代数系统和群

代数系统和群第一页，共四十页，2022年，8月28日第六章群与环§6.1代数系统

对于代数系统而言,运算是它的决定性因素,因此,必须首先明确运算的概念。在代数系统中二元代数运算用得最多,所以我们给出其定义并讨论其性质。定义6.1.1设S是一个非空集合，称S×S到S的一个映射f为S的一个二元代数运算，即,对于S中任意两个元素a,b,通过f,唯一确定S中一个元素c：f（a，b）=c，常记为a*b=c。由于一般情况下,(a,b),(b,a)是S×S中不同的元，故a*b未必等于b*a。第二页，共四十页，2022年，8月28日例如，S={a,b},则S×S={(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)}映射f为：(a,a)----a(a,b)----a(b,a)----b(b,b)----bf称为S的一个二元代数运算，有f(a,a)=af(a,b)=af(b,a)=bf(b,b)=b,也可表示为：a*a=a,a*b=a,b*a=b,b*b=b第三页，共四十页，2022年，8月28日例6.1.1自然数集N上的加法和乘法是N上的二元代数运算；减法和除法不是N上的二元代数运算，因为两个自然数相减或相除可能得到的不是自然数。例6.1.2整数集Z上的加法、减法、乘法都是Z上的二元代数运算;除法不是Z上的二元代数运算.例6.1.3非零实数集R*上的乘法、除法是R*上的二元代数运算；加法和减法不是R*上的二元代数运算，因为两个非零实数相加或相减可能得出0。例6.1.4矩阵加法和乘法是n阶实矩阵集合上的二元代数运算。例6.1.5设S是一个非空集合，ρ（S）是S的幂集，则集合的交运算∩、并运算∪是ρ（S）上的二元代数运算。例6.1.6逻辑连接词合取∧、析取∨、蕴涵→、等价都是真值集合{0，1}上的二元代数运算。第四页，共四十页，2022年，8月28日定义6.1.2设*是集合S上的二元代数运算，如果对于S中任意两个元素a，b，等式a*b=b*a都成立，则称运算“*”满足交换律。例如整数上的加法。定义6.1.3设*是集合S上的二元代数运算，如果对于S中任意三个元素a，b，c，等式（a*b）*c=a*（b*c）都成立，则称运算*满足结合律。例如整数上的加法。第五页，共四十页，2022年，8月28日定义6.1.4设*是集合S上的二元代数运算，a是S中的元素，如果a*a=a则称a是关于运算*的幂等元。如果S中每个元素都是关于*的幂等元，则称运算“*”满足等幂律。如在整数中看，1是关于乘法的幂等元，0是关于加法的幂等元，但乘法和加法都不满足等幂律。定义6.1.5设*和+是集合S上的两个二元代数运算，如果对于S中任意三个元素a，b，c，等式a*(b+c)=(a*b)+(a*c)，(b+c)*a=(b*a)+(c*a）都成立，则称运算*对+满足分配律。第六页，共四十页，2022年，8月28日定义6.1.6设*和+是集合S上的两个二元代数运算，如果对于S中任意两个元素a，b，等式a*（a+b）=a，a+（a*b）=a，都成立，则称运算*和+满足吸收律。例6.1.7整数集Z上的加法、乘法都满足结合律和交换律，乘法对加法满足分配律，但加法对乘法不满足分配律；减法不满足结合律，也不满足交换律；它们都不满足等幂律，也不满足吸收律。第七页，共四十页，2022年，8月28日例6.1.8n阶实矩阵集合上的加法满足结合律,也满足交换律;乘法满足结合律，但不满足交换律;它们都不满足等幂律,也不满足吸收律。例6.1.9设S是一个非空集合，ρ(S)是S的幂集,则ρ(S)上的交运算∩、并运算∪都满足结合律,交换律,∪对∩、∩对∪都满足分配律,它们都满足等幂律,也满足吸收律。定义6.1.7设*是集合S上的二元代数运算,如果对于S中任意三个元素a,b,c,（1）若a*b=a*c，则b=c，（2）若b*a=c*a，则b=c，就称*满足消去律。第八页，共四十页，2022年，8月28日例6.1.10整数集Z上的加法满足消去律，但乘法不满足消去律，例如，3*0=5*0，但3≠5。例6.1.11n阶实矩阵集合上的加法满足消去律，但乘法不满足消去律，例如，

=,但定义6.1.8设S是一个非空集合，f1，……，fm是S上的若干代数运算，把S及其运算f1，……，fm看成一个整体来看,叫做一个代数系统，记为（S，f1，……，fm）第九页，共四十页，2022年，8月28日例6.1.12设S是一个非空集合，ρ（S）是S的幂集，∩和∪是ρ（S）上的交运算和并运算,则（ρ（S），∩，∪）为代数系统。例6.1.13设Z为整数集,Z0为偶数集,N为自然数集,+、·是数的加法和乘法,则(Z,+)、(Z,·)、(Z,+,·)都是代数系统；(Z0,+)、(Z0,·)、(Z0,+,·)都是代数系统；(N,+)、(N,·)、(N,+,·)都是代数系统；如果用、⊙分别表示求最大公约数和求最小公倍数的运算，那么（Z,,⊙）、（Z0,,⊙）与（N，，⊙）也都是代数系统。例6.1.14设∧、∨是真值集合{0，1}上的合取与析取运算，则（{0，1}，∧，∨）是代数系统。第十页，共四十页，2022年，8月28日

作业：196页，1。第十一页，共四十页，2022年，8月28日

习题6.1

1.设W1、W2、W3分别为是模6的剩余类集合Z6的子集：W1={，}，W2={，，}，W3={，，}，试问剩余类加法是不是这些子集的二元代数运算？解：剩余类加法对W1，W2是二元代数运算，而W3不是。

第十二页，共四十页，2022年，8月28日

2.S={2n|nN}，加法是S上的二元代数运算吗？乘法呢？解：加法不是S上的二元代数运算，乘法是。第十三页，共四十页，2022年，8月28日

3.自然数集N上的二元代数运算*定义为x*y=xy，*是否满足结合律？是否满足交换律？解:(a*b)*c=(ab)c=

abc

a*(b*c)=a*b=ab,b*a=ba所以，都不满足。

第十四页，共四十页，2022年，8月28日

4.设*是集合S上的二元代数运算，且满足结合律,设x,y是S中任意元素，如果x*y=y*x，则x=y。试证明*满足等幂律。证明：由于对S中任意的x，y和z，有x*(y*z)=(x*y)*z，故x*(x*x)=(x*x)*x，于是有x*x=x。

第十五页，共四十页，2022年，8月28日

5.设+和*是集合S上的两个二元代数运算，对于S中任意元素x和y，x+y=x。证明*对于+满足分配律。证明：设x，y和z是S中任意三个元素，则x*(y+z)=x*y=x*y+x*z，且(y+z)*x=y*x=y*x+z*x，故*对于+满足分配律。第十六页，共四十页，2022年，8月28日§6.2群的定义6.2.1半群

定义6.2.1设G是一个非空集合，若·为G上的二元代数运算，且满足结合律，则称该代数系统（G，·）为半群。例6.2.1设S是一个非空集合，ρ（S）是S的幂集，∩和∪是ρ（S）上的交运算和并运算，则（ρ（S），∩）为半群，（ρ（S），∪）为半群。例6.2.2设Z为整数集,+、-、·是数的加法、减法和乘法,则(Z,+)、(Z,·)都是半群；（Z，-）不是半群，因为减法不满足结合律。第十七页，共四十页，2022年，8月28日例6.2.3设N为自然数集，规定N上的运算“⊙”如下：a⊙b=a+b+a·b，其中+、·是数的加法和乘法,a，b是N中任意元素。显然,⊙为N上的二元代数运算。对N中任意三个元素a,b,c,有：(a⊙b)⊙c=(a+b+a·b)⊙c=(a+b+a·b)+c+(a+b+a·b)·c=a+b+c+a·b+b·c+a·c+a·b·c，a⊙(b⊙c)=a⊙(b+c+b·c）=a+（b+c+b·c）+a·（b+c+b·c）=a+b+c+a·b+b·c+a·c+a·b·c，故，（a⊙b）⊙c=a⊙（b⊙c），⊙满足结合律，因此，（N，⊙）为半群。第十八页，共四十页，2022年，8月28日例6.2.4设S是一个非空集合，规定S上的运算如下：ab=b，其中a，b是S中任意元素。显然为S上的二元代数运算。对S中任意三个元素a，b，c，有：（ab）c=bc=c，a（bc）=ac=c，故，（ab）c=a（bc），满足结合律，因此，（S，）为半群。

第十九页，共四十页，2022年，8月28日6.2.2群定义6.2.2设（G,·）为半群，如果满足下面条件：(1)G中有一个元素1，适合对于G中任意元素a，都有1·a=a·1=a;(2)对于G中任意a，都可找到G中一个元素a-1，满足a·a-1=a-1·a=1，则称（G，·）为群。元素1称为G的单位元素，a-1称为a的逆元素。如果群G包含的元素个数有限，则称G为有限群，否则称G为无限群。下面用|G|表示有限群G所包含的元素个数。第二十页，共四十页，2022年，8月28日

例6.2.6设Q为所有有理数组成的集合，R为所有实数组成的集合，C为所有复数组成的集合，Q*为所有非零有理数组成的集合,R*为所有非零实数组成的集合，C*为所有非零复数组成的集合，+、·是数的加法和乘法，则（Q，+）、（R，+）、（C，+）都是群；(Q,·)、（R，·）、（C，·）都不是群，因为0无逆元素；(Q*,·)、（R*，·）、（C*，·）都是群。第二十一页，共四十页，2022年，8月28日

例6.2.7设S是一个非空集合，ρ(S)是S的幂集,∩和∪是ρ(S)上的交运算和并运算，则(1)半群(ρ(S),∩)不是群,虽然存在单位元素S,但不是任意元素都存在逆元素；(2)半群(ρ(S),∪)也不是群,虽然存在单位元素：空集，但不是任意元素都存在逆元素。例6.2.8例6.2.3中半群（N，⊙）不是群，因为不存在单位元素。假定有单位元素，设为e，则对N中任意元素a，都应有e⊙a=a，即e+a+e·a=a，因此，e=0，但0N。第二十二页，共四十页，2022年，8月28日例6.2.9例6.2.4中半群(S,)也不是群,因为不存在单位元素。例6.2.10设A是实数域上所有n阶非奇异矩阵的集合，*为矩阵的乘法，则不难验证（A，*）是群。例6.2.11设S={0，1，2，……m-1}，规定S上的运算⊕如下：

a⊕b=，其中a，b是S中任意元素，+、-为数的加与减。则（S，⊕）是群，称为模m的整数加法群。第二十三页，共四十页，2022年，8月28日6.2.3群的性质定理6.2.1设(G,·)是一个群，则G中恰有一个元素1适合1·a=a·1=a,而且对于任意a恰有一个元素a-1适合a·a-1=a-1·a=1。证明：若1和1’都是单位元素，则1’=1·1’=1，故1’=1。若b和c都有a-1的性质,则b=b·1=b·(a·c)=（b·a）·c=1·c=c,故b=c.这就是说群的单位元素是唯一的，任意元素的逆也是唯一的。易见（a-1）-1=a。第二十四页，共四十页，2022年，8月28日例如，S={0,1,2,3,4},运算⊕是模5加运算，则单位元有且只有一个为0。0的唯一的逆元素是0；1的唯一的逆元素是4；2的唯一的逆元素是3；3的唯一的逆元素是2；4的唯一的逆元素是1。如果，S={0,1,2,3},运算⊕是模4加运算,则单位元也有且只有一个为0。0的唯一的逆元素是0；1的唯一的逆元素是3；2的唯一的逆元素是2；3的唯一的逆元素是1。第二十五页，共四十页，2022年，8月28日定理6.2.2群定义中的条件（1）和（2）可以减弱如下：（1）’G中有一个元素左壹适合1·a=a;（2）’对于任意a，有一个元素左逆a-1适合a-1·a=1。

证明：只要证明由（1）’、（2）’（和其余的条件联合）可以推出(1)和(2)，即只需证明a·1=a和a·a-1=1。第二十六页，共四十页，2022年，8月28日先证a·a-1=1。因为(a-1·a)·a-1=1·a-1=a-1，故(a-1·a)·a-1=a-1。由（2）’，a-1也应该有一个左逆适合b·a-1=1。于是,一方面有：b·（（a-1·a）·a-1）)=b·a-1=l，另一方面有：b·((a-1·a)·a-1)=(b·a-1)·(a·a-1)=1·（a·a-1）=a·a-1，因此，a·a-1=1。再证a·1=a。事实上，a·1=a·（a-1·a）=（a·a-1）·a=1·a=a。自然，把（1）’,（2）’中对于左边的要求一律改成对于右边的要求也是一样。第二十七页，共四十页，2022年，8月28日定理6.2.3群定义中的条件（1）和（2）等于下列可除条件：对于任意a，b，有χ使χ·a=b，又有y使a·y=b。证明：首先证明在任一群中可除条件成立。因为，取χ=b·a-1，y=a-1·b，即得χ·a=b，a·y=b，故，由(1)和(2)可以推出可除条件成立。再证明由可除条件也可以推出(1)’,(2)’，因而可以推出(1),(2)。事实上,取任意c∈G，命1为适合х·c=c的х，则1·c=c。今对于任意a,有y使c·y=a,故1·a=1·(c·y)=（1·c）·y=c·y=a，即（1）’成立。至于（2）’，只要令a-1为适合х·a=1的х，则a-1·a=1。第二十八页，共四十页，2022年，8月28日定理6.2.4设G是一个群，在一个乘积a1…an中可以任意加括号而求其值。证明：要证定理，只要证明任意加括号而得的积等于按次序由左而右加括号所得的积(…((a1·a2)·a3)…·an-1)·an（1）（1）式对于n=1，2不成问题；对于n=3,由结合律也不成问题。现在对n用归纳法,假定对少于n个因子的乘积（1）式成立，试证对n个因子的乘积（1）式也成立。第二十九页，共四十页，2022年，8月28日a1…an任意加括号而得到的乘积A，求证A等于(1)式。设在A中最后一次计算是前后两部分B与C相乘：A=（B）·（C）今C的因子个数小于n，故由归纳假设,C等于按次序自左而右加括号所得的乘积（D）·an。由结合律，A=(B)(C)=(B)·((D)·an)=((B)·(D))·an。但（B）·（D）的因子个数小于n，故由归纳假设，（B）·（D）等于按次序由左而右加括号所得的乘积(B)·(D)=(…((a1·a2)·a3)…·an-2)·an-1第三十页，共四十页，2022年，8月28日因而A=((B)·(D))·an=((…((a1·a2)·a3)…·an-2)·an-1）·an即A等于（1）式。当给出二元运算后，若无结合律，则三个以上元素的运算不一定有意义，本定理对有结合律的一切代数体系成立。现在a1…an有意义，当它们都相同时称n个a连乘积为a的n次方，记为an，记为an。我们规定a0=1，a-n=（an）-1(=(a-1)n)象在普通代数中一样，可以证明对于任意整数m，n，有第一指数律am·an=am+n，第二指数律（am）n=amn。第三十一页，共四十页，2022年，8月28日定义6.2.3若群(G,·)的运算·适合交换律，则称（G，·）为Abel群或交换群.定理6.2.5在一个Abel群（G，·）中，一个乘积可以任意颠倒因子的次序而求其值。证明：考虑一个乘积a1·…·an。设σ是{1，…，n}上的一个一对一变换，欲证aσ（1）·

…·aσ（n）=a1·…·an对n用归纳法，n=1时只有一个a1定理自然成立，假定n-1时定理已真，证明n时定理亦真。第三十二页，共四十页，2022年，8月28日设将a1·…·an中各因子任意颠倒次序而得一式P=aσ（1）·…·aσ（n）因子an必在P中某处出现，因而P可以写成P=（P′）·…·an·（P″）Pˊ或P″中可能没有元素，但照样适用以下的论证，由交换律，P=Pˊ·(an·P″)=Pˊ·(P″·an)=(Pˊ·P″)·an，现在Pˊ·P″中只有n-1个元素a1,…,an-1,只不过次序有颠倒，故由归纳法假定，Pˊ·P″=a1·…·an-1。因此,P=（Pˊ·P″）·an=a1·…·an-1·an，从而归纳法完成，定理得证。第三十三页，共四十页，2022年，8月28日在Abel群中，易见有第三指数律：（a·b）m=am·bm，m为任意整数。如果群G的运算不写作乘·而写作加+，则G叫做一个加法群，我们永远假定一个加法群是一个Abel群：a+b=b+a在乘法群中写做1的现在写做0：a+0=a在乘法群中写做a-1而称为a的逆的,现在写做-a而称为a的负：a+（-a）=0n为任意整数时，在乘法群中写作an而称为a的n次方的，现在写做na而称为a的n倍。三个指数律现在成为下面的形式：（m+n）a=ma+na，m（a+b）=ma+mb，m（na）=（mn）a。

第三十四页，共四十页，2022年，8月28日

作业：201页，2。第三十五页，共四十页，2022年，8月28日习题6.2

1.设（G,·）是代数系统,则（G×G,*）是代数系统，这里G×G的运算“*”规定如下：（a，b）*（c，d）=（a·c，b·d），其中:a,b,c,d为G中任意元素。证明：当（G,·）是半群时,（G×G,*）是半群；当（G,·）有单位元素时,（G×G,*）有单位元素；当（G,·）是群时,（G×G，*）是群；

第三十六页，共四十页，2022年，8月28日证明：设（G,·）是半群,a,b,c,d,e,f为G中任意元素,若有(a,b),(c,d),(e,f)属于G×G，则有(a,b)*((c,d)*(e,f))=(a,b)*(c·e,d·f)=(a·(c·e),b·(d·f))=((a·c)·e,(b·d)·f))=((a·c),(b·d))*(e,f)=((a,b)*(c,d))*(e,f)这就证明了当（G,·）是半群时,（G×G,*）是半群.设（G,·）有单位元素1，(a,b)是（G×G,*）中任意元素,则有(a,b)=(a·1,b·1)=(a,b)*(1,1)且(a,b)