2018高考·数学-选修4-5不等式选讲

2018高考·数学-选修4-5不等式选讲第一页，共34页。目录Contents考情精解读考点1考点2考点4考点3A.知识全通关B.题型全突破考法1考法2考法3C.能力大提升专题第二页，共34页。考情精解读第三页，共34页。

考纲解读命题趋势命题规律考情精解读1

高考帮·数学选修4-5不等式选讲考试大纲011.理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式:|a+b|≤|a|+|b|.|a-b|≤|a-c|+|c-b|.2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:|ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-a|+|x-b|≥c.3.了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩第四页，共34页。考纲解读命题规律考情精解读2命题趋势

高考帮·数学选修4-5不等式选讲考点2016全国2015全国2014全国自主命题区域不等式的性质与绝对值不等式【100%】全国Ⅰ,24,10分全国Ⅱ,24(Ⅰ)全国Ⅲ,24,10分全国Ⅰ,24,10分全国Ⅰ,24,10分全国Ⅱ,24,10分2015浙江,14,4分不等式的证明【20%】全国Ⅱ,24(Ⅱ)全国Ⅱ,24,10分第五页，共34页。考纲解读命题规律考情精解读3返回目录1.热点预测绝对值不等式的解法与证明是高考考查热点和重点,题型以解答题为主,往往涉及含有两个绝对值的问题或不等式的证明问题,难度中等,分值10分.2.趋势分析预测2018年,含参不等式的求解、证明及恒成立问题,绝对值不等式的解法,不等式的证明可能会成为命题方向,多与函数和数列综合考查,应引起关注.命题趋势

高考帮·数学选修4-5不等式选讲第六页，共34页。知识全通关第七页，共34页。知识全通关1考点1

不等式的性质继续学习

高考帮·数学选修4-5

不等式选讲1.不等式的基本性质不等式的基本性质,详见《高考帮》P187不等式的性质.2.基本不等式定理1

如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.定理2

(基本不等式)如果a,b>0,那么,当且仅当a=b时,等号成立.即:两个正数的算术平均不小于(大于或等于)它们的几何平均.定理3

如果a,b,c∈R+,那么

，

当且仅当a=b=c时,等号成立.即:三个正数的算术平均不小于它们的几何平均.推广

对于n个正数a1,a2,…,an,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即当且仅当a1=a2=…=an时,等号成立.第八页，共34页。知识全通关2高考帮·数学选修4-5

不等式选讲继续学习1.绝对值三角不等式定理1

如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.定理2

如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.考点2绝对值不等式第九页，共34页。知识全通关3高考帮数学选修4-5

不等式选讲继续学习选修4-4

坐标系与参数方程数学选修4-4

坐标与参数方程|a+b|与|a|-|b|,|a-b|与|a|-|b|,|a|+|b|之间的关系(1)|a+b|≥|a|-|b|,当且仅当a>-b>0时,等号成立.(2)|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|,当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时,左边等号成立,当且仅当ab≤0时,右边等号成立【辨析比较】第十页，共34页。知识全通关4

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不等式选讲继续学习2.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集:(2)|ax+b|≤c和|ax+b|≥c型不等式的解法:①若c>0,则|ax+b|≤c等价于-c≤ax+b≤c,|ax+b|≥c等价于ax+b≥c或ax+b≤-c,然后根据a,b的值解出即可.②若c<0,则|ax+b|≤c的解集为∅,|ax+b|≥c的解集为R.不等式a>0a=0a<0|x|<a{-a<x<a}⌀⌀|x|>a{x|x>a或x<-a}{x|x≠0且x∈R}R【说明】这种解绝对值不等式的方法只需将“ax+b”看成一个整体,即可化成|x|≤c,|x|≥c型的不等式求解.注意变形过程中,应当保证是“同解”变形.第十一页，共34页。知识全通关5

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不等式选讲继续学习(3)|x-a|+|x-b|≥c(或≤c)(c>0),|x-a|-|x-b|≤c(或≥c)(c>0)型不等式的解法:①零点分区间法零点分区间法的一般步骤为:(i)令每个绝对值符号内的代数式为零,并求出相应的根;(ii)将这些根按从小到大排序,并把实数集分成若干个区间;(iii)由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式,解这些不等式,求出解集;(iv)取各个不等式解集的并集即可得到原不等式的解集.【注意】分区间讨论时,一是不要把分成的区间的端点遗漏,二是原不等式的解集是若干个不等式解集的并集,而不是交集.第十二页，共34页。知识全通关6

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不等式选讲继续学习②几何法:利用|x-a|的几何意义由于|x-a|+|x-b|与|x-a|-|x-b|分别表示数轴上与x对应的点到与a,b对应的点的距离之和与距离之差,因此对形如|x-a|+|x-b|≤c(c>0)或|x-a|-|x-b|≥c(c>0)的不等式,利用绝对值的几何意义求解更直观.③数形结合法通过构造函数,利用函数的图象求解,体现函数与方程的思想,正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考查函数的单调性)是解题的关键.【说明】构造函数时,应准确分类讨论并写出正确的分段函数,画出相应的图象是解题的关键.(4)|f(x)|>g(x),|f(x)|<g(x)(g(x)>0)型不等式的解法①|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x).②|f(x)|<g(x)⇔-g(x)<f(x)<g(x).第十三页，共34页。知识全通关7

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不等式选讲继续学习1.比较法(1)作差法:要证明a>b,只需证a-b>0.(2)作商法:要证明a>b,b>0,只要证>1.2.综合法从已知条件、不等式的性质和基本不等式等出发,通过逻辑推理,推导出所要证明的结论.3.分析法从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫分析法.考点3证明不等式的基本方法第十四页，共34页。知识全通关8高考帮·数学选修4-5

不等式选讲继续学习4.反证法先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,这种证明方法叫反证法.5.放缩法

证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小,简化不等式,从而达到证明的目的.这种证明方法叫放缩法.第十五页，共34页。题型全突破第十六页，共34页。考法1绝对值不等式的解法继续学习

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不等式选讲题型全突破1考法指导

解绝对值不等式的常用方法(1)基本性质法:对a∈R+,|x|<a⇔-a<x<a,|x|>a⇔x<-a或x>a.

(2)平方法:两边平方去掉绝对值符号.(3)零点分区间法(或叫定义法):含有两个或两个以上绝对值符号的不等式,可用零点分区间法脱去绝对值符号,将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解.(4)几何法:利用绝对值的几何意义,画出数轴,将绝对值问题转化为数轴上两点的距离问题求解.(5)数形结合法:在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象,利用函数图象求解.第十七页，共34页。

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不等式选讲继续学习题型全突破2考法示例1

(1)若关于x的不等式|ax-2|<3的解集为{x|-5/3<x<1/3}1,则a=

.

(2)不等式|x+3|-|2x-1|<x/2+1的解集为

.

第十八页，共34页。

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不等式选讲继续学习题型全突破3

第十九页，共34页。

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不等式选讲继续学习题型全突破4【突破攻略】在分类讨论含多个绝对值的不等式时,分类应做到不重不漏;在某个区间上解出不等式后,不要忘了与前提条件求交集.第二十页，共34页。

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不等式选讲考法2含绝对值不等式的恒成立问题继续学习题型全突破5考法指导

含绝对值不等式的恒成立问题的常见类型及其解法(1)分离参数法运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a,f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立中的参数范围问题.求最值的思路:①利用基本不等式和不等式的相关性质解决;②将函数解析式用分段函数形式表示,作出函数图象,求得最值;③利用性质“||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|”求最值.(2)更换主元法不少含参不等式恒成立问题,若直接从主元入手非常困难或不可能解决时,可转换思维角度,将主元与参数互换,常可得到简捷的解法.(3)数形结合法在研究曲线交点的恒成立问题时,若能数形结合,揭示问题所蕴含的几何背景,发挥形象思维与抽象思维各自的优势,可直观解决问题.【注意】不等式的解集为R是指不等式恒成立问题,而不等式的解集为∅的对立面也是不等式恒成立问题,如f(x)>m的解集为∅,则f(x)≤m恒成立.第二十一页，共34页。

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不等式选讲继续学习题型全突破6考法示例2

设函数f(x)=x+|x-a|.(1)当a=2018时,求函数f(x)的值域;(2)若g(x)=|x+1|,求不等式g(x)-2>x-f(x)恒成立时a的取值范围.思路分析

(1)把a的值代入已知函数式f(x)→去掉绝对值符号→求得结论(2)转化已知不等式→根据不等式恒成立的条件,构造关于a的不等式→解不等式,得出a的取值范围第二十二页，共34页。

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不等式选讲继续学习题型全突破7解析

点评

解决含参数绝对值不等式问题的关键是根据条件确定参数所满足的条件,基本思路就是先去掉绝对值符号,然后将其转化为一次方程求解.第二十三页，共34页。

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不等式选讲考法3不等式的证明继续学习题型全突破8考法指导

证明不等式的常用方法有比较法、综合法、分析法.如果已知条件与待证结论直接联系不明显,可考虑用分析法;如果待证命题是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的,则考虑用反证法.在必要的情况下,可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明,用换元法证明不等式时,要注意新元的取值范围.证明不等式常用的思路:利用基本不等式、绝对值三角不等式、绝对值的含义将问题转化为函数问题求解.第二十四页，共34页。高考帮·数学选修4-5

不等式选讲继续学习题型全突破9第二十五页，共34页。高考帮·数学选修4-5

不等式选讲继续学习题型全突破11考法示例4

设a,b,c为△ABC的三边,求证:a2+b2+c2<2(ab+bc+ca).思路分析

要证此不等式→可以把不等式两边作差化简整理→然后利用三角形三边关系比较大小→从而得证第二十六页，共34页。

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不等式选讲继续学习题型全突破12

解析

a2+b2+c2-2(ab+bc+ca)=(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2-a2-b2-c2=[(a-b)2-c2]+[(b-c)2-a2]+[(c-a)2-b2].而在△ABC中,|b-a|<c,所以(a-b)2<c2,即(a-b)2-c2<0.同理(a-c)2-b2<0,(b-c)2-a2<0,所以a2+b2+c2-2(ab+bc+ca)<0.故a2+b2+c2<2(ab+bc+ca).第二十七页，共34页。返回目录

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不等式选讲题型全突破13【温馨提示】

比较法证明不等式最常用的是差值比较法,其基本步骤是:作差—变形—判断差的符号—下结论.其中“变形”是证明的关键,一般通过因式分解或配方将差式变形为几个因式的积或配成几个代数式平方和的形式,当差式是二次三项式时,有时也可用判别式来判断差值的符号.第二十八页，共34页。能力大提升第二十九页，共34页。继续学习高考帮·数学