高等工科数学试卷等素材（主编金桂堂）第8章参考解答

习题8.1(A)组1按定义判断下列级数是否收敛？若收敛，求其和：1收敛2发散解:1、2、的奇数项和偶数项极限不相等，所以发散2用比较审敛法判别下列级数的收敛性1发散2收敛3 发散4解：1、因为又因为发散，由比较审敛法的极限形式，得原级数发散2、因为又因为收敛，由比较审敛法的极限形式得原级数收敛3、因为又因为发散，由比较审敛法的极限形式得原级数发散4、当时，，当时，由级数收敛的必要条件得原级数发散，当时，又收敛，此时原级数收敛。3用比值判别法判别下列级数的收敛性1收敛234解：1、得原级数收敛2、所以原级数发散3、得原级数收敛4、得原级数发散4判别下列级数是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？并说明原因1234解：1、，又发散又，由莱布尼茨定理得原级数条件收敛2、所以收敛，所以原级数绝对收敛3、由级数收敛的必要条件得原级数发散4、又收敛，得原级数绝对收敛(B)组1级数的前n项和（1）求（2）求解：（1）当时，（2）2判定级数的收敛性。解：又而收敛，所以原级数收敛3级数为常数），判定该级数是否收敛？若收敛，是绝对收敛，还是条件收敛？解：当时，原级数绝对收敛收敛，当时，原级数发散，当绝对收敛4证明级数条件收敛．证明：、，又发散又，由莱布尼茨定理得原级数条件收敛习题8.2(A)组1求下列幂级数的收敛半径和收敛区间：1234解：1、所以收敛半径是1当时，原级数为发散，所以收敛区间是2、所以收敛半径是当时，原级数为收敛，当时，原级数为绝对收敛所以级数的收敛域是3、当时，原级数绝对收敛，当时，原级数发散，当时，原级数为条件收敛，当时，原级数为条件收敛，所以原幂级数的收敛域为4、，当时，原级数绝对收敛，当原级数发散，当，级数为条件收敛，级数为发散，则原幂级数的收敛半径为1，收敛域为2利用逐项求导或逐项求积分，求下列幂级数的收敛区间及其内的和函数：12，并求的和。1、解：，当时，原级数绝对收敛，当时，原级数发散，当发散，所以收敛区间设则2、当时，原级数绝对收敛，当时，原级数发散，当时，原级数为发散，当时，原级数为发散，所以原幂级数的收敛域为设则所以3将下列函数展开成的幂级数，并写出展开式成立的的区间：123解：4将函数展开成的幂级数。解：5将函数展开成的幂级数，并由此证明解：当时则(B)组1求幂级数的收敛区间与和函数。解：当时，原级数绝对收敛，当时，原级数发散，当时，原级数为发散，当时，原级数为条件收敛，所以原幂级数的收敛域为设两边积分当当2将下列函数展开成的幂级数解：所以解：所以3将函数展开成的幂级数。解：4求级数的和函数解：当时，原级数绝对收敛，当时，原级数发散，当时，原级数为发散，当时，原级数为发散，所以原幂级数的收敛域为设则5将函数展开成（x+2）的幂级数。解：习题8.3(A)组1、设f(x)是周期为2p的函数,它在[-p,p)上的表达式为.将f(x)展开成傅里叶级数.解：所以2周期为的周期函数在上的表达式为，试将其展开成傅里叶级数.解：3将函数分别展开成正弦级数和余弦级数.解：（1）对函数作奇延拓所以（2）对函数作奇延拓所以4设f(x)是周期为4的周期函数,它在[-2,2)上的表达式为(常数k0).将f(x)展开成傅里叶级数解：(B)组1将展开成正弦级数，并求的和。解：对进行奇延拓成为再对进行周期延拓成，2将下列周期函数展开成为傅里叶级数，各函数在一个周期内的表达式分别是：（1），是不为0的常数.解：（2）;解：3将函数展开为正弦函数.解：对进行奇延拓成为再对进行周期延拓成，4试证明：证明：由三角函数系的正交性复习题(A)组1下面每一个小题备有四个答案，但仅有一个正确答案，请将正确答案填入括号内．（1）如果级数收敛,是其前n项和,则有(C)ABCD（2）下列级数中，收敛级数是（D）ABCD（3）下列级数绝对收敛的是（C）（4）幂级数在点3处收敛，则该级数的收敛半径R(A)ABC>1D>3（5）利用的幂级数展开式，的幂级数为（B）ABCD（6）函数展开成傅里叶级数，傅里叶系数（A）ABCD2填空题（1）如果级数收敛，则=__0___________。（2）级数，当满足_____________时收敛。（3）若则级数必定___发散________。（4）幂级数的收敛半径R=________________。（5）展开成的幂级数为=_________________。（6）将函数展开成傅里叶级数，则傅里叶系数。3判定级数的敛散性。解：又收敛，得收敛又收敛，所以，从而得原级数收敛。4判定级数的敛散性，若收敛，说明是绝对收敛，还是条件收敛。解：此级数为交错级数，又而发散，所以原级数不绝对收敛，又令当时所以，由莱布尼茨定理得原级数条件收敛。5当x取何值时，级数收敛。解：当时，原级数绝对收敛，当时，原级数发散，当时，原级数为发散，当时，原级数为发散，所以原幂级数的收敛域为6将函数展开成的幂级数。7求的和函数。解：收敛域设设所以当时，当时(B)组1设级数收敛，且,问级数是否也收敛？说明理由。解：收敛，由比较审敛法的极限形式可得2求幂级数在区间（-1，1）内的和函数。解：设所以所以原函数的和函数3将函数，展开成一周期的傅立叶级数。解：对进行补充成为再对进行周期延拓4将函数展开成的幂级数。解：5将展开成正弦级数，并求的和。6本题给出银行理想状态贷款方案。假设银行最初只有100万元存款，统计规律表明：在任何一个时刻平均只有8％的存款会被存款人提取，这样银行就能放心的将其余92％的