函数逼近与快速傅里叶变换

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函数逼近与快速傅里叶变换1第一页，共十四页，2022年，8月28日本节内容有理函数逼近有理逼近与连分式

Pade逼近三角函数逼近最佳平方逼近最小二乘

FFT（快速Fourier变换）2第二页，共十四页，2022年，8月28日有理逼近用有理函数来做函数逼近

有理逼近若函数在某些点附近无界时，则使用有理逼近可能会取得较好的逼近效果3第三页，共十四页，2022年，8月28日举例例：Taylor展开连分式ex35.m4第四页，共十四页，2022年，8月28日Pade逼近设f(x)的Taylor展开为部分和记为Pade逼近设f(x)

CN+1(-a,a),N=m+n,

若有理函数其中Pn(x)与

Qm(x)无公因式，且满足则称Rnm(x)为f(x)在

x=0处的(n,m)阶Pade逼近k=0,1,…,N5第五页，共十四页，2022年，8月28日三角多项式逼近在[0,2]

上带权(x)=1

的正交三角函数族：

1，cosx，sinx，sin2x，cos2x，…三角函数逼近主要用于周期函数的数值逼近三角多项式逼近设f(x)是以2为周期的平方可积函数，则可利用上面的三角函数族对其进行数值逼近。6第六页，共十四页，2022年，8月28日最佳平方三角逼近

f(x)以2为周期且平方可积，则其在[0,2]

上的最佳平方三角逼近为最佳平方三角逼近(k=0,1,…,n-1

)(k=1,2,…,n-1

)其中当n

趋于无穷大时，Sn(x)即为f(x)的Fourier展开7第七页，共十四页，2022年，8月28日三角多项式逼近结论若

f’(x)在[0,2]

上分段连续，则8第八页，共十四页，2022年，8月28日最小二乘若只给出离散数据(

xj,yj)，其中则可类似地得到f(x)离散Fourier逼近(假定N=2m+1)(k=0,1,…,n-1

)(k=1,2,…,n-1

)其中n<m9第九页，共十四页，2022年，8月28日三角插值三角插值当n=m

时可以证明故Sn(x)为f(x)在点集x0,x1,,xm上的三角插值(j=0,1,…,2m)10第十页，共十四页，2022年，8月28日DFT考虑在[0,2]

上带权(x)=1

的正交三角函数族：这里的i

是虚部单位则在处的函数值为离散正交11第十一页，共十四页，2022年，8月28日DFT则f(x)的最小二乘Fourier逼近为(n

m)(k=0,1,…,n-1

)其中设f(x)以2为周期的复函数，给定函数值(xj,yj)，其中离散Fourier变换当n=N

时，Sn(x)即为f(x)在x0,x1,,xn-1

上的插值函数(j=0,1,…,N-1

)离散Fourier逆变换12第十二页，共十四页，2022年，8月28日DFT令构造矩阵性质(1)性质(2)13第十

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