2022年必考点解析北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系重点解析练习题（含详解）

九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系重点解析

考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新

的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图所示，某村准备在坡角为a的山坡上栽树，要求相邻两棵树之间的水平距离为4（m）,那么

这两棵树在坡面上的距离4?为（）

m

A.incesa(m)B.------(m)C.msina(m)D.—(m)

cosasina

2、如图，中，AB=AC=2,N5=30°,比1绕点4逆时针旋转a（0<a<120°）得到

&ABC,RC胃BC、47分别交于点〃、点6,设。%/=小的面积为％则y与*的函数图

象大致为（）

B

B'

3、比较下图长方形内阴影部分面积的大小，R3()乙

A.>B.<C.=D.无法确定

4、如图，在中，Z6^90°,N力於30°,〃是然的中点，则tanN〃比'的值是()

BC

A.6B.26C.BD.B

26

5、已知eA48C中，ZC=90°,AC=2,BC=\,则cosB的值为()

B

4

6、在中，Z<7=90°,sinJ=y,则cos/的值等于（）

7、如图，的顶点在正方形网格的格点上，则cos/4"的值为（）

C.当。・噜

8、如图所示，九（二）班的同学准备在坡角为。的河堤上栽树，要求相邻两棵树之间的水平距离为

8m,那么这两棵树在坡面上的距离为（）

8

A.8cosamB.----mC.8sinamD.2m

cosasina

9、三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则tan。的值是（）

n------T--------r

X_____L

10、在正方形网格中，△?!回的位置如图所示，点4、B、C均在格点上，则C0S8的值为（）

6

Vr.---------D.—

4

第n卷（非选择题70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、已知在以中，ZC=90°,AC=6,BC=8,则sinb等于_____.

2、在△4回中，（2cos/l-&）4|1-tan6|=0,则况一定是：.

3

3,如图，矩形48切中，DELAC于点、E,NADE=a,cosa=~,AB=4,49长为一

4、如图，在上述网格中，小正方形的边长均为1,点4B,0都在格点上，则//如的正弦值是

5、如图，等边AABC的边长为2,点。是AA8C的中心，ZFOG=120°,绕点。旋转/FOG,分别交

线段A8,BC于〃£两点，连接£>E,给出下列四个结论：①OD=OE；②四边形OO8E的面积始终

等于③S,°DE=S.BDE；④周长的最小值为3.其中正确的结论是（填序号）.

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、解方程.

（1）2*+3x=3.

（2）计算：4sin30°+2cos45°-tan60°-2.

2、计算：sin"60°+1tan45°-&|-2cos45°.

3、T•十算：（乃——2cos450+1-4|.

4、如图是位于奉贤南桥镇解放东路866号的“奉贤电视发射塔”，它建于1996年,在长达二十几

年的时间里它一直是奉贤区最高建筑物，该记录一直保持到2017年，历了25年风雨的电视塔铎刻

了一代奉贤人的记忆.

黎巴温

B

某数学活动小组在学习了“解直角三角形的应用”后，开展了测量“奉贤电视发射塔的高度”的实

践活动.

测量方案：如图，在电视塔附近的高楼楼顶C处测量塔顶A处的仰角和塔底B处的俯角.

数据收集：这幢高楼共12层，每层高约2.8米，在高楼楼项C处测得塔顶A处的仰角为58。，

塔底B处的俯角为22.

问题解决：求奉贤电视发射塔AB的高度（结果精确到1米）.

参考数据：sin22a0.37,cos22«0.93,tan22=0.40,sin58"0.85,cos58yo.53,tan58yl.60.

根据上述测量方案及数据，请你完成求解过程.

5、计•算：8cos60°+（乃一3.14）°一|及一4|+（-1）2021.

-参考答案-

一、单选题

1、B

【分析】

直接利用锐角三角函数关系得出cosa=g,进而得出答案.

AB

【详解】

由题意可得：cosa=-^-,

则力生*

cosa

故选：B.

【点睛】

此题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键.

2、B

【分析】

先证△46&△叱E(ASA),再证△/?'FD^/\CED(AAS),得出DE+DODE+DB，=B'E=x,利用锐角

三角函数求出8'C'=2GC=2Q,AG^ACsin30°=1,根据三角形面积列出函数解析式y=G-gx是

一次函数，即可得出结论.

【详解】

解：设BC与AB'交于F,

•.•△4%绕点力逆时针旋转a(0<a<120°)得到C,

:.NBAe/C'AE=a,

'：AB=A(=AB'=AC,/比/年/夕=zr=30°,

在△/郎和£中，

'NB=NC

<AB=AC,

ZCAF=ZC'AE

：./\ABF^/\ACE(ASA),

：.AP^AE,

"：AB'=AC,

：.B'eAB'-AI^AC-A^CE,

在△夕功和△碗中,

NB，=NC

，NFDB'=NEDC,

B'F=CE

.♦.△S'FD^/XCED(AAS),

：.B'D=CD,FD=ED,

：.DE+DC=DE+DB'=B'E=x,

过点/作L于G,

'：AB'=〃,

：.BrG=C7G,

'：AC=2,

B'G=GC'=6

：.B'C'=2GC'=2G

：.AG=ACsin30°=1

：.EC=B'C'-B'E=2^>-x

：.y=gEC.AG=；xlx(2石-x)=6_；x

y=G-gx是一次函数，

当A=0时，y=6.

故选择B.

【点睛】

本题考查等腰三角形性质，图形旋转，三角形全等判定与性质，解直角三角形，三角形面积，列一次

函数解析式，识别函数图像，本题综合性强，难度大，掌握以上知识是解题关键.

3、C

【分析】

如图，在三角形中，等底等高的两个三角形的面积相等，由此可得三角形1面积=三角形2面积，三

角形3面积=三角形4面积，根据两个大三角形的面积相等，即甲的面积加上三角形1和三角形3的

面积等于乙的面积加上三角形2和三角形4的面积，即可求得甲的面积等于乙的面积.

【详解】

解：如图，在三角形中，等底等高的两个三角形的面积相等，由此可得三角形1面积=三角形2面

积，三角形3面积=三角形4面积，

根据长方形的对边相等，则长方形对角线分成的两个三角形面积等相等，

所以甲的面积加上三角形1和三角形3的面积等于乙的面积加上三角形2和三角形4的面积，则甲的

面积等于乙的面积.

故选：C.

【点睛】

此题考查了三角形的面积，等底等高的两个三角形的面积相等是解答此题的关键.

4、D

【分析】

根据正切的定义以及33。。=曰’设AC=岛’则BC—结合题意求得DC,进而即可求得

tanZDBC.

【详解】

解：在比1中，/e90°,N4除30°,

tanZABC==tan30°=设AC=\/3a,则BC=3a,

BC3

•••〃是4c的中点,

DC=-AC=­a

22

显

tanADBC=—-—=—'

BC3«6

故选D

【点睛】

本题考查了正切的定义，特殊角的三角函数值，掌握正切的定义是解题的关键.

5、A

【分析】

根据勾股定理，可得4?的长，根据余弦等于邻边比斜边，可得答案.

【详解】

解：在心△45。中，NC=90。，/C=2,BC=\,

由勾股定理，得AB=[AC?+BC?=忖

BC16

cosB=,=F,

A3J55

故选：A.

【点睛】

本题考查了锐角三角函数，利用勾股定理求出斜边，再利用余弦等于邻边比斜边.

6、A

【分析】

由三角函数的定义可知可设折4,广5,由勾股定理可求得先3,再利用余弦的定义代入计

C

算即可.

【详解】

解：sinA=—,

c

，可设a=4,c=5,由勾股定理可求得炉3,

・3

..cosAJ=—=—,

c5

故选：A.

【点睛】

本题主要考查三角函数的定义，掌握正弦、余弦函数的定义是解题的关键.

7、D

【分析】

根据图形得出4〃的长，进而利用三角函数解答即可.

【详解】

解：过4作力〃，a'于〃

：.DO\,4加3,

2

：.A(=^f+3=710>

..._DC_i_Vio

••COS乙AC0~―—r——,

ACM10

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是掌握勾股定理逆定理及余弦函数的定义.

8、B

【分析】

运用余弦函数求两树在坡面上的距离AB.

【详解】

解：•••坡角为a,相邻两树之间的水平距离为8米，

Q

两树在坡面上的距离AB=-2—（米）.

cosa

故选：B.

【点睛】

此题主要考查解直角三角形中的坡度坡角问题及学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力.

9、A

【分析】

根据在直角三角形中，正切值等于对边比上邻边进行求解即可.

【详解】

解：如图所示，在直角三角形4式"中N4於90°,A(=2,叱4,

・•・t+an=----=-2=-/,

42

故选A.

【点睛】

本题主要考查了求正切值，解题的关键在于能够熟练掌握正切的定义.

10、B

【分析】

如图所示，过点4作4。垂直勿的延长线于点〃得出△/劭为等腰直角三角形，再根据45°角的余弦

值即可得出答案.

【详解】

解：如图所示，过点A作AD1BC交6c延长线于点〃，

,:AD=BD=4,N4游90°,

...△/做为等腰直角三角形，

N层45°

cos8=

故选B.

本题主要考查了求特殊角三角函数值，解题的关键在于根据根据题意构造直角三角形求解.

二、填空题

1、3

5

【分析】

根据正弦的定义计算即可.

【详解】

解：在4△48C中，Z(=90°,A(=6,BC=8,

，AB=7AC2+SC2=V62+82=10>

•.„AC__6_3

••s1n/z———，

AB105

3

故答案为：~.

【点睛】

本题考查了锐角三角函数的定义及勾股定理，掌握锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦是解题的

关键.

2、等腰直角三角形

【分析】

根据非负数的意义和特殊锐角的三角函数值求出角/和角B,进而确定三角形的形状.

【详解】

解：因为（2cos4-也），+|1-tan8|=0,

所以2cos4-y/2=0,且1-tan6=0,

即cos4=——，tan5=1,

2

所以N4=45°,/8=45°,

所以NC=90。

所以△力比1是等腰直角三角形，

故答案为：等腰直角三角形.

【点睛】

本题考查特殊锐角三角函数值以及三角形的判定，掌握特殊锐角的三角函数值是正确判断的前提.

3

33

【分析】

将已知角度的三角函数转换到所需要的三角形中，得到//物/比庐%求出AC的值，再由勾股定

理计算即可.

【详解】

■:NADC=NAED=9Q°,ZDAE+ZADE=ZADE+ZCDE=^G°

：./DAE=/CDE

又•：NDCE+NCDE=90°

4AD方NDC±a

.3CD

・・cosa=-----

5AC

又：矩形ABCD中AB=CD=4

7

在dDC中满足勾股定理有

AD=yjAC2-CD2=

故答案为：t

【点睛】

本题考查了已知余弦长求边长，将已知余弦长转换到所需要的三角形中是解题的关键.

4、

【分析】

利用勾股定理求出40、8。的长，再由=345X2=340,比；得出6C,仍可得答案.

【详解】

解：如图，过点。作。£148于点反

过点6作比上物于点C.

由勾股定理，得力/"^TFuZ石，除亚巧7=20，

VS^AB0=1ABX。吟AOXBC,

.”ABxOE2x22x/5

••BO————二一7==---

AO2y/55

:.sin/A西奴=述、：=巫

B052近10

故答案为：噜

【点睛】

本题主要考查三角函数的综合应用，熟练掌握正弦函数的意义、勾股定理的应用及三角形的面积求法

是解题的关键.

5、①③④

【分析】

如图：连接如、0C,利用等边三角形的性质得N473/加右N0或=30°,再证明/加庐可证

△BOD^XCOE,即防四、0D=0E,则可对①进行判断；利用Sa”=得到四边形必班'的面积

=；S.ABC釜,则可对③进行判断；再作例工应；则〃沪夕/,计算出8麻=乎。《2,利用S△林随施'

的变化而变化和四边形0DBE的面积为定值可对②进行判断；由于△如£的周长=8G妙4+妗4+6

0E,根据垂线段最短，当0EL6C时，龙最小，△颂的周长最小，计算出此时施的长则可对④进行

判断.

【详解】

解：连接。反0C,如图,

•・•等边AABC

：.ZABC=ZACB=QO0,

・・•点。是△力回的中心，

AOB-OC,OB、仇;分别平分N4勿和

・・・ZAB0=Z0B(=Z0CB-30o

VZBOC=120°,即N8WNC后120。,而N〃〃成120°,即/况於/a!作120°,

:./BO2/COE,

在48勿和△。宏中

/BOD=4COE

<BO=CO

ZOBD=ZOCE

:•丛BOD^XCOE,

:.BACE,O2OE,所以①正确；

•*S&BOD=S&COE

四边形。〃应"的面积=SOBC='sABC='X立乂展=立，故②正确；

AC/»L3343

如图：作■OHIDE,则游能

・・・/〃娱120°,

：・/OD&_OE+3¥,

OH=\oE,HE=y[3OH=—OE,

22

DE=y/3OE,

：£0DE=；；OE.®)E广0针,

即8腿随在'的变化而变化，而四边形山跖的面积为定值，

*o,S&ODE*S.血;所以③错误；

'：BD=CE,

:△BDE的周长=B/BE+D序CE+B吩际BC+DE=2+际2+60E

当您L6C时，龙最小，△应应的周长最小，此时OE=B,

3

...△H应周长的最小值=2+1=3,所以④止确.

故填①③④.

【点睛】

本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活应用相关知识

成为解答本题的关键

三、解答题

1、(1)23+733=-3-^3；(2)0一6.

44

【分析】

(1)利用公式法求解即可得；

(2)将特殊锐角的三角函数值代入，再计算乘法，最后计算加减法即可得.

【详解】

解：(1)2x?+3x=3化成一般形式为2/+3》-3=0,

此方程中的。=2,6=3,c=-3,

贝］j*=-3±j32-4x2x(-3),即尤=一士屈,

2x24

故方程的解为占=文普,々=T-f；

(2)原式=4XL+2X"-6-2,

22

=2+血-痒2,

=y/2—£.

【点睛】

本题考查了解一元二次方程、特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握方程的解法和特殊角的三角

函数值是解题关键.

-1

2、4

【分析】

先运用特殊角的三角函数值和绝对值的知识进行计算，然后再合并即可解答.

【详解】

解：原式=(3)2+|i-⑸-2X也

22

=1+V2-1-

~~4,

【