必修二立体几何较难题解：（1）证明：在所以故又平面 平面平面 ，所以 平面 ，又 平面 ，故平面 平面

中，由于，平面 平面。

， ，，

，（2）过 作 交 于O，由于平面 平面 ，所以 平面因此 为四棱锥 的高，又 是边长为4的等边三角形因此在底面四边形中，，，所以四边形是梯形，在中，斜边边上的高为，此即为梯形的高，所以四边形的面积为故。（2008福建）(6)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB11所成角的正弦DD值为A.6B.26D1C1A1B135C.15D.1055

D CA B.（15）如图，二面角 的大小是60°，线段AlAB .Bl，BAB与l所成的角为 30°.则AB与平面 所成的角的正弦值是3.419．（本小题满分12分）ABC－A111中，如图，直三棱柱BCC111，D是棱AA1的中点，AB1DC1⊥BD。21）证明：DC1⊥BC；2）求二面角A1－BD－C1的大D小。【解析】（1）在RtDAC中，ADAC，C得：ADC45，BA同理：A1DC145CDC190，得：DC1 DC。又DC1⊥BD，DCBDD，所以DC1 平面BCD。而BC平面BCD，所以DC1BC。2）解法一：（几何法）由DC1BC,CC1BCBC面ACC1A1BCAC。取A1B1的中点O，连接C1O，OD。因为AC11B1C1，所以C1OA1B1，因为面A1B1C1面A1BD，所以C1O面A1BD，从而C1OBD，面DC1O，因为OD又DC⊥BD，所以BD1平面DC1O，所以BD OD。由BDOD，BD⊥DC1，所以C1DO为二面角A1－BD－C1的平面角。设AA1 2a，AC BC a，则C1O 22a，C1D 2a，在直角△C1OD，C1OOD，C1O1C1D，2所以C1DO30。因此二面角A1BDC1的大小为30。D1C1A1OB1DCAB(2007)2、(北京市西城区2012年4月高三抽样测试)下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB//平面MNP的图形的序号是（ ）A.①、③

B.①、④C.②、③

D.②、④答案：

B3、(吉林省吉林市2012届上期末)三棱锥P—ABC的高PO=8，AC=BC=3，∠ACB=30°，M、N分别在BC和PO上，且CM=x，PN=2CM，试问下面的四个图像中哪个图像大致描绘了三棱锥 N—AMC的体积V与x的变化关系（ x (0,3)）（ ）答案：AABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证:AP∥GH.平面α过正方形ABCD-A1B1C1D1的三个顶点B,D,A1,α与底面A1B1C1D1的交线为L,则L与B1D1的位置关系？如图，正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP=DQ。求证：PQ∥面BCE4下列各图是正方体或正四面体， P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则四个点不共面的一个图是( )．空间三条直线，其中一条和其他两条都相交，那这三条直线中的两条能确定的平面个数是多少1、若三条直线只有一个交点，则可以确定一个或三个平面；2、若这三条直线有两个不同的交点，则可以确定一个或三个平面。3、若这三条直线有三个不同的交点，则可确定以一个平面。答案：一个或三个线面平行的判定定理证明线面平行的判定定理是：若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。线面平行的定义是：若直线与平面没有公共点，则称此直线与该平面平行。证明：设直线a‖直线b，a不在平面α内，b在平面α内。用反证法证明 a‖α。假设直线a与平面α不平行，则由于a不在平面α内，有a与α相交，设a∩α=A。则点A不在直线b上，否则a∩b=A与a‖b矛盾。过点A在平面α内作直线c‖b，由a‖b得a‖c。而A∈a，且A∈c，即a∩c=A，这与a‖c相矛盾。于是假设错误，故原命题正确。（反证法）例题2从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条，使得其中任意两条线段所在直线都是异面直线，求k的最大值．解答考察如图所示的正方体上的四条线段D1C1AC，1，D11，A1，它们所在直线两两都是异面直BCBDA1线．又若有5B1条或5条以上两两异面的直线，则它们的端点相异且个数不少于10，与正方体只有8个顶点矛盾．故K的最大值是4．DCA B练习1在正方体的8个顶点、12条棱的中点、6个面的中心及正方体的中心共计27个点中，问共线的三点组的个数是多少解答两端点都为顶点的共线三点组共有87228个；两端点都为面的中心共线三点组共有613个；两端点都为各棱中点的共线三点组共有12318个，且22没有别的类型的共线三点组，所以总共有2831849个．使得例题3在单位正方体ABCD-A1111的面对角线A1B上存在一点P1P最短，求AP+D1BCDAP+DP的最小值．解答将等腰直角三角形AA1B沿A1B折起至AA1B，使三角形AA1B与四边形1BCD1共面，联结AD1，则AD1的长即为1的最小值，所以，AAP+DPAD1 12 12 211cos1350 2 2练习3已知单位正方体 ABCD-A1B1C1D1的对棱BB1、D1上有两个动点E、F，BE=D1F= （0 1）．设EF与AB所成的角为，与BC所成的角为，求2的最小值．解答 当 1时， ．不难证明 f( )是单调减函数．因此2 2的最小值为 ．2例十七、（2000年全国联赛一试）一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是 ．分析：由正四面体的图象的对称性可知，内切球的球心必为正四面体的中心，球与各棱相切，其切点必为各棱中点，考查三组对棱中点的连线交于一点，即为内切球的球心，所以每组对棱间的距离即为内切球的直径，于是有：2r2a23∴V42a2a33424

P练习：同样可用体积法求出棱长为 a的正四面体的外接球和内切球的半径．分析可知，正四面体的内切球O与外接球球心相同，将球心与正四面体的个顶点相连，RrA可将正四面体划分为四个全等的正三棱锥，于是可知内切球的半径即为正四面E体高度的四分之一，外接球半径即为高度的四分之三．故只要求出正四面体的高度即可．2

CDB又：ha23a2a26a，所以，R6a,r6a．333412例二十三、（1991年全国联赛一试）设正三棱锥P—ABC的高为PO，M为PO的中点，过AM作与棱BC平行的平面，将三棱锥截为上、下两个部分，试求此两部分的体积比．分析：取BC的中点D，连接PD交AM于G，设所作的平行于 BC的平面交平面PBC于EF，由直线与平面平行的性质定理得： EF∥BC，连接

PFMGH E CA O DAE，AF，则平面AEF为合乎要求的截面．作OH∥PG，交AG于点H，则：OH=PG．BCPDPGGD1GD1GD1AD5；EFPGPGPGOHAO2故：VAPEFSPEFEF24；于是：VAPEF4．VAPBCSPBCBC25VAEFBC218、如果空间三条直线a，b，c两两成异面直线，那么与 a，b，c都相交的直线有(A)0条 (B)1条 (C)多于1的有限条 (D)无穷多条解：在a、b、c上取三条线段AB、CC、AD，作一个平行六面体ABCD—ABCD，在c上取线段AD上一点P，过a、P作一个平面，与DD交于Q、与CC交于R，则QR∥a，于是PR不与a平行，但PR与a共面．故PR与a相交．由于可以取无穷多个点P．故选D．cPQ D’ C’bD CRa A‘ B‘A B S设四棱锥PABCD的底面不是平行四边形,用平面去截此四棱锥,使得截面四边形是平行四边形,则这样的平面()(A)不存在(B)只有1个(C)恰有4个(D)有无数多个例一、（1991年全国联赛一试）由一个正方体的三个顶点所能构成的正三角形的个数为（A）4； （B）8； （C）12； （D）24．分析：一个正方体一共有 8个顶点，根据正方体的结构特征可知，构成正三角形的边必须是正方体的面对角线．考虑正方体的 12条面对角线，从中任取一条可与其他面对角线构成两个等边三角形，即每一条边要在构成的等边三角形中出现两次，故所有边共出现2C12124次，而每一个三角形由三边构成，故一共可构成的等边三角形个数为24个．83例1在桌面上放着四个两两相切、半径均为r的球，试确定其顶端离桌面的高度；并求夹在这四个球所组成图形空隙中与四个球均相切的小球的半径．(2012

重庆)9.

设四面体的六条棱的长分别为

1,1,1,1

，

2和a，且长为

a的棱与长为

2的棱异面，则

a的取值范围是（

A

）A.(0,

2)

B.

(0,

3)

C.

(1,2)

D.

(1,3)（2010

全国）(6)直三棱柱

ABC

A1B1C1中，若

BAC

90，

AB

AC

AA1，则异面直线

BA1与

AC1所成的角等于（

C）(A)30°

(B)45°(C)60°

(D)90°6.C【命题意图】本小题主要考查直三棱柱 ABC A1B1C1的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法 .【解析】延长CA到D，使得AD AC，则ADAC为平行四边形， DAB就是1 1 1异面直线BA1与AC1所成的角，又三角形A1DB为等边三角形，DA1B600过正方体ABCD-A1111的顶点A作直线a，与棱AB,AD,AA1所在直线BCDa可以作（D所成的角都相等，这样的直线）A)1条B）2条C）3条D）4条(2010重庆)（9）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点(D)（A）只有1个（B）恰有3个（C）恰有4个（D）有无穷多个11．如图，M是正方体ABCD A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列命题①过M点有且只有一条直线与直线 AB、②过M点有且只有一条直线与直线 AB、③过M点有且只有一个平面与直线 AB、④过M点有且只有一个平面与直线 AB、其中真命题是：

B1C1都相交；B1C1都垂直；B1C1都相交；B1C1都平行.

A DB CMA1 D1B1 C1A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③3、如图：在正方体 ABCD A1B1C1D1中，EF分别是棱BC与C1D1的中点.求证：EF// 平面BDD1B1(方法两种)D1 E C1A1 B1D CFA B4、 如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，Q是PA的中点.求证：PC//平面