新版3年高考2年模拟高考数学第3章导数及其应用

第三章导数及其应用

第一部分三年高考荟萃

2010年高考题

」（

1..（2010全国卷2理）（10）若曲线y=x”在点a,a^处的切线与两个坐标围成的三角

\/

形的面积为18,则。=

(A)64(B)32(C)16(D)8

【答案】A

【命题意图】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式,

考查考生的计算能力..

|1_3J.1_3

【解析】y'=——x2,：.k=——a2,切线方程是y—a2=——\x-a),令x=(),

"222a

3--13—

2

37=一。2,令()，x=3a,.•.三角形的面积是s=—―3a・二。=18,解得a=64.故

222

选A.

4

2.（2010辽宁文）（12）已知点P在曲线y=----上，e为曲线在点P处的切线的倾斜角,

ex+1

则a的取值范围是

（A）[0,-）（B）（C）]（D）[―，^）

442244

答案D

4Px41

解析：选D.y'=----------=----------,,/ex+—>2,.\-1<yr<0,

-ef+1/+2+1/

e*

34

HP-1<tana<0,ae[:—，兀）

4

4

3.（2010辽宁理）（10）已知点P在曲线y二----上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角,

ex+1

则〃的取值范围是

⑻呜）⑻[抬）宇争⑻咛㈤

【答案】D

【命题立意】本题考查了导数的几何意义，求导运算以及三角函数的知识。

_4,"—437r

【解析】因为y=—2=--------->-1,即tana2-l,所以一WaW乃

（e'+l）2ex+2+ex4

4.（2010全国卷2文）（7）若曲线y=f+ax+b在点（0,。）处的切线方程是x-y+l=O,

则

(A)a=l,b=l(B)a=—i,b=1

(C)a=\,b=-1(D)a=—l,b=—1

【解析】A：本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程

...y'=2x+ako=a,...q=l,(0/)在切线x—y+]=0,...b=l

5.（2010江西理）12.如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，

记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S（1）（S（O）=0）,则导函数y=5（/）的图像大

【答案】A

【解析】本题考查函数图像、导数图、导数的实际意义等知识，重点考查的是对数学的探究

能力和应用能力。最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除C；总面积一直.保

持增加，没有负的改变量，排除B；考察A、D的差异在于两肩位置的改变是否平滑，考虑

到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断，选择A。

6.（2010江苏卷）14、将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其

中一块是梯形，记s=<鬻?，则S的最小值是________，

梯形的面积

【解析】考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。

设剪成的小正三角形的边长为X,贝ij：s=______GM______=_£.生立（0<x<l）

1,加蓬“、61-x2

(方法一)利用导数求函数最小值。

.4(37)24(2X-6)-(1-X2)-(3-X)2.(-2X)

s(x)=w-----------E-----------

__4_(2x—6)•(1—/)-(3-x)2•(―2x)_J__2(31)。—3)

~耳(I-%2)2~耳.(I-%2)2

S'(x)=0,0<x<l,x=^,

当xe(O,；］时，S'(x)<0,递减；当时，S'(x)>0,递增；

故当》=■!■时，s的最小值是型多。

33

(方法二)利用函数的方法求最小值。

1114t241

3—x=t,t€(2,3),—G(―,一),贝U：S=—j=—------=—f=—~--—

t32百-/+6-86—

故当1=3,》=1时，s的最小值是必走。

t833

7.(2010湖南文)21.(本小题满分13分)

已知函数/(冗)=3+x+(a-l)lnx+15a,其中a<0,且aWT.

x

(I)讨论函数/(x)的单调性；

(-2x3+3〃%3+6ax-4a2—6。

(II)设函数g(x)={e.f(xU>l(e是自然数的底数)。是否存在a,

使g(x)在［a,-a］上为减函数？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。

解(I)/(x)的定义域为(0,+8).

•/<(X)T/+I+Ux=3V

(1)若-】va<09则当0<工<一。时，/*(x)>0；当-avx<l时，/*(x)<0：

当x>l时,，(x)>0.故/(X)分别在(0,-。).(I.+8)上单调递增，在(-%】)

上单调递减.

(2)若。<7,仿Q)可得/(x)分别在(0,1),(-%+9)上单调递增,在

(I,-。)上单调递减.

(II)存在Q,使g(x)在［%-的上为减函数.

理实上，设力(x)=(-2xJ+3ax2+6ar-4a3-&)e'(reR),则

tf(x)=［-2x,+3(a-2)xI+12ax-4a2］e,.

WSm(x)=-2x3+3(a-2)x,+12ac-4a2(XGR),贝"当8(》)在［。，-，］上单

调递减时，h(x)必在［。,0］上单调递减，所以“(q)w0.由于e'>0,因此

E(O)W0.而m(a)=a'(a+2),所以aW-2.此时，显然有

g(x)在［a,-。］上为诚函数，当且仅当f(x)在［l,-a)上为减函数，似x)在

［%］］上为减函数，且

由(I)知，当QW-2时，/(x)在［I,-。］上为减困数.①

又;04a?+13a+3wO=-3wow-+.②

不难知道，Vx€(a,l］,Af(x)^0e>VXG［O,1］,E(X)WO.

因W(x)=-6xI+6(a-2)x+12a=-6(x+2)(x-a),令W(x)=0,则x=a,或

x=-2,而a4-2,于是

(1)当av-2时，若a<x<-2,则m'(x)>0：若-2<xv1,则M(x)<0.因而

m(x)在(a,-2)上单调递他在(-2,l)上单调递减.

(2)当a=-2时，m*(x)<0,m(x)在(-2.1)上单调递减.

综合(IX(2)知，当aW-2时，m(x)在［%1)上的最大值为

m(-2)=-4aJ-12a—8.

所以Vxe［a.l］,WOu>m(-2)w0=-4a’-⑵-8WO。aW-2.③

又对底［%］1,胆(幻=0只有当。=-2时在8=-2取得，亦即〃(x)=0只有当

。=-2时在x=-2取得.因此,当。W-2时，虫工)在fa,I］上为减函数.从而由

①，②，③知，-3W0W-2.

综上所述，存在明使g(x)在［*-a］上为减函数，且。的取值范围为［-3,-2］.

8.(2010浙江理)(22)(本题满分14分)已知。是给定的实常数，设函数

/(x)=(x-a)2(x+b)e2,b£R,

X=Q是/(X)的一个极大值点.

(I)求6的取值范围；

(H)设演》2，/是了(©的3个极值点，问是否存在实数可找到zwR，使得

石,々，七，14的某种排列乐，%，7，%(其中也「2，，3，，4}={1，2,3,4})依次成等差数歹|」？若存

在，求所有的人及相应的4；若不存在，说明理由.

解析：本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及等差数列等基础知识，同

时考查推理论证能力、分类讨论等综合解题能力和创新意识。

(I)解：f，(x)=ex(x-a)+(3_〃+/?)X+2/?-〃为Q],

g(x)=x2+(3-Q+0)X+2/?-Q-ba,

令

则A=(3-a+b)2—4(2。-a)=(a+6—1了+8>0,

于是，假设和马是的丽今娱根，且再<马.

(1)当Xi=a或X2刊时，则x二a不是f(x)的极值点，此时不合题意。

(2)当xiWa且XzWa时，由于x二a是f(x)的极大值点，故x<a<X2.

即g(x)

即a+(3-6/+b)a+2b-a-ba<0

所以b<-a

所以b的取值范围是(-8,-a)

(il)M：ih(I)可的•鼠没仃在，，找。隔足盼息,期

(1)当I；u二。M时.JJ；勺M2X2-。或L=21.-a.

此时x4=2X2—a=〃一匕-3+J(q+/?-1)-+8—a=。+2,\/6

或—a=a-h—3-J(a+2-1)~+8-a=a-2>/6

(2)当％—。=。一工1时.，则%一。=2(a-±)或(a-玉)=2(%—a)

Ix2-U-2(fl-X.),KJ*4=

工”・

千比3iaM%r>4,s3—(a1-3■*)------------------------

J

w/(a=-3(a<&<5)t

-9-岳

于是Q+6-1=

2

巴产二2a+(aT-3)-3(a+3+3)=_工3=”.…；言.

242

ur*_ta+x2a+(。—"—3)—3(。+Z?+3)1—J13

此时x.=-----------------------------------------=-b-3-a-\-----------

242

综上所述，存在b满足题意,

当b=-a-3时，x4=a+2y/6

一一巨巫时,1+V13

2

』”Zz姮时,1-V13

4=。+--—

2

9.（2010全国卷2理）（22）（本小题满分12分）

设函数“尤）=1-e-\

（I）证明：当x>T时，—；

'）x+\

(II)设当xNO时，〃了)《二一，求a的取值范围.

【命题意图】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式，考查考生综合运用知识的能

力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力.

【参考答案】

(1)当x>-l时,〃幻云―当且仅当121+x.

x+l

令8(幻=/一”一1,则g'(x)=e，-l.......

当xNO时/(幻20，g(x)在［0.+8)是增函数：

当xWO时g'(x)W0・g(x)在(-8⑼必减函数.

在x=0处达到最小值，因而当xcR时,g(x)2g(O),即121+x,

所以当x>-1时./(x)^—......

x+l

(II)由题设x2O.此时/(x)》0.

当。<0时,若*>-L,则_A_<o,不成立：

aar+lax+1

当。20时・令Mx)=W(x)+/(x)-x,则

八“)&-_当且仅当A(x)於0.

0X4-1

*(*)=af(x)+«u//(x)+/*(*)-1

=4(幻-W(x)+ax-/(x).

(i)当OWaW；时•由(1)知xW(x+l)/(x).

h'(x)W4(x)-W(x)+a(x+l)f(x)-/(x).

=(2a-l)/(x)^0.

h(x)在(0,+是M函数,A(x)WA(0)=0.即/(x)W一一.

ax+l

(ii)当时.由(i)知

h'(x)=qf(x)-arf(x)^ax-f(x)

^q/，(x)-aj/(x)+q/，(x)-/(x)

=(勿-1-ax)/(x).

当0<x(生时./i'(x)>0,所以Mx)>MO)=O,即/(x)>一一.

aar+1

综上，G的取值范用是10.；］.

【点评】导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基

础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力

度不会减弱。作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等

式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在.

10.(2010陕西文)21、(本小题满分14分)

已知函数f(x)=y/x,g(x)=alnx,aeRo

(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的

方程；

(2)设函数h(x)=f(x)-g(x),当h(x)存在最小之时，求其最小值9(a)的解析式；

(3)对(2)中的夕(a),证明：当ae(0,+oo)时、(p(a)<1.

解(1)f'(x)=―、，g'(x)=3(x>0),

2yjxX

由已知得r5/x=alnx,

Y

〔—尸=—>解德a=-,x=e;

2yjxx2

1

•.•两条曲线交点的坐标为(e：e)切线的斜率为k=f'(e"£

1

\,切线的方程为y-e=2^(x-e2).

=Vx—fllnr(x>0),

⑵由条件知

1a

2./*r

I当a.〉0时，令/?&解得x=4。\

所以当0<x<4/时hM<0>h(x)在(0,4a2)上递减；

当xM/时，h'MX),h(x)在一(0,4a2)上递增。

所以x>4/是力㈤在(0,+oo)上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是小々)的最小

值点。

所以①(a)=h(41)=2a-aln4a2=2

II当aW0时，力3=(l/2-2a)/2x>0,h(x)在(0,+°°)递增，无最小值。

故h(x)的最小值中(a)的解析式为2a(lTn2a)(a>o)

(3)由(2)知①(&)=2a(l-ln2a)

则①'(a)=-21n2a,令①/(a)=0解得a=1/2

当0<a<l/2时:中'(a)>0,所以中(a)在(0,1/2)上递增

当a>l/2时，①'。)<0,所以①(a)在(1/2,+8)上递减。

所以市(a)在(0,+8)处取得极大值①(1/2)=1

因为中(a)在(0,+8)上有且只有一个极致点，所以中61/2)=1也是中(a)的最大值

所当a属于(0,+8)时，总有中出)W1

11.(2010辽宁文)(21)(本小题满分12分)

已知函数f(x)=(a+1)Inx+ax2+1.

(I)讨论函数/(x)的单调性；

(0)设a4-2,证明：对任意e(0,+oo),l/(x1)-/(x2)l>4lxl-x2\.

解：(I)F(x)的定义域为(0,+oo),/⑴=四+2ax=2吗”L

XX

当a10时,f'(x)>Q,故F(x)在(0,+oo)单调增加;

当aW—1时，f'(x)<0,故f(x)在(0,+oo)单调减少;

当一l<aV0时，令/(》)=0,解得尸」一见.当xe(0,J—巴里)时，/'(x)>0；

V2aV2a

XW(-竺1,+00)时，f'(x)<0,故/•(%)在(0,J-2•)单调增加，在(J—四

V2aV2aV2a

+oo)单调减少.

(II)不妨假设为2热,由于2,故f(x)在(0,+00)单调减少.

所以|〃百)一〃/)隹4%一々|等价于

/(x,)-/(x2)24汨一4尼，

即f(x2)+4生2f(石)+4xi.

令g(x)=F(x)+4x,则

，/、。+1c

g(x)=-----F2ax+4

x

_lax1+4x+。+1

x

千日，/、1-4/+41一(21)2

于是g'(x)《------------=—-------<0.

XX

从而g(x)在(0,+oo)单调减少，故g(xi)Wg(x。，

即f(xj+4xWF(*)+4照,故对任意一照£(0,+8),|/(x1)-/(x2)|>4|xI-x2|.

12.(2010辽宁理)(21)(本小题满分12分)

已知函数/(x)=(Q+l)lnx+(2x2+1

(I)讨论函数“X)的单调性；

(H)设a<-1.如果对任意玉，工2£(°，+8)，I>41Xj-x2I,求。的取值

范围。

解:

(I)/(x)的定义域为(0,+8).f\x)=+2ax=+

XX

当。20时，f\x)>0,故/(x)在(0,+8)单调增加；

当aWT时,f\x)<0,故/(x)在(0,+oo)单调减少;

当-1V〃VO时，令/'(%)=0，解得x=

则当X£(O,J-"L时，f\x)>0;工£(/一”\+8)时，f\x)<0.

V2aV2a

故f(X)在(0,\-四)单调增加，在(J—竺L+8)单调减少.

V2aV2a

(II)不妨假设王之马，而。VT，由(I)知在(0,+8)单调减少，从而

Vxpx2e(0,+oo),|y(x1)-/(x2)|>4|xl-x2|

等价于

Vx,,x2G(o,+00),/(々)+4》22/(X|)+4X|①

令g(x)=/(x)+4x,则g〈x)=±U+2ax+4

x

①等价于g(x)在(0,+8)单调减少，即

〃+1CC

-----F2ax+4<0.

x

-41(2xl)24f2QI]

从而〃<

2x2+12x2+12x2+1

故a的取值范围为(-8,-2].12分

13.(2010全国卷2文)(21)(本小题满分12分)

已知函数f(x)=x3-3ax2+3x+l»

(I)设a=2,求f(x)的单调期间；

(II)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围。

【解析】本题考查了导数在函数性质中的应用，主要考查了用导数研究函数的单调区间、极

值及函数与方程的知识。

(1)求出函数的导数，由导数大于0,可求得增区间，由导数小于0,可求得减区间。

(2)求出函数的导数/'(X),在(2,3)内有极值，即为尸(X)在(2,3)内有一个零点,

即可根据广⑵/'⑶<°,即可求出A的取值范围。

14.(2010江西理)19.(本小题满分12分)

设函数/(x)=Inx4-In(2-x)4-ax(a>0)。

(1)当寸，求/(X)的单调区间。

(2)若“X)在(0,1］上的最大值为:，求a的值。

【解析】考查函数导数运算、利用导数处理函数最值等知识。

解：对函数求导得：f\x)=-一一—+a,定义域为(0,2)

x2-x

(1)单调性的处理，通过导数的零点进行穿线判别符号完成。

当a=l时，令f\x)=0得工------+］=0n--+2=0

x2-xx(2-x

当xe(0,&)J'(x)>0,为增区间；当xe(6,2),r(x)<0,为减函数。

(2)区间(0,1］上的最值问题，通过导数得到单调性，结合极值点和端点的比较得到，确

定

待定量a的值。

当xw(O,l］有最大值，则必不为减函数，S.f\x)=-一——+a>0,为单调递增区间。

最大值在右端点取到。7mx=/(l)=a=!。

JmaxJ’2

15.(2010安徽文)20.(本小题满分12分)

■JT

设函数/(x)=sinx-cosx+x+l,0cx<5,求函数/(x)的单调区间与极值。

【命题意图】本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查综合应

用数学知识解决问题的能力.

【解题指导】(1)对函数/(x)=sinx—cosx+x+l求导，对导函数用辅助角公式变形，

利用导数等于0得极值点，通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负，判断区间的单调

性，求极值.

解：由f(x)=sinx-cosx+x+l,0<x<2点口f，(x)=l+^/^n(x+—).

4

令得，饿+工)=也x=7Tx=—

422

当变化时，f,(£[x)变化情况如下表：

讦(F,^2)宜

(O.TT)2(y,2行

尸(口十0—0+

3

以工)单调递增/万十2单调递减'X单调递增/

因此，由上表知f(x)的单调递增区间是(0,左与(，次2万

2

单调递增区间是(万与极小值为£(，学大萼为f()="万+2

【思维总结】对于函数解答题，一般情况下都是利用导数来研究单调性或极值，利用导数为

0得可能的极值点，通过列表得每个区间导数的正负判断函数的单调性，进而得出极值点.

16.(2010重庆文)(19)(本小题满分12分)，(I)小问5分，(11)小问7分.)

已知函数/(x)=ax3+x2+bx(其中常数a,bGR),g(x)=/(x)+/'(x)是奇函数.

(I)求f(x)的表达式；

(II)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间［1,2］上的最大值和最小值.

解:(1)由题意谓广⑸=3g'+2x+6.

因此虱幻=/(*)+/•(«)=«?+(3a+l)/+(b+2)*+6.因为函数或*)是

奇函数，所以双-*)・・或冕),即对任意实数X.有

a(-x)3+(3a♦1)(-«)2♦**2)(-x)+ba-(ax1+(3a4l”‘♦(b+2)无

从而3a+l=。力=0,解得a«-y,6=0.因此以)的解析表达式为/㈤

《口)山(1)知6(")=-/»'+标,所以/⑺=-?+2.令力幻=0.解得孙=-。，

*,=々\则当x<-&或工>。时4'<幻<0.从而晨外在区间(-8,-㈤,

［丘.♦8)上是减函数;当-Q<x〈。时.g'(x)>0,从而gG)在区间〔-万•

8］上是结函数.

由前面i悦知,双*)在区间［1.2］上的最大值与最小值只能在*=1,居2时取得，

明式1>»J,g(V?)"乎.米2)=y.因此g(x)在区刚1.2)上的最大例为

|富⑺-竽，最小值为<(2).1,

17.(2010浙江文)(21)(本题满分15分)已知函数/(x)=(x-a)2(a-b)(a,beR,a<b).

(I)当a=l,b=2时，求曲线y=/(x)在点(2,/(x))处的切线方程。

(II)设X］,/是/(X)的两个极值点，*3是/(X)的一个零点，且刍/王，X3WX2

证明：存在实数乙，使得玉,々,马，》4按某种顺序排列后的等差数列，并求X,

<|)新:――明

囚为广⑺=(»-1)(51-5).

故/'(2)…

乂〃2）-0.

所以4D在点（2.0）处的切找力科为）=*-2.

（H）位明：冈为/'（，）・3（wa“xq效）.

jj♦2b

枚n<

m.XW*）的用为—a.n*巧弛.

，不M设勾=0.h="J26.

冈为JI力显/U）的零点.

故4・A.

乂«•u因i为*3一♦^-2-&-aaQ2,（A3-。-♦2-6、）.

It」t独、2u♦&

北时’.气效.6依次成等加列

所以存在实收«,满足的0.H々=怨±

18.（2010重庆理）（18）（本小题满分13分（I）小问5分（II）小问8分）

Y—1

已知函数/（x）=---------l•ln（x+l）,其中实数aH1»

（I）若a=-2,求曲线y=〃x）在点（0,/（0））处的切线方程；

（II）若“X）在x=l处取得极值，试讨论“X）的单调性。

解⑺=7：-

（x+《a）>）+x士+1=（产%+a'）+x±+1.

当a=2时,广（0）=（；：；），+告=入而人0）=-十，因此曲线y=/（*）在

点（0,/（0））处的切线方程为y-（--0）,即7*-4y-2=0.

(口)因ad-l,由(I)知/'(1)=(i+a)2+m=m+2'

又因人N)在X=I处取得极值，所以/'(Q=0.

即+；=。,解得a=-3.

a♦I2

此时｛X)=y+ln(*+1),其定义域为(-1.3)U(3.+8),且

X-J

广⑸=自+出=,龙;?)・由/'⑴=0得"㈠=7.当

-1v1或X>7时,/，(*)>0;当I<#<7且工射3时,/<*)<0.

由以上讨论知.，*)在区间(-1,1],[7,+8)上是增函数.在区间[1,3),(3,7]

上是减函数.

19.(2010山东文)(21)(本小题满分12分)

1—Q

已知函数/(%)=\nx-ax-^----------1(。GR)

x

(I)当。二一1时，求曲线y=/(x)在点(2J(2))处的切线方程；

(II)当时，讨论/(x)的单调性.

解：^a——1时/:.'=」nx+;t+，A1.x&CO.+oo).

所以f'(.x.-(O.+oo).

因此/r(2)-1.

即曲线y-/<x)在点处的切线斜率为1...................:.............

又/(2)=ln2+2,

所以曲线y-/(x)在点处的切线方取为y-<ln2+2)-x-JI,

即x-y+ln2・0・................................................................................

(H》因为■Inx-ax+-1•

**•*•・-

射以/Q)。a+■—^LzUZx€oo).

令g(N)-ax'-1+1-a.n£《0.、8》・

c*4-l»x6<0,+«*»>,

所以.SiwCe.D时，8<幻>0,此时，G)VO,函数八外单商递减；

当工ea.+8)时.屋外vo,此时r(x>>o,函数r(x)单调递堆；

(2)当a*0时，由r(x)-0,

r"ax,—x+1—a«0,刎。*i«1.*«--1.

ta

t嫌a-■时■，皿■•雄.g(w)>0伍成立.此时/s)«修敷/(工)在

(0.+«>>上单调递减।

②当0VaV±•时.十一1>1>0.

x6(0,D时.gQ>>0,此时fU)V%函数/(力单网递减1

x€<1.上一1)时.晨公V0.此时，G)>0,函数/'(外维调14增,

CL

X6<7-1,+8)垢2#>0,此时Z<x)<O.Stt*W3I»I

③当cVO时由于上-1。0,

CL

■■Z(0.1)时，式H)>0,此时r(x)<0,由数/(z)隼调递减；

x6(1.+<»)时,屋工〉V0,此时/(z>>0,S»/(x)单调递增.

务上所述：

当a40时.函数/Q》在《0,1》上单调递Wb

函数/<x)在(1,+8》上单询递增；

•时，函数/3在<0,+々>上柒词递减।

*63<•1■时，而致，尚在(0,1)上单调递减,

函奴/(*>在a,±-1)上单沟遂坨।

南效/(*)+8)上单调通减.

a

20.(2010北京理)(18)(本小题共13分)

V

已知函数/(x)=In(l+x)-x+—/(攵20)。

(I)当女=2时，求曲线y=/(x)在点(1,/(I))处的切线方程；

(11)求/(犬)的单调区间。

,1

解(I)当左=2时，/(x)=ln(l+x)-x+x~,f\x)=--------l+2x

1+x

由于/⑴=ln2,/'(1)=|，

所以曲线y=f(x)在点(1,/(1))处的切线方程为

3

y-ln2=—(x-1)

即3x-2y+21n2-3=0

,TT、\x(kx+k-\)/i,、

(II)f(x)=-----------,XG(-1,4-00).

1+X

x

当女=0时，f\x)=一一—.

l+x

所以，在区间(一1,0)上，f'(x)>0；在区间(0,+00)上，/'(x)<0.

故/(x)得单调递增区间是(-1,0),单调递减区间是(0,+8).

当0<女<1时，由/'('="息+4’_1)=0,得玉=0,%2=上白>0

1+xk

\_k\-k

所以，在区间(―1,0)和(——,+0。)上，/^)>0；在区间(0,——)上，

kk

f\x)<0

\-k

故/(尤)得单调递增区间是(-1,0)和(——,+8),单调递减区间是(0,——).

kk

九2

当女=1时，/'(x)=--

1+X

故/(X)得单调递增区间是(―1,+8).

当k〉l时，/(x)=*+D=0,得石==e(—1,0),x,=0.

1+xk

1-k

所以没在区间(—1,——)和(0,+8)上，/,(x)>0；在区间(——,0)±,

kk

八x)<0

1一"1-k

故/(X)得单调递增区间是(-1,——)和(0,+oo),单调递减区间是(——,0)

kk

21.(2010天津文)(20)(本小题满分12分)

23o

已知函数f(x)=ax3--x2+l(xe/?),其中a>0.

(I)若a=l,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；

(II)若在区间一,,1上，f(x)>0恒成立，求a的取值范围.

_22.

【解析】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等

基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法.满分12分.

3

(I)解：当a=l时,f(x)=x3——x2+1,f(2)=3；f'(x)=3x2-3x,f'(2)=6.

2

所以曲线y=f（X）在点（2,f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2）,即y=6x-9.

,1

(II)解：f'(x)=3ax--3x=3x(ax-l).令f'(x)=0,解得*=0或*=—.

a

以下分两种情况讨论：

解不等式组得-5<a<5.因此0<a<2.

解不等式组得:一<。<5或。<-:一.因此2<a<5.

22

综合（1）和（2）,可知a的取值范围为0<a<5.

22.（2010天津理）（21）（本小题满分14分）

已知函数/(x)=XC-*(XeR)

（I）求函数/（X）的单调区间和极值;

(II)已知函数y=g(x)的图象与函数y=/(x)的图象关于直线x=l对称，证明当

x>l时，/(x)>g(x)

(HI)如果工产々，且/(xj=/(%)，证明西+》2〉2

【解析】本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查

运算能力及用函数思想分析解决问题的能力，满分14分

(I)解：f'(%)=(1-》)**

令f'(x)=0,解得x=l

当X变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表

X(-00,1)1(l,+oo)

f'(x)+0-

f(x)极大值

所以f(x)在(-8,1)内是增函数，在(1,+8)内是减函数。

函数f(X)在X=1处取得极大值f(1)且f(1)=」

(II)证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)e*-2

令F(x)=f(x)-g(x),即F(x)-xe~x+(x-2)ex~2

于是尸'(x)=(x—l)(e2i—I%-,

当x〉l时，2x-2>0,从而e2"2一l>0,又所以0,F'(x)>0,从而函数F(x)在[1,+

8)是增函数。

XF(l)=e-1-e-1=0,所以X>1时,有F(x)>F⑴=0,即f(x)>g(x).

(in)证明：(i)

若(X]-1)(》2-1)=0,由(D及f(x1)=M后可盾看=々=1.xl^x2

⑵若(X1-1)(尤2T)>0,由(D及f(xJ璃阂/盾』=々.X,x2

根据⑴(2)得(占―1)。2-1)<0,不妨设玉

由(II)可知，f&2)>g(X2),则g&2)=f(2-X2),所以f(X2)>f(2-X2),从而

f(X1)>f(2-X2).因为乙>1，所以2—》2<1，又由(I)可知函数f(x)在区间(-8,1)

内事增函数,所以司>2—々，即玉+々>2.

23.(2010福建文)22.(本小题满分14分)

已知函数f(X)—了2+ax+6的图像在点P(0,f(0))处的切线方程为y=3x-2

3

(1)求实数@飞的值；

(II)设g(x)4&)+二77一1是［2,+8］上的增函数。

x-1

(D求实数m的最大值；

(ii)当m取最大值时，是否存在点Q,使得过点Q的直线若能与曲线y=g(x)围成两个封

闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由。

22.本小题主要考查函数、导数理础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解

能力，学杳函数与r方程思想、数形结合思想、化以与转化思想、分类与整介思想,满分

14分.

解法一：