第2章 一维势场中的粒子习题解答_第1页
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文档简介

创作时间:贰零贰壹年柒月贰叁拾日创作时间:贰零贰壹年柒月贰叁拾日创作时间:贰零贰壹年柒月贰叁拾日创作时间:贰零贰壹年柒月贰叁拾日第2章 一维势场中的粒子之马矢奏春创作创作时间:贰零贰壹年柒月贰叁拾日创作时间:贰零贰壹年柒月贰叁拾日习题2.1在三维情况下证明定理1-2。证明:实际上,只要在教材上对一维情形的证明中将一维x即可。习题2.2方程

d2dx2

k2

的一般解亦可写为如下形式:(x)AeikxBeikx 或 (x)Asin(kx)试分别用这两个一般解求解一维无限深势阱。解:方法1:令势阱内一般解为(x)AeikxBeikx,代入鸿沟条件(0)0,(a)0,有AB0,AeikaBeika0解得: AB,sinka0,k

n,(n1,2,3)a(x)2AisinnxAsin

x,(0xa)a a2a(x)

(xxa)sinnx,(0xa)a且有:EEn

n222,n1,2,3,2a2方法2:令势阱内一般解为(x)Asin(kx),代入鸿沟条件(0)0,(a)0,有,k

n,(n1,2,3)a所以:(x)Asinnx,(0xa)a2a(x)

(xxa)sinnx,(0xa)a且有:EEn

n222,n1,2,3,2a2,|xa/2.3μV(x),|xa/

中运动,求定态V(x)-a/2V(x)-a/2a/2x的不同仅在于坐标原点的选择,将教材中)中的坐标x换为x+a/2即得到本问题的解为:EEn

n2222a2

,n=1,2,3……由定理2可知,本问题中的波函数应该具有确定的宇称。讨论如下当 n=2k 为 偶 数 时 ,2a2a 2k a 2a2ak (x)k

sin

a (x

)(1)k 2

a ,a/2xa/2x2 xa/xa/2.奇函数,此时波函数为奇宇称;当 n=2k+1 为 奇 数 时 ,2a2a (2ka (2k2a2a (x)

sin

a (x

)(1)k cos2

a ,a/2xa/2.为2k1

0,xa/2,xa/2.关于x的偶函数,此时波函数为偶宇称;方法2:本题也可在不预先考虑宇称的情况下直接求解,过程如下:1.写出分区的定态Schrödinger方程HE由前面提到的,当V→∞时,ψ=00故阱外波函数为零,即ψ=0, ||a/2kSchdinge方程为由此得阱内的通解为(x)AeikxBeikx式中A、B为待定常数。、由波函数尺度条件确定参

2E2既然阱外的波函数(x)=,由波函数的连续性条件可得2)=即Aeika/2Beika/20Aeika/2Beika/20

n n=1,2,,…a(x)Aeinx/aAei(nx/an)Aein/2(ei(nx/an/2)ei(nx/an/2))∴ n a2iAein/2sin(nx/an/2)Asin (x )a 2归一化,可得到方法3:本题也可在预先考虑宇称的情况下直接求解,过程如下:方程HE由前面提到的,当V→∞时,ψ=00故阱外波函数为零,即ψ=0, ||a/2kSchdinge方程为:ψ(x)+=0

2E2由此得阱内的通解为:(x)=Asinkx+Bcoskx, 式中B为待定常数。、由波函数尺度条件确定参既然阱外的波函数(x)=,由波函数的连续性条件可得2)=即(aAsin(ka/2Bcos(ka/20(a)Asin(ka/2)Bcos(ka/2)0A0

B0或或cos(ka/2)0 sin(ka/2)0k

n n=1,2,,…an为奇数;对于第二组解n为偶数。考虑到势函数关于坐标原点对称,波函数必有确定的宇称,由此可得到偶宇称或奇宇称波函数为:或上边两组解可合并为一个式子,即归一化,可得到习题2.4二维无限深方势阱问题设质量为μ的粒子在势场x中运动,求束缚态解。x解:由前面的知识可以知道当粒子处V(x,y)数为零,即1

),(0,a))2粒子在(x,y)∈((0,a),(0,a))内的Schrödinger方程HE

(

1 2)E2 2

y2利用变量分离法,可以将粒子在二维方势阱内的运动化为二个一维运动。即令ψ(x,y)=X(x)Y(y)将ψ代)入上式的方程中,得XY2E0X Y 2令k2k22E1 2 2则SchdingeX

2X0,x(0,a)1 1YkXAsin(k1x)

2Y0,y(0,a)2 2

sin(k2

1y)2由此可设波函数为:ψ(x,y)((0,a

),(0,

1 1 2 21 2由鸿沟条件:ψ(x,0)=ψ(0,y)=ψ(a1

,y)=2中,得Asin

sin(k

y

)0

sin 0

0 0 1 2 2

0

10Asin(k10 11

)sin 1 2

sin2 21 2 1 2由鸿沟条件(a,y)=(x,)=0得1 2则得到ka=n, a=nπ(,n=1,2,…)11 1 22 2 1 2即 n, nk 11 a1

k 22 a2∴ 2 n2 n2E (1 2),n,

1,2,32 a2 a2 1 21 2

n nAsin 1a1

xsin 2 ya2由波函数的归一化条件得到a a

n n4aa1 2aa1 2得A 4aa1 2aa1 2

1 2|A|2sin2 10 0 a1

xsin 2 ydxdy1a2所以,二维无限深方势阱的波函数为: 2 n n

,,n=1,2,……n,n12

(x,y)

sin 1aa a1 2

xsin 2 ya 1 22能级为:

2 n2 n2E (1

2),n,

1,2,3n,n12

2 a2 a2 1 21 2习题2.5三维无限深方势阱问题 z设质量为μ的粒子在势场 3中运动,求束缚态解。a解:由前面的知识可以知道粒子在盒型势阱以外的波函数为a2

y1 2 3在盒型势阱内的定态Schrödinger方程HE

(

)E2 2

y2

z2利用变量分离法,可以将粒子在三维方势阱的运动化为三个一维运动。不成穿透的壁就是无限深的势阱。令(x,y,z)=X(x)Y(y)ZzSchdinge方程中,得令k2k2k22E1 2 3 2Xk2Xx(0,a) 1 1则k2Yy0a) 2 233Zk2Z,z(,a)33∴阱内的波函数可设为:(x,y,z)=Asinδ)sin(yδ)sin(z+1 1 2 2 3δ)3(x,y,z) ∈((0,a),(0,a),(0,a))1 2 3将鸿沟条件:(0,y,z)(x,0,z)(x,y,0)=代入波函数中,得sin 0 01 ,故可取10 0sin20 2033 33∴此时波函数可写为:(x,z)=Asinxsinysinz (x,y,z∈

1 2 31 2 3由鸿沟条件,(a,y,z)(x,,z)=(x,y,)=01 2 3代入波函数中,得:sinka 0 ka n11∴ 11 111

(,n,n=1,2,…)sinka 2

0 ka n2 2

1 2 3sinka 0 ka n3 3∴ n n

3 3 n

(,n,n=1,2,…)k 11 a1

, k 2 , k2 a 32

3 a3

1 2 3所以:

2 n2 n2 n2E (1 2 3)n,n,n

2 a2 a a123

1 2 3由归一化条件|v8aaa1 2 3得出,8aaa1 2 3

n,n,n123

|2dxdydz1即,三维无限深势阱的波函数为:8aaa1 2 3n n n8aaa1 2 3 (x,y,z)

sin 1 xsin 2 ysin 3 zn,n,n123n,n,n=1,2,……

a a a1 2 31 2 3能级:

2 n2 n2 n2E (1

2

),n,n,

1,2,3n,nn123

2 a2 a a1 2

1 2 3习题2.* 一维高低分歧错误称方势阱问题的粒子在势场中运动,求束缚态情形0<E<<V)1 2态方程的解。方程HE 2d2VE,x0 dx2 1

d2

E,0xa dx22d2V

E,xa dx令

2(1)2(V

2E22E22(V22

k 11 2

,k k 2 3则分区的定态Schrödinger方程为: (x)k2(x)0,x0 12(x)k2(x)0,0xa2 (x)k2(x)0,xa1(3)考虑| 0,可将设各分区域的通解为:xI:II:III:(x)Aek1x,xI:II:III: 1(x)Beik2x 2

Ceik2xxa3(x)Dek3x,xa3(4)式中D由波函数的连续性条件可得到:ABCAk Bik Cik 1 2 2

Beik2aCeik2aDek3aBikeik2aCikeik2aDkek3a2 2 3若要Dkkk1 2 3(kk13

k2)sin(k2 2

(kk12

kk2

)cos(ka)2此

外 有 :2V

k2k21 2

2V12

k2k2 22 3 2粒子的能级由上述方程确定。先确定粒子的能级令xkaykazka可将上述方程组写为:1 2 3粒子的能级可由上述三个方程联立解出。2V122V2V122V22)的势阱 中 运 动 , V122V21

= 100eV 则。

6.6261034

29.110311001.610190.8142V122V12

作图,有:22V222可见,两条曲线有一个交点,即粒子有一个能级,借助于,y)=()

件,容易求得交点坐标为:1 1即此时粒子的能级为:类似地,可以求出其它情形。由方程组代入有:

||2dx1,可求得:3.下面讨论各区间的概率密度:B2-y21将B2-y211 1 1 2 3|A,有其概率分布情形如图:图3势阱中粒子的概率分布可以看出,电子到达经典禁区的概率相当大。习题2.*一维单壁无限高势阱问题V(x)V2V10aV(x)V2V10ax中运动,求束缚态情形(V<E<)定0态方程的解。解:写出分区的定态Schrödinger方程HE2(V2(V202(E)2k ,k 1 2则各分区域的通解为式中C解得:kctgkak1 1 21

k22

2V02粒子的能级由上述方程确定。先确定粒子的能级令kaka1 2分别取

2V0

作图,有:2图22

22。0 ,a2V2 2 0 下面以

2V0

2为例,求解相应的束缚态能级。2如图图3借助于a1.89540.63805即此时粒子能级为:类似地,可以求出其它情形。

||2dx1,可求得:所以,一维分歧错误称有限深势阱的波函数为:3.下面讨论各区间的概率密度:0为了具体看看各区间的概率分布情况,20

=2的束缚态为例,k1

k0.638052

2取其概率分布情形如图:图4可以看出,电子到达经典禁区的概率相当大。计算标明电子到达x>1区域的概率为54.8%。习题2.8求基态线性谐振子在经典界限外被发现的概率。解:基态能量为E0

12设基态的经典界限的位置a,则有∴a 1在界限外发现振子的概率为2式中2

2 2

为正态分布函数

1 x 2et/2dt

(x)

et/2dt2当x 时的( 2)。查表( 2)92,2所以W(|xa) [

0.92] 0.92)0.16即在经典极限外发现振子的概率(积分2

ey2dy1

Mathematica类的数学软件求得,结果为2 ey2d0.157299)1习题2.9求一维谐振子处在第一激发态时概率最大的位置。1令d

(x)(x)

12 222xe22 22,得: 11 0dx

x0

x x由(x)x0x1

(x)0。显然x0x1不是最大概率的位置。可见x1或:

2

是所求概率最大的位置。#()N1 1

)2Ne21d令 10,dd

e2

2

)00,又由d2 21d2dd21d2

2(2N10

)2e(1324)d21d21d20 11

1(或1

|x0,

1

0,因而1

|x1

处必为极大值)试证明

12x2

是线性谐振子的波函数,并(x) e3

3x3x)求此波函数对应的能量。证明:线性谐振子的Schrödinger方程为2d2 1 ①2dx(x)

2x(x)E(x)2把(x)代入上式,有d2dx2

(x)代入①式左边,得d3dx可见(xd3dx

x22

3x3

,是线性谐振子的波函数,7。2带电qE求谐振子的能级和波函数。解: 1 1

q2E2V(x) 2x2qEx 2(x )22 2 2 22

2d2 qE[E (x )2

q2E2]02dx2

2 2

22 (x

)(x

qE

), 2令

2 2(E

q2E2)22方程可改写为

d2d2

(2)0结果为:n

(x)N

e2n

(xqE)22

Hn

(x

qE)]2

(x)V(x)1

中运动,利用谐振22x2(x)子的已知结果求出粒子的能级和波函数。(0)0,故nn=2k+1n波函数:

2k1

2k1

2e2x2H

2k1

(x)能级为

2k1

(2k

3),k230V(x)VV(x)V00 axV,并将结果与①的结果进行比较。0解:①直接求解:依照教材书上传统的方法讨论E=V0时粒子对势垒的透射率。在各区间波函数满足的定态Schrödinger方程为:2d 2 dx2

E1

0) (1)22d22 dx2

V0

E2

x

) (2)2d 2 dx2

E3

a) (3)令k1

,k 22E2

,而且当E=V2(2(EV)02k

0,于是上面三个方程变成:

d1dx2

k1

0 0) d2dx2

0 (0xa) d3dx2

k1 1 1

0 a) 在x0 区域内,方程的解为:1(7)

AeikxA'eikx在0xa 区域内,方程的解为:21 1

BxB'在xa 区域内,方程的解为:3(9)

CeikxC'eikx(r,t(r)eiEt1 2 3

再分别乘上一个含e时间因子iEt,就得到向左或向右传播的平面波。由此很容易看出式exa区域以在式。x=0点和中其他的参数。当

x0

时 , 由

1 2

得 : AA'B'当 x0

时 , 由

d d1 2

得 :

A

A'Bdx dx 1 1(11)当 xa(12)当 xa

时 , 由时 , 由

2 3d d2 3

得 : BaB'Ceia得 : BikCeiadx dx 1(13)(10)(13)

C 1

eika

1 ia2E1ia 1ia 2E2 21A 1iak12 1(14)故投射系数D为:CA11CA11iak2 11D eika1 1 1

22

2211a2k24 1(15)

12

Ea22

222 22a20②从E>V或E<V时的透射系数公式导出0 0E>V的情况下的透射系数为:0CAJ 2 4k2kCA

(16)D D 1 2JI (k2k2)2sin2

4k2k21 22E22E21

2 1 22(E2(EV)0220当k 0即E=V时的分子分母都趋近。k02

0时,取D的极限值,就可以得到式1)的结果:limDlim

4k2k21 2

lim

4k2k21 2k02

k0(k2 1

k2)2sin2(k

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