杆系结构的有限元原理

第4章杆系结构的有限元分析原理

杆梁单元概述讨论杆梁单元和由它们组成的平面和空间杆梁结构系统.从构造上来说其长度远大于其截面尺寸的一维构件承受轴力或扭矩的杆件成为杆杆梁问题都有精确解承受横向力和弯矩的杆件称为梁平面桁架平面刚架连续梁空间刚架空间桁架等承受轴力或扭矩的杆件称为杆将承受横向力和弯矩的杆件称为梁变截面杆和弯曲杆件本章主要内容4.1有限元分析的完整过程4.2有限元分析的基本步骤及表达式4.3杆单元及其坐标变换4.4梁单元及其坐标变换4.1有限元分析的完整过程E1=E2=2E7PaA1=A2=2cm2l1=l2=10cmP3为10N作用下二杆结构的变形。问题的解题思路：1）用标准化的分段小单元来逼近原结构2）寻找能够满足位移边界条件的许可位移场3）基于位移场的最小势能原理来求解基本变量为：节点位移内部各点位移应变应力(1)(3)(2)完整的求解过程1）离散化该构件由两根杆件做成，因此可以自然离散成2个杆单元。假定以这类单元位移的特征为两个端点位移，就这两个离散单元给出节点编号和单元编号。单元1：i=1，j=2单元2：i=2，j=32）单元分析单元位移模式：u(x)=a0+a1x单元节点条件：u(0)=u1，u(l)=u2

从而得回代得写成矩阵形式为其中Ni，Nj是形函数。形函数矩阵根据几何方程可得应变的表达写成矩阵形式为简记为几何函数矩阵或者是应变转换矩阵根据物理方程可得应力的表达写成矩阵形式为简记为应力矩阵或者是应力转换矩阵节点位移列阵势能的表达写成矩阵形式为刚度矩阵节点力列阵3）离散单元的装配配在得到各个单元的的势能表达式后，，需要进行离散单单元的装配，以求求出整个系统的总总势能，对于该系系统，总势能包括括两个单元部分4）边界条件的处理理处理边界条件是获获取可能位移场，，将左端的约束条条件，即u1=0代入上式可以得到简化化的势能表达式5）建立刚度方程由于上式是基于许许可位移场的表达达的系统势能，这这是由全部节点位位移分段所插值出的的位移场为全场许许位移场，且基本本未知量为节点位位移，根据最小势能能原理（即针对未未知位移求一阶导导数）有6）求解节点位移将结构参数和外载载荷代入上式有求解得（单位m）7）计算单元应变8）计算单元应力9）计算支反力对于单元势能的的表达，对其取取极值有具体地对于单元元1，有其中R1是节点1的支反力，P2是单元1的节点2所受的力，即单单元2对该节点的作用力，将将前面求得的节节点位移代入上上式可得支反力力大小。以上是一个简单单结构有限元方方法求解得完整整过程，对于复复杂结构，其求解过程完全相相同，由于每一一个步骤都具备备标准化和规范范性的特征，所以可以在计算算机上编程而自自动实现。讨论1：对于一个单元元的势能取极值值，所得到的方方程为节点的位位移和节点力之间的关系系，也称为单元元的平衡关系，，由此可以求出出每一个单元所受的节点力。。讨论2：由前面的步骤骤，我们也可以以直接将各个单单元的刚度矩阵阵按照节点编号的对应位位置来进行装配配，即在未处理理边界条件之前前，先形成整体刚度矩阵。其物理意义是，，表示在未处理理边界条件前的的基于节点描述述的总体平衡关系。在对该方方程进行位移边边界条件的处理理后就可以求解解，这样与先处理边边界条条件再再求系系统势势能的的最小小值所所获得得的方方程完完全相相同。。4.2有限元元分析析的基基本步步骤及及表达达式1、物体体几何何区域域的离离散化化2、单元元的研研究（（所有有力学学信息息都用用节点点位移移）来来表达达3、装配配集成成4、边界界条件件的处处理并并求解解节点点位移移5、支反反力的的求取取以及及其它它力学学量（（应力力、应应变及及位移移三大大物理理量））的计计算4.2有限元元分析析的基基本步步骤及及表达达式4.3杆单元元及其其坐标标变换换4.3.1局部坐坐标系系中的的单元元描述述5.25m3.75m24mF6m3mF24mE=3E7paρ=0.2836kg/m3F=100N变截面面杆单单元的的推导导单元的的位移移模式式形状函函数矩矩阵单元的的几何何矩阵阵变截面面杆单单元的的推导导单元刚刚度矩矩阵为为4.3杆单元元及其其坐标标变换换4.3.1局部坐坐标系系中的的单元元描述述E=2E10paF=60kNA=250mm2150mm150mmF1.2mm4.3杆单元元及其其坐标标变换换-局部坐坐标由于杆杆单元元只有有两个个节点点位移移，故故可以以设杆杆单元元的位位移模模式为为之包包含两两个待待定常常数的的形式式u(x)=a1+a2x根据有有限元元法的的基本本思路路，将将弹性性体离离散成成有限限个单单元体体的组组合，，以结结点的的位移移作为为未知知量。。弹性性体内内实际际的位位移分分布可可以用用单元元内的的位移移分布布函数数来分分块近近似地地表示示。在在单元元内的的位移移变化化可以以假定定一个个函数数来表表示，，这个个函数数称为为单元位位移函函数、或单元位位移模模式。回代得得写写成成矩阵阵形式式为其中Ni，Nj是形函函数。。根据位位移条条件有有u(0)=u0，u(l)=ul，从而而得根据几几何方方程得得根据物物理方方程得得从而，，根据据单元元分析析结果果，进进行整整体分分析，，求解解整体体方程程组，，进行行结果果分析析4.3.2杆单元元的坐坐标变变换规定：：杆端位位移和和杆端端力取取在截截面形形心上上，符符号以以与单单元系系坐标标正向向相同同为正正，相相反为为负。。下面面讨论论整体体坐标标系下下与局局部坐坐标系系下的的转换换关系系式。。整体体坐标标系单单元杆杆端位位移和和杆端端力仍仍定义义在截截面形形心上上，符符号以以与坐坐标正正向同同向为为正反反之为为负。。局部坐标系系整整体体坐标系4.3.2杆单元的坐坐标变换-平面问题其中是一个个单位正交交矩阵，单单位正交矩矩阵的逆即即等于其转转置。从上图可以以得出，整整体坐标系系逆针旋转转α角后与单元元系相重合合。写成矩阵形形式为由于单元的的势能是一一个标量(能量)，不会因坐坐标系的不不同而改变变，因此，，可将节点点位移的坐坐标变换关关系代入原原来基于局局部坐标系系的势能表表达式中，，整体坐标系系下的刚度度方程根据得其中单刚的性质：是对称矩矩阵。是奇异矩矩阵。坐标变换换并不改改变矩阵阵的奇异异性质。。1结构的离离散化与与编号2各个单元元的矩阵阵描述结构包括括有斜杆杆，所以以必须在在总体坐坐标下对对节点位位移进行行表达，，所推导导的单元元刚度矩矩阵也要要进行变变换3建立整体体刚度方方程1.将所得到到的各个个单元刚刚度矩阵阵按节点点编号进进行组装装，可以以形成整整体刚度度矩阵;2.同时将所有节节点载荷也进进行组装。4边界条件的处处理及刚度方方程求解5各单元应力的的计算6支反力的计算算将节点位移的的结果代入整整体刚度方程程中基于MATLAB平台求解该该（1）结构的的离散化与与编号（2）计算各单单元的刚度度矩阵1.建立一个工工作目录，，将所编制制的用于平平面桁架单单元分析的的四个MATLAB函数（1.单元刚度；；2.总刚矩阵的的组装；3.单元应力的的求解；4.支反力的求求解）2.在MATLAB环境中，输输入弹性模模量E、横截面积积A，各点坐标、角度度3.调用四次单元刚度度矩阵计算函数，，得到各个单元的的刚度矩阵单元的刚度矩阵的的计算functionk=Bar2D2Node_Stiffness(E,A,x1,y1,x2,y2,alpha)%该函数计算单元的的刚度矩阵%输入弹性模量E，横截面积A%输入第一个节点坐坐标（x1,y1），第二个节点坐坐标（x2,y2），角度alpha（单位是度）%输出单元刚度矩阵阵k(4X4)。%-------------------------------------------------L=sqrt((x2-x1)*(x2-x1)+(y2-y1)*(y2-y1));x=alpha*pi/180;C=cos(x);S=sin(x);k=E*A/L*[C*CC*S-C*C-C*S;C*SS*S-C*S-S*S;-C*C-C*SC*CC*S;-C*S-S*SC*SS*S];总刚矩阵的组装functionz=Bar2D2Node_Assembly(KK,k,i,j)%该函数进行单元刚刚度矩阵的组装%输入单元刚度矩阵阵k，单元的节点编号号i、j%输出整体体刚度矩矩阵KK%--------------------------------------------------------DOF(1)=2*i-1;DOF(2)=2*i;DOF(3)=2*j-1;DOF(4)=2*j;forn1=1:4forn2=1:4KK(DOF(n1),DOF(n2))=KK(DOF(n1),DOF(n2))+k(n1,n2);endendz=KK;（3）建立立整体刚刚度方程程（4）边界界条件的的处理及及刚度方方程求解解（高斯斯消去法法）（5）支反力力的计算算（6）各单元元的应力力计算基于MATLAB平台求解解该基于ANSYS求解该1.前处理2.求解器的的设定3.后处理对于单单元2：取i=1，j=2，则，故对于单单元1：取i=3，j=1，则c=1，s=0，故对于单单元3：取i=2，j=3，则c=0，s=1，故整体编编号，，对号号入座座得总总刚杆单元元的坐坐标变变换-空间整体和和局部部的坐坐标转转换关关系与与平面面问题题一致致。4.4梁单元元及其其坐标标变换换由于单单元有有四个个位移移分量量，可可设梁梁单元元的位位移模模式v(x)为包含含4个待定定常数数的三三次多多项式式：根据边边界条条件可可以确确定待待定系系数，，将其其进一一步回回代，，可以以得到到用节节点位位移表表示的的梁单单元位位移。。式中根据梁梁的平平面假假定可可知梁梁单元元的轴轴向应应变为为：这里利利用平平面假假设（（变形后后横截截面仍仍保持持平面面，与与纵线线正交交）如图：：从而可可以由由单向向虎克克定律律得出出单元元的轴轴向应应力：：由虚功功原理理可以以推得得组装总刚仍仍用后处理理法，“对对号入座，，子块搬家家”的方法法。如：对于单元1，我们取i=1，j=2。故对于单元2，取i=2，j=3。故由于I1=2I2=2I，按照“整整体编号，，对号入座””的原则，，得总刚为为对于此，列列出总刚度度方程为考虑到边界界条件，修修正后的刚刚度方程为为解之得4.5平面刚架的的有限元法法小变形情况况下，可以以把平面刚刚架单元看看成是发生生轴向位移的杆单元元和发生挠挠度