单调性奇偶性

单调性奇偶性第一页，共二十八页，2022年，8月28日提问?下面两个图形各呈怎样的变化趋势?曲线在整个定义域呈上升趋势,y值随x的增大而增大y轴右边,曲线为上升趋势,y值随x的增大而增大y轴左边,曲线为下降趋势,y值随x的增大而减小第二页，共二十八页，2022年，8月28日拓展：已知函数f(x)＝x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4］上是减函数，求实数a的取值范围.评析

这是涉及逆向思维的问题，即已知函数的单调性，求字母参数范围，要注意利用数形结合.解：f(x)＝x2+2(a-1)x+2＝［x+(a-1)］２-(a-1)2+2，此二次函数的对称轴是x＝1-a.因为在区间(-∞，1-a］上f(x)是单调递减的，若使f(x)在(-∞，4］上单调递减，对称轴x＝1-a必须在x=4的右侧或与其重合，即1-a≥4，a≤-3.分析

要充分运用函数的单调性是以对称轴为界线这一特征.第三页，共二十八页，2022年，8月28日属于I内某个区间上的任意的两个自变量并说这个函数在这一区间有严格的单调性,一般地,设函数的定义域I,如果对于这一区间叫做函数的单调区间.

则在这个区间是增函数;则在这个区间是减函数.函数的单调性、函数单调性是对某个区间而言的,其定义是一个局部概念定义:

当时，有

当时，有

第四页，共二十八页，2022年，8月28日单调性的判断

给定y=f（x）的图象，根据图象说出y=f（x)在[-2，4]上的图象，试据图象说出y=f（x）的单调区间和它在每一区间上的增减性例11-24解：函数的单调区间[-2，1]，（1，4]在[-2，1]上是减函数在（1，4]上是增函数思考

要了解函数在某一区间是否有单调性，从图象上观察较直观但很粗略，有更精确的方法吗?注：在某一点上函数不具有单调性。第五页，共二十八页，2022年，8月28日例2证明函数是R上的增函数证明:定义运用

利用单调性定义证明函数单调性步骤：

据单调性定义证明函数的单调性第六页，共二十八页，2022年，8月28日奇函数与偶函数的图象性质奇函数图象关于原点成中心对称偶函数图象关于y轴成轴对称xyxy第七页，共二十八页，2022年，8月28日作法在图象上取不同四点a

作相应的对称点

bc连接即为所求图象例4已知函数是偶函数，它在轴左边的图象如下图，画出在y轴左边的图象DABCDABC第八页，共二十八页，2022年，8月28日证明综合考点例5函数的单调性与奇偶性有什么内在联系第九页，共二十八页，2022年，8月28日奇偶函数小结概念增函数偶函数单调函数奇函数减函数函数单调性与奇偶性的判定第十页，共二十八页，2022年，8月28日巩固练习第十一页，共二十八页，2022年，8月28日一、基础知识图表单调性定义判定方法应用定义法复合函数法图象法奇偶性定义判定方法应用定义法变通法图象法图象性质函数性质函数的单调性和奇偶性第十二页，共二十八页，2022年，8月28日二、函数的单调性

1、如果对于属于定义域D内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数.2、如果对于属于定义域D内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.3、如果函数f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么就说f(x)在这一区间具有单调性，这一区间叫做f(x)的单调区间.

函数图像能直观地显示函数的单调性.在单调区间上的增函数，它的图像是沿x轴正方向逐渐上升的；在单调区间上的减函数，它的图像是沿x轴正方向逐渐下降的.第十三页，共二十八页，2022年，8月28日单调性性质规律:若函数f(x)，g(x)在给定的区间上具有单调性，利用增(减)函数的定义容易证得，在这个区间上：(1)函数f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性.(2)C＞0时，函数f(x)与C·f(x)具有相同的单调性；C＜0时，函数

f(x)与C·f(x)具有相反的单调性.(3)若f(x)≠0，则函数f(x)与-f(x)具有相反的单调性.(4)若函数f(x)，g(x)都是增(减)函数，则f(x)+g(x)仍是增(减)函数.(5)若f(x)＞0，g(x)＞0，且f(x)与g(x)都是增(减)函数，则f(x)·g(x)

也是增(减)函数；若f(x)＜0，g(x)＜0，且f(x)与g(x)都是增(减)函数，则f(x)·g(x)是减(增)函数.第十四页，共二十八页，2022年，8月28日复合函数的单调性：已知函数y=f(u)和u=g(x)，u=g(x)在区间（a，b）上具有单调性，当x∈（a，b）时u∈（m，n）且y=f(u)在（m，n）上也具有单调性，则复合函数y=f[g(x)]在区间（a，b）上具有单调性，规律如下：y=f(u)增↑减↓u=g(x)增↑

减↓增↑减↓y=f[g(x)]增↑减↓减↓增↑对于复合函数f[g(x)]：“同号得增，异号得减”第十五页，共二十八页，2022年，8月28日三、函数的奇偶性

1、如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，

那么f(x)叫做奇函数.

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)＝f(x)，

那么f(x)叫做偶函数.

2、奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于y轴对称.第十六页，共二十八页，2022年，8月28日例1

、试讨论y=x-在区间(0,+∞)上的单调性,并证明评析：函数单调性是对某个区间而言的，对于单独一个点没有增减变化，所以对于区间端点只要函数有意义，都可以带上.第十七页，共二十八页，2022年，8月28日注：1、复合函数y=f[g(x)]的单调区间必须是其定义域的子集2、对于复合函数y=f[g(x)]的单调性是由函数y=f(u)及u=g(x)的单调性确定的且规律是“同增，异减”第十八页，共二十八页，2022年，8月28日例3:

已知函数f(x)在R上是增函数，g(x)在[a,b]上是减函数，求证：f[g(x)]在[a,b]上是减函数.任取x1,x2∈[a,b],设x1<x2，∵g(x)在[a,b]上单调递减，∴g(x1)>g(x2),又f(x)在R上递增，而g(x1)∈R，g(x2)∈R，∴f[g(x1)]>f[g(x2)],

∴f[g(x)]在[a,b]上是减函数.证明：第十九页，共二十八页，2022年，8月28日求函数y=18+2(2-x2)-(2-x2)2的单调区间例6：例5：求函数y=f(x)在R上是减函数，求y=f（|1-x|）的单调递增区间。单调递增区间是（-∞，1]单增区间是（-∞，-1]，[0，1）单减区间是（-1，0），[1，+∞）例4：求函数y=的单调区间单减区间是（-∞，-]，单增区间是[2，+∞）第二十页，共二十八页，2022年，8月28日练习

1、函数f(x)在（0，+∞）上是减函数求f(a2-a+1)与f()的大小关系例2：函数f(x)是定义在（0，+∞）上的增函数，满足：f(xy)=f(x)+f(y)，f(8)=3，解不等式f(x)+f(x-2)≥3[4，+∞）注：利用函数的单调性解不等式时，必须考虑条件和定义域f(a2-a+1)≤f()2、函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，+∞)上是增函数，求f(1)的取值范围。3、设f(x)是定义域为[-1，1]上的增函数，解不等式f(x-1)<f(x2-1).f(1)≥25（1，]第二十一页，共二十八页，2022年，8月28日三、函数的奇偶性

1、如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)＝-f(x)，那么f(x)叫做奇函数.如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)＝f(x)，那么f(x)叫做偶函数.2、奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于y轴对称.如例1中的函数的图象关于y轴对称，故其为偶函数。另一方面，由定义f(-x)＝-（-x）2+2｜-x｜+3=-x2+2｜x｜+3=f(x)，故其为偶函数。

3、函数按是否具有奇偶性可分为四类：奇函数，偶函数，既奇且偶函数(既是奇函数又是偶函数)，非奇非偶函数(既不是奇函数也不是偶函数第二十二页，共二十八页，2022年，8月28日例7、判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝(2)f(x)＝(3)f(x)=(x-1).(4)f(x)=注意：由于函数解析式中的绝对值使得所给函数不像具有奇偶性，若不作深入思考，便会作出其非奇非偶的判断.但隐含条件(定义域)被揭示之后，函数的奇偶性就非常明显了.这样看来，解题中先确定函数的定义域不仅可以避免错误，而且有时还可以避开讨论，简化解题过程.评析

用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下：(1)求函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称.(2)计算f(-x)，并与f(x)比较，判断f(-x)＝f(x)或f(-x)＝-f(x)之一是否成立.f(-x)与-f(x)的关系并不明确时，可考查其等价形式f(-x)±f(x)＝0或是否成立，从而判断函数的奇偶性.第二十三页，共二十八页，2022年，8月28日例9：已知函数（1）判断它的奇偶性。（2）求证它是单调递增函数。分析：根据定义讨论(或证明)函数的单调性的一般步骤是：(1)设x1、x2是给定区间内任意两个值，且x1＜x2；(2)作差f(x1)-f(x2)，并将此差式变形；(3)判断f(x1)-f(x2)的正负，从而确定函数的单调性.例10：已知f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2-2x,求f(x)的解析式。第二十四页，共二十八页，2022年，8月28日总结：奇函数和偶函数还具有以下性质：(1)两个奇函数的和(差)仍是奇函数，两个偶函数的和(差)仍是偶函数.(2)奇偶性相同的两个函数的积(商、分母不为零)为偶函数，奇偶性相反的两个函数的积(商、分母不为零)为奇函数.(3)奇函数在其定义域的对称区间上单调性相同，偶函数在其定义域的对称区间上单调性相反。即奇函数在(a,b)上的单调性与在(-b,-a)上的单调性相同，偶函数在(a,b)与(-b,-a)的单调性相反.(4)定义域关于原点对称的函数f(x)可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，即f(x)＝。(5)若f(x)是(-a,a)(a＞0)上的奇函数，则f(0)＝0。第二十五页，共二十八页，2022年，8月28日1．已知定义域为R的函数f(x)在区间（-∞，5）上单调递减，对任意的实数t，都有

f(