2023届二轮复习 专题6 直线与圆选择填空压轴小题专项训练 作业

专题6直线与圆选择填空压轴小题专项训练一、单选题1．已知点．若曲线上存在，两点，使为正三角形，则称为型曲线．给定下列三条曲线：①；②；③．其中型曲线的个数是A．0 B．1C． D．32．已知抛物线的焦点为，过点倾斜角为的直线交抛物线于两点，若在以线段为直径的圆的外部，则的取值范围为A． B． C． D．3．AB为⊙C：(x－2)2＋(y－4)2＝25的一条弦，，若点P为⊙C上一动点，则的取值范围是（

）A．[0，100] B．[－12，48] C．[－9，64] D．[－8，72]4．已知中心在原点的椭圆C的左焦点恰好为圆F：的圆心，有两顶点恰好是圆F与y轴的交点．若椭圆C上恰好存在两点关于直线y=x+t对称，则实数t的取值范围为（）A． B． C． D．5．在平面直角坐标系中，定义为两点AB的“切比雪夫距离”，又设点P及上任意一点Q,称的最小值为点P到直线的“切比雪夫距离”，记作,给出下列三个命题：①对任意三点A、B、C，都有②已知点P(2,1)和直线,则③定点动点P满足则点P的轨迹与直线(为常数)有且仅有2个公共点.其中真命题的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．36．如果圆上总存在点到原点的距离为，则实数的取值范围为A． B． C． D．7．已知双曲线：的两条渐近线是，，点是双曲线上一点，若点到渐近线距离是3，则点到渐近线距离是A． B．1 C． D．38．如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点、（在的上方），且，过点任作一条直线与圆相交于、两点，的值为（

）A．2 B．3 C． D．9．过点作抛物线的两条切线，，设，与轴分别交于点，，则的外接圆方程为（

）A． B．C． D．10．设集合，，若，则实数的取值范围是A． B．C． D．二、填空题11．已知点为的重心，且，则的值为________.12．若实数：满足，，则的最大值为_____________13．已知直线与圆交于两点，且，则的最大值为___________.14．若定义域均为D的三个函数f（x），g（x），h（x）满足条件：对任意x∈D，点（x，g（x）与点（x，h（x）都关于点（x，f（x）对称，则称h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”．已知g（x）=，f（x）=2x+b，h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”，且h（x）≥g（x）恒成立，则实数b的取值范围是_____．15．已知是平面内两个互相垂直的单位向量，且此平面内另一向量在满足，均能使成立，则的最小值是_________.16．曲线上存在唯一的点到A（t，-t+m）、B（-t，t+m）（t≠0，t为常数）两点的距离相等，则实数m的取值范围是_________．17．设a，b是两个实数，，直线和圆交于两点A，B，若对于任意的，均存在正数m，使得的面积均不小于，则的最大值为__________．18．已知平面向量，，满足，，则对任意的，的最小值记为M，则M的最大值为________.19．已知点在曲线上，则的取值范围是______．20．在平面直角坐标系xOy中，若与点A（2，2）的距离为1且与点B（m，0）的距离为3的直线恰有两条，则实数m的取值范围为______．答案：1．B【解析】【详解】对于①，A（-1，1）到直线y=-x+3的距离为，若直线上存在两点B，C，使△ABC为正三角形，则|AB|=|AC|=，以A为圆心，以为半径的圆的方程为（x+1）2+（y-1）2=6，联立解得，或，后者小于0，所以对应的点不在曲线上，所以①不是．对于②，化为，图形是第二象限内的四分之一圆弧，此时连接A点与圆弧和两坐标轴交点构成的三角形顶角最小为135°，所以②不是．对于③，根据对称性，若上存在两点B、C使ABC构成正三角形，则两点连线的斜率为1，设BC所在直线方程为x-y+m=0，由题意知A到直线距离为直线被所截弦长的倍，列方程解得m=-，所以曲线③是T型线．2．A【解析】【详解】设直线方程为，由得：，所以，，设，则，点，因为点在以为直径的圆外，所以，即，，，，所以，解得或，又，综上有．故选A．点睛：在直线与圆锥曲线相交问题中，一定要注意相交的条件，把直线方程与圆锥曲线方程联立后消去一个未知数得中一未知数的二次方程时，一定要注意用判别式＞0来求得参数的取值范围，下面与此参数有关的问题一定要在此范围内求解，否则易出错．如本题不考虑此范围，会得出错误结论．3．D【解析】【分析】取AB中点为Q,利用数量积的运算性质可得，再利用圆的性质可得取值范围，即求.【详解】取AB中点为Q，连接PQ，，又，，∵点P为⊙C上一动点，∴的取值范围[－8，72].故选：D.4．B【解析】【分析】求得圆的圆心，可得椭圆的，求得圆与轴的交点，可得，进而得到，可得椭圆方程，设出椭圆上关于直线对称的两点连线的方程为，设两点的坐标为，，，，联立椭圆方程，运用判别式大于0，以及韦达定理和中点坐标公式，可得中点坐标代入已知直线，可得，的关系，进而得到所求范围．【详解】的圆心为，可得椭圆的，圆与轴的交点为，可得椭圆的，可得，即有椭圆方程为，设椭圆上关于直线对称的两点连线的方程为，设两点的坐标为，，，由，得，△，，，设．的中点，，则，，中点在上，，即，得．故选．【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．5．C【解析】【分析】①讨论三点共线和不共线，结合图象与新定义即可判断；②设点直线一点，且，可得，讨论即可得出即可判断；③讨论点在坐标轴和各个象限的情况，求得轨迹方程，即可判断．【详解】解：①对任意三点、、，若它们共线，设，、，、，，如图，结合三角形的相似可得,,分别为,,或,,，则；若,或,对调，可得；若它们不共线，且三角形中为锐角或钝角，如图，由矩形或矩形，；则对任意的三点，，，都有；故①正确；②设点直线一点，且，可得，由，解得，即有，当时，取得最小值；由，解得或，即有，的范围是，无最值，综上可得，，两点的“切比雪夫距离”的最小值为，故②错误；③定点、，动点满足，可得不轴上，在线段间成立，可得，解得，由对称性可得也成立，即有两点满足条件；若在第一象限内，满足即为，为射线，由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线，则点的轨迹与直线为常数）有且仅有2个公共点，故③正确；真命题的个数是2，故选：C．【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查数形结合思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．6．B【解析】【分析】将圆上的点到原点的距离转化为圆心到原点的距离加减半径得到答案.【详解】，圆心为半径为1圆心到原点的距离为：如果圆上总存在点到原点的距离为即圆心到原点的距离即故答案选B【点睛】本题考查了圆上的点到原点的距离，转化为圆心到原点的距离加减半径是解题的关键.7．A【解析】【详解】双曲线的两条渐近线方程分别为，设为双曲线C上一点，则，即，点M到两条渐近线距离之积为为常数，所以当点M到渐近线距离是3，则点到渐近线距离是，选A.点睛：本题主要考查双曲线的简单几何性质，涉及的知识点有点到直线距离公式、双曲线上的点到两条渐近线的距离之积为定值等，属于中档题．8．C【解析】【分析】本题首先可以取的中点并连接、，根据点以及求出圆的标准方程为，然后求出、两点坐标，再然后设点，通过两点间距离公式求出，最后通过相同的方式得出，即可求出的值.【详解】因为圆与轴相切于点，所以圆心的横坐标为，如图，取的中点，连接、，因为，点是弦的中点，所以，，则，，圆的半径，故，圆的标准方程为，联立，解得，，，设点，则，，同理可得，故，故选：C.【点睛】本题考查线段长度比的计算，考查圆的方程的求法以及圆的方程的应用，考查两点间距离公式，考查化归与转化思想，考查计算能力，是难题.9．A【解析】设切线方程为：，与抛物线联立，表示线段的中垂线方程，可求解圆心坐标和半径，表示圆的方程即可.【详解】设过点的抛物线的切线方程为：，即（*），代入得，由得，（1）所以方程（1）有两个不相等的实数根，，且，，在（*）中令得，，设的外接圆圆心为点，则，下求：线段中点横标，纵标，线段的中垂线方程为，令得，由（1）知，故，设的外接圆半径为，则，所以的外接圆方程为，即.故选：A【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，圆的方程，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.10．A【解析】【详解】解：集合A表示以(3,4)为圆心,半径为的圆，集合B表示以(3,4)为圆心,半径为的圆，集合C在λ>0时,表示以(3,4)为中心，四条边的斜率为±2的菱形，如图所示，若(A∪B)∩C≠∅，则菱形与A或B圆有交点，当时，菱形在小圆的内部，与两圆均无交点，不满足题意；当时，菱形在圆环的内部，与两圆均无交点，不满足题意；当菱形与小圆相切时,，当菱形与大圆相切时,，综上可得：实数λ的取值范围是

.本题选择A选项.点睛：解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算．“以形助数”是已知两图象交点问题求参数范围常用到的方法，解决此类问题的关键在于准确作出不含参数的函数的图象，并标清一些关键点，对于含参数的函数图象要注意结合条件去作出符合题意的图形．11．5【解析】【分析】由题意建立平面直角坐标系，然后结合重心的性质和正弦定理即可求得的值.【详解】以点G为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设，由重心的性质可得：，故直线AN的方程为：，直线BM的方程为：，联立直线AN与直线BM的方程可得点C的坐标为.结合两点之间距离公式可得：，，，利用正弦定理可知：.故答案为：5．【点睛】本题主要考查正弦定理及其应用，直线方程的应用，直线交点坐标的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．【解析】【分析】根据条件结构特征，转化为单位圆上两点到定直线距离和的关系，再根据圆的几何性质求最值.【详解】因为，，所以在单位圆上，且因为，所以，因为,其中为AB中点.又因为,所以,即的最大值为【点睛】本题考查向量数列积、点到直线距离公式、以及圆的性质，考查综合分析转化求解能力，属难题.13．##【解析】【分析】的几何意义为点到直线的距离之和，根据梯形中位线知其最大值是的中点到直线的距离的2倍.求出M的轨迹即可求得该最大值.【详解】的几何意义为点到直线的距离之和，其最大值是的中点到直线的距离的2倍.由题可知，为等边三角形，则，∴AB中点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，故点到直线的最大距离为，∴的最大值为，∴的最大值为＝.故答案为：.14．【解析】【分析】根据对称函数的定义，结合h（x）≥g（x）恒成立，转化为点到直线的距离d≥1，利用点到直线的距离公式进行求解即可【详解】∵x∈D，点（x，g（x））与点（x，h（x））都关于点（x，f（x））对称，∴g（x）+h（x）=2f（x），∵h（x）≥g（x）恒成立，∴2f（x）=g（x）+h（x）≥g（x）+g（x）=2g（x），即f（x）≥g（x）恒成立，作出g（x）和f（x）的图象，则g（x）在直线f（x）的下方或重合，则直线f（x）的截距b＞0，且原点到直线y=2x+b的距离d≥1，d=⇒b≥或（舍去）即实数b的取值范围是[，+∞），故答案为.【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，根据对称函数的定义转化为点到直线的距离关系，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．15．【解析】【分析】根据题意，，利用，求得的关系，利用圆的几何性质，再求出的最大值，从而求出的最小值.【详解】因为是平面内两个互相垂直的单位向量，所以可设，，，又，，即，它表示的圆心在，半径为的圆，表示圆上的点到的距离，圆心到点的距离为，的最大值为，要使恒成立，即的最小值是，故答案为.【点睛】本题主要考查向量模的几何意义、轨迹方程的应用以及圆的几何意义，考查了转化思想的应用，属于难题.转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将不等式恒成立问题转化为圆上动点到定点距离的最值问题是解题的关键.16．【解析】【详解】曲线上存在唯一的点到A（t，-t+m）、B（-t，t+m）（t≠0，t为常数）两点的距离相等，即线段AB的中垂线与曲线有唯一的公共点.线段AB的中垂线为：曲线表示的曲线为圆心在原点，半径是1的圆在y轴以及y轴右方的部分．在同一坐标系中，再作出斜率是1的直线，在直线平移的过程中可发现，直线过时有一个交点，此时m=1；直线过(0,−1)时先与半圆形有2个交点，此时m=−1再与圆有两个交点，最后相切，此时故答案为点睛：本题考查了直线与半圆的交点个数问题，处理手段是数形结合，通过平行移动直线，直观的看到二者的交点情况，然后通过代数手段确定相切时的m的取值即可.17．【解析】【分析】设O到直线l的距离为d，利用三角形的面积均不小于列不等式，由此求得的取值范围，再利用点到直线的距离公式转化为关于的不等式.根据的取值范围，求得的取值范围，由此求得关于的不等式，结合导数求得的最大值.【详解】设O到直线l的距离为d，则，解得，即，所以，因为，时，，，所以，因为存在满足条件，所以，化简得，且，由得，所以，因为，解不等式无解，所以在上单调递减，所以．故的最大值为．故答案为：【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查利用导数求最值，属于难题.18．【解析】【分析】由题意设，，，，化为，它表示圆；由表示该圆上的点到点的距离