各高校量子力学考研试题汇总2598

．玻尔的量子化条件为。2．德布罗意关系为。3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为。4．波函数的统计解释：_______________________________________________________________________________________________5．为归一化波函数，粒子在方向、立体角内出现的几率为，在半径为，厚度为的球壳内粒子出现的几率为。6．波函数的标准条件为。为8．自由粒子体系，__________守恒；中心力场中运动的粒子___________守恒。9．力学量算符应满足的两个性质是。是10．厄密算符的本征函数具有。有11．设为归一化的动量表象下的波函数，则的物理意义为。_______________________________________________12.______;_______;_________。28．如两力学量算符有共同本征函数完全系，则___13．坐标和动量的测不准关系是____________________________。14．在定态条件下，守恒的力学量是_______________________。15．隧道效应是指__________________________________________。16．量子力学中，原子的轨道半径实际是指____________________。为。18．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为耦合，能级的简并度为，考虑自旋但不考虑自，如再考虑自旋与轨道角动量的。19．设体系的状态波函数为，如在该状态下测量力学量有确定的值，则力学量算符与态矢量的关系为__________。在态20．力学量算符的条件为下在态20．力学量算符的条件为____________________________。21．量子力学中的态是希尔伯特空间的____________；算符是希尔伯特空间的____________。21．设粒子处于态21．设粒子处于态，本征值为出现的几率为。22．原子跃迁的选择定则为。为23．自旋角动量与自旋磁矩的关系。。26．乌伦贝克和哥德斯密脱关于自旋的两个基本假设是________________________。_______________________________27．轨道磁矩与轨道角动量的关系是______________;自旋磁矩与自旋角动量的关系是。______________27．费米子所组成的全同粒子体系的波函数具有______________,玻色子所组成的全同粒子体系的波函数具有_________。27．考虑自旋后，波函数在自旋空间表示为(已归一化)，则在态下，自旋算符对自旋的平均可表示为_______________；对坐标和自旋同时求平均的结果可表示为______________________。27．考虑自旋后，波函数在自旋空间表示为的意义为_____________________；_________________(已归一化)，则1．在和的共同表象中，算符和的矩阵分别为求它们的本征值和归一化本征函数，并将矩阵．一维运动粒子的状态是。和对角化。其中，求(1)粒子动量的几率分布函数；(2)粒子的平均动量。(利用公式其中，试用微扰论求能级二级修正。(10分)4．在自旋态中，求。(10分)6．在动量表象中角动量的矩阵元和的矩阵元。7．求自旋角动量在方向的投影的本征值和所属的本征函数。8．转动惯量为，电偶极矩为的空间转子处在均匀电场中，如果电场很小，用微扰论求转子基态能量的二级修正。(10分)(基态波函数，利用公式)(20(20分)。9．证明下列关系式：.的本征值；(2)在A表象下求算符为单位算符)，，求此时粒子的平均动量和平。(1)求算符12．已知体系的哈密顿量，试求出(1)体系能量本征值及相应的归一化本征矢量。(2)将H对角化，并给出对角化的么正变换矩阵。，b为小量，用微扰法求粒子的能级(近似到一级)。14．证明下列算符的对易关系。()3.设算符与它们的对易式对易，即：，15．设有两个电子，自旋态分别，，证明两个电子处于自旋单态()及三重态()的几率分别为：16．求自旋角动量在方向的投影的本征值和所属的本征函数(20分)。。试证明(1)17．。试证明(1)是厄密算符；(2)有；(3)的本征值为0和1(20分)。扰论求能级二级修正(14分)。19．证明下列算符的对易关系(24分)：2.()3.设算符与它们的对易式对易，即：，证明：20．一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？21．求证在的共同本征态下，角动量沿与z轴成角的方向的分量的平均值为。22．证明如算符有共同的本征函数完备集，则对易。23．求及的本征值和所属的本征函数。三问答题1．电子在均匀电场中运动，哈密顿量为，试判断各量中哪些是守恒量，为什么？波有什么本质区别？3．量子力学中的力学量用什么算符表示？为什么？力学量算符在自身表象中的矩阵是什么形7．什么是塞曼效应，对简单塞曼效应，没有外磁场时的一条谱线在外磁场中分裂为几条？8．什么是光谱的精细结构？产生精细结构的原因是什么？考虑精细结构后能级的简并度是多10．不同表象之间的变换是一种什么变换？在不同表象中不变的量有哪些？11．量子力学中如何判断一个力学量是否是守恒量，量子力学中的守恒量和经典力学的守恒量义的？守恒量有什么性质？19．什么是光电效应？爱因斯坦是如何解释光电效应的。20．简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的。21．简述波函数的统计解释，为什么说波函数可以完全描述微观体系的状态。为什么？1.1924年，德布洛意提出物质波概念，认为任何实物粒子，如电子、质子等，也具有波动性，对于具有一定动量p的自由粒子，满足德布洛意关系：__________________________________________________________3.计算1K时，C团簇(由60个C原子构成的足球状分子)热运动所对应的物质波波长_____________________________4.计算对易式[,f(x)]和[x,f()]，其中为动量算符的x分量，f(x)为坐标的x函xxx数.数6.设波函数(x)=sinx，求[(dx]2[xd]2=?dxdx7.求角动量能量算符=ii?的本证值和本征态z?8.试求算符Fˆ=ieixd的本征函数dx9.证明一维束缚定态方程的能量E是非简并的10.在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：U(-x)=U(x)，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称11.一粒子在一维势场||中运动，求粒子的能级和对应的波函数tv(x)=A[sin2kx+1coskx]2求此时粒子的动量期望值和动能期望值13.一维运动粒子的状态是l0,当x<0l0,当x<0率分布函数；v(x)=Ax(a-x)描写，A为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的期望值.15.设粒子处于范围在[0,a]的一维无限深势阱中状态用函数中(x)=4sin"xcos2"x，求aaa粒子能量的可能测量值及相应的几率"a3002(1)r的平均值；(2)势能-的平均值r17.质量为m的一个粒子在边长为a的立方盒子中运动，粒子所受势能V(x,y,z)由下式给统能量本征值和归一化波函数；Y34331341103411-1(1)v(r,9,Q)是否为能量的本征态？若是，写出其本征值。若不是，说明理由；(2)在v(r,9,Q)中，测角动量平方的结果有几种可能值？相应几率为多少19.在一维谐振子能量表象中写出坐标x和动量p的矩阵表示t波函数为0x2xx2b(1)给出在该态中粒子动量的可能测得值及相应的几率振幅；xx系未受微扰作用时有两个能级：E及E，现在受到微扰Hˆ的作用，微扰矩阵元0102为HHa，HHb；a、b都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值112222.一维无限深势阱(0xa)中的粒子受到微扰H(x)aa2(1x)a(0xa)2(axa)2(12)作用，试求基态能级的一级修正。(12)23.具有电荷为q的离子，在其平衡位置附近作一维简谐振动，在光的照射下发生跃迁。设入为I()。其波长较长，求：1①原来处于基态的离子，单位时间内跃迁到第一激发态的几率。2②讨论跃迁①原来处于基态的离子，单位时间内跃迁到第一激发态的几率。24.电荷e的谐振子，在t0时处于基态，t0时处于弱电场et/之中(为常0数)，试求谐振子处于第一激发态的几率。(0k (0|||0)(0k (0|||0)0)26.用试探波函数估计一维谐振子基态能量和波函数0028.一个电荷为的一维谐振子受到弱电场的作用，利用微扰理论求能量至二级修正值并与其精确结果比较28.若是电子的自旋算符，求(1)=?xzxyxS1z2z121z2z30.一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？00(40|(000k0002(1)用微扰法求体系的能级，精确到二级近似；(2)求出体系能量的精确解，并与(1)式结果比较南京大学1998年硕士研究生考试试题——量子力学(w0(一)20分有半壁无限高势垒的一维阱V(x)=〈|00在E想V的情形下，该系统是否总存在一个束缚态？如果回答是否定的，那么系统中至0少有一个束缚态的存在的充要条件是什么？(二)20分一个取向用角坐标9和p确定的转子，作受碍转动，用下述哈密顿量描述：算符，试用一级微扰论计算系统的p能级(l=1)的分裂，并标出微扰后的零级近似波函数。(三)20分求在一维无限深势阱中，处于中n(x)态时的粒子的动量分布几率0n(p)2。(四)20分试判断下列诸等式的正误，如果等式不能成立，试写出正确的结果： (2)[x,xf()x]=xf'(x)？式中x= (3)系统的哈密顿算符为Hˆ=+V()，设pn()是归一化的束缚态波函数，则 (五)20分碱金属原子处在z方向的外磁场B中，微扰哈密顿为Hˆ=Hˆ+Hˆ，其中1lsB当外磁场很弱时，那些力学量算符是运动积分(守恒量)，应取什么样的零级近似波函120南京大学1999年硕士研究生考试试题——量子力学专业:理论物理、粒子物理与原子核物理几率，并计算动量的平均值。0(000求解粒子的能量本征值和本征函数。(10分)(b)设粒子处在情形(a)的基态，求突然撤去“路障”后，粒子仍然处于最低能量态的几率是多少?(20分)三、边长为a的刚性立方势箱中的电子，具有能量3"2i2ma2，如微扰哈密顿H=bxy，试求对能量的一级修正(式中b为常数)。1(15分)四、对自旋为1／2的粒子，S和S是自旋角动量算符，求AS+BS的本征函数和本yzyz(15分)五、已知t=0时，一维自由粒子波函数在坐标表象和动量表象的表示分别是式中N、a、c、b和p都是已知实常数．试求t=0和t>0时粒子坐标和动量的平均0值,t>0*01 ""a南京大学2000年硕士研究生入学考试试题——量子力学专业:理论物理,凝聚态物理,光学等一.一维谐振子处在中(x)="a1/2e-a2x2状态,a=,求:(1)势能的平均值(7分)(2)动能的几率分布函数(7分)(3)动能的平均值(7分)-w||(1)决定束缚态能级的方程式(15分)(2)至少存在一个束缚态的条件(5分)的实常数，试用微扰论求准到c一次方的基态能量.(20分)1四.两个自旋的非全同粒子系的哈密顿量2求Hˆ的能量本征值和相应的简并度.(20分)s五．(1)设氢原子处于沿z方向的均匀静磁场B中,不考虑自旋,在弱磁场情形下求n=2能级.(10分)(2)如果沿z方向不仅有均匀静磁场B,还有均匀静电场E,再用微扰论求n=2能级的分裂情况.提示:提示:南京大学2001年硕士研究生入学考试试题———量子力学专业：理论物理、、凝聚态物理、光学等1.归一化常数A;2.粒子能量的平均值；3.t=0时刻，粒子能量的几率分布；4.人艺t>0时刻的波函数的级数表达式。=x=x提示：n496二、考虑势能为V(x)=〈的一维系统，其中V0为正常数。若一能量为E的粒子从三、有一质量为山的粒子，在一维谐振子势场V(x)=1山O2x2中运动。在动能T=p2的非2山考虑T与p的关系的相对论修正，计算基态能级的移动E至阶。(c为光速)(20分)c2c四、氯化钠晶体中有些负离子空穴，每个空穴束缚一个电子。可将这些电子看成束缚在一个尺度为晶格常数的三维无限深势阱中。晶体处于室温，试粗略地估计被这些电子强烈吸收的电磁0012Byzy2南京大学2002年硕士研究生入学考试试题———量子力学二、粒子被约束在半径为r的圆周上运动02)设粒子处在上述情形的基态，现突然撤去“路障”，问撤去“路障”后，粒子仍然处在最低能量态的几率是多少？(20分)提示：在柱坐标系下 ，那么，波函数也是Nˆ的本征函数，对应的本征值为1，而波函数12四、一个粒子在二维无限深势阱Vx中运动，设加上微扰H1xy0x,ya，求基态和第一激发态的一阶能量修正(20分)ii1五、若电子处于z的本征态，试证在此态中，y取值为一2或2的几率各为2。(20南京大学2003年硕士研究生入学考试试题——量子力学专业:理论物理,凝聚态物理量为山的粒子处于一维谐振子势V(x)=1山o2x2中运动，o为谐振子的本征振动23020v(x)分别为一维谐振子的基态和第二激发态的能量本征波函数，c为待定常数且2求t时刻粒子所处的状态v(x,t)；(5分)求测量粒子的能量所能得到的可能值和测到这些值的几率；(10分)5)若在t=T时刻，粒子所处的势场突然变为V'(x)=1山o2x2，求粒子在T时刻处于3新的势场V'(x)的第一激发态的几率。 二、一根长为l的无质量的绳子一端固定，另一端系质点m。在重力作用下，质点在竖直平面1)写出质点运动的哈密顿量；2)在小角近似下求系统的能级；(10分)(10分)3)求由于小角近似的误差而产生的基态能量的最低阶修正。(10分)mo三、质量为山的粒子从左向右作一维运动，穿越了一个宽度为a，高度为V0的一维势垒Vxx0四、两个自旋为1/2的粒子组成的系统由哈密顿量H=A(S+S)+BSS描述，其中Szz121和分别是两个粒子的自旋，而S和S则分别是这两个粒子自旋的z分量，A和B是实V(x)=〈中运动。如果在入射光的照射下，该粒子能在不同能级间发生六、两个粒子被束缚在一个边长为a>b>c的长方体盒子中运动，粒子间的相互作用势能为V(x,x)=A6(x-x)可以作为微扰，其中x和x分别为两个粒子的坐标，A为实常121212数。分别就以下两种情形求体系的最低能量态的能量，要求准至A的一次方。1)两个粒子为自旋为零的全同玻色子；(15分)2)两个粒子为自旋为1/2的全同费米子，且这两个粒子的自旋平行(即总自旋为1)。(15南京大学2004年硕士研究生入学考试试题——量子力学1)一个电子被限制在宽度为a的一维无限深势阱中运动，请写出该体系的能级公式；(52)五个电子被限制在宽度为a的一维无限深势阱中运动，不考虑电子和电子之间的库仑1子势场山O2x2中运动，其中O是谐振子的本征园频率，x是24)如果电子在上题中的一维谐振子势场中运动，并且假定电子恰好处在某个能量本征态)5)请写出氢原子体系的能级公式和电子的基态波函数，这里假定原子核是不动的；(1026)假定氢原子处于基态，求电子势能-的平均值，其中r是电子的径向坐标。(10r二、假定电子的波函数在球坐标体系下写为：v(r,9,Q)=(eiQsin9+cos9)g(r)，其中g(r)仅是径向坐标r的函数。1)求角动量平方2的可能测量值和相应的几率；(10分)2)求角动量的z分量的可能测量值和平均值。(10分)zSSzSnSnnS本征值和相应的本征波函2)假定电子处于S的某个本征态，那么测量S会得到哪些数值，相应的几率是多少，nz测量S的平均值又是多少？(10分)z四、一个质量为m，无电荷但自旋为1/2，磁矩为山=_0s的粒子在一维无限深势阱ixLxL算符。现在考虑在x<0的半空间中有一沿z方向的均匀磁场，其大小为B，而在x>0的半空间有一同样大小但沿x方向的均匀磁场。在弱磁场极限下用微扰论找出体系基态的能级和波函数，并指出B能作为弱磁场处理的具体条件。(微扰只须计算到最低阶，自选空间的波函数在五、一个质量为m的无自旋的粒子在三维情形下与一个球对称势V(r)=_C6(r_a)作用，其六、一个质量为m的无自旋的粒子受到中心势V(r)=_的散射，其中a是南京大学2005年硕士研究生入学考试试题——量子力学一、问答题讨论自由粒子的波函数是否一定是平面波？问什么？(5分)2、为什么波函数v(x,t)必定是复数？(5分)一维定态薛定谔方程的解v(x)是否也必定是复数？(5分)3、以下的波函数是否代表同一个量子态，并说明为什么：tQ4、为什么力学量算符Aˆ应是线性厄米算符？(10分)5、为什么全同粒子的波函数对于粒子的交换应是对称或反对称的？(10分)四、设质子是半径为R的薄球壳，其电荷e均匀分布在球壳表面上。对于氢原子，以电子所受势能偏离质子为点粒子模型时的值为微扰，求氢原子第一激发态能量的一级修正E(1)(积2M=一ge，其中g=1.9，M为中子质量。当自旋在z方向向上极Mc化的中子束，沿x轴作一维运动时，在x<0区没有磁场而在x>0区域存在恒定磁场B，其 (a为正常数)1212归一化波函数(考虑自旋态)，并以接触势为微扰，求准到一次方的基态能量。(20分)南京大学1998年硕士研究生考试试题——量子力学(w0(一)20分有半壁无限高势垒的一维阱V(x)=〈|00在E想V的情形下，该系统是否总存在一个束缚态？如果回答是否定的，那么系统中至0少有一个束缚态的存在的充要条件是什么？(二)20分一个取向用角坐标9和Q确定的转子，作受碍转动，用下述哈密顿量描述：算符，试用一级微扰论计算系统的p能级(l=1)的分裂，并标出微扰后的零级近似波函数。 (三)20分求在一维无限深势阱中，处于中n(x)态时的粒子的动量分布几率0n(p)2。(四)20分试判断下列诸等式的正误，如果等式不能成立，试写出正确的结果：(2)[x,xf()x]=xf'(x)？式中x=0(3)系统的哈密顿算符为Hˆ=+V()，设Qn()是归一化的束缚态波函数，则 (五)20分碱金属原子处在z方向的外磁场B中，微扰哈密顿为Hˆ=Hˆ+Hˆ，其中1lsBls2山2c2(rdr)B2山cZZ当外磁场很弱时，那些力学量算符是运动积分(守恒量)，应取什么样的零级近似波函122几率，并计算动量的平均值。0(000求解粒子的能量本征值和本征函数。(10分)(b)设粒子处在情形(a)的基态，求突然撤去“路障”后，粒子仍然处于最低能量态的几率是多少?H=bxy，试求对能量的一级修正(式中b为常数)。1(15分)四、对自旋为1／2的粒子，S和S是自旋角动量算符，求AS+BS的本征函数和本yzyz0(p)=c(p-p)exp[-b(p-p)2]00式中N、a、c、b和p都是已知实常数．试求t=0和t>0时粒子坐标和动量的平均值,t>0*01 几几a南京大学2000年硕士研究生入学考试试题——量子力学专业:理论物理,凝聚态物理,光学等(1)势能的平均值(7分)(2)动能的几率分布函数(7分)(3)动能的平均值(7分)||(1)决定束缚态能级的方程式(2)至少存在一个束缚态的条件七.质量为m中运动,其中c是小的实常数，试用微扰论求准到c一次方的基态能量.(20分)1八.两个自旋的非全同粒子系的哈密顿量2求Hˆ的能量本征值和相应的简并度.(20分)s五．(1)设氢原子处于沿z方向的均匀静磁场B中,不考虑自旋,在弱磁场情形下求n=2能级.(10分)(2)如果沿z方向不仅有均匀静磁场B,还有均匀静电场E,再用微扰论求n=2能级的分裂情况.(9分)南京大学2001年硕士研究生入学考试试题———量子力学专业：理论物理、、凝聚态物理、光学等一、有一质量为山的粒子处于长度为a的一维无限深势阱中V(x)=〈(w,x想0;x>a，在t=005.归一化常数A;6.粒子能量的平均值；7.t=0时刻，粒子能量的几率分布；8.人艺t>0时刻的波函数的级数表达式。=x1"4=提示：n496二、考虑势能为V(x)=〈的一维系统，其中V0为正常数。若一能量为E的粒子从三、有一质量为山的粒子，在一维谐振子势场V(x)=1山O2x2中运动。在动能T=p2的非2山1四、氯化钠晶体中有些负离子空穴，每个空穴束缚一个电子。可将这些电子看成束缚在一个尺度为晶格常数的三维无限深势阱中。晶体处于室温，试粗略地估计被这些电子强烈吸收的电磁0012yz4．若此时系统正处在的某一个本征态上，求此时测量的几率。(20y(2)南京大学2002年硕士研究生入学考试试题———量子力学七、粒子被约束在半径为r的圆周上运动4)设粒子处在上述情形的基态，现突然撤去“路障”，问撤去“路障”后，粒子仍然处在最低能量态的几率是多少？(20分)提示：在柱坐标系下入，那么，波函数?=?也是Nˆ的本征函数，对应的本征值为入-1，而波函数1N)2ii1十、若电子处于z的本征态，试证在此态中，y取值为-2或2的几率各为2。(20南京大学2003年硕士研究生入学考试试题——量子力学专业:理论物理,凝聚态物理一、一个质量为p的粒子处于一维谐振子势V(x)=1po2x2中运动，o为谐振子的本征振动23020v(x)分别为一维谐振子的基态和第二激发态的能量本征波函数，c为待定常数且2根据归一化条件，求待定常数c；(5分)求t时刻粒子所处的状态v(x,t)；(5分)求测量粒子的能量所能得到的可能值和测到这些值的几率；(10分)10)若在t=t时刻，粒子所处的势场突然变为V'(x)=1po2x2，求粒子在t时刻处于3新的势场V'(x)的第一激发态的几率。 二、一根长为l的无质量的绳子一端固定，另一端系质点m。在重力作用下，质点在竖直平面4)写出质点运动的哈密顿量；(10分)5)在小角近似下求系统的能级；(10分)6)求由于小角近似的误差而产生的基态能量的最低阶修正。(10分)moamo-w三、质量为p的粒子从左向右作一维运动，穿越了一个宽度为a，高度为V的一维势垒0V(x)=〈(0|x0四、两个自旋为1/2的粒子组成的系统由哈密顿量H=A(S+S)+BSS描述，其中Szz121和分别是两个粒子的自旋，而S和S则分别是这两个粒子自旋的z分量，A和B是实中运动。如果在入射光的照射下，该粒子能在不同能级间发生六、两个粒子被束缚在一个边长为a>b>c的长方体盒子中运动，粒子间的相互作用势能为V(x,x)=A6(x-x)可以作为微扰，其中x和x分别为两个粒子的坐标，A为实常121212数。分别就以下两种情形求体系的最低能量态的能量，要求准至A的一次方。3)两个粒子为自旋为零的全同玻色子；(15分)4)两个粒子为自旋为1/2的全同费米子，且这两个粒子的自旋平行(即总自旋为1)。(15南京大学2004年硕士研究生入学考试试题——量子力学7)一个电子被限制在宽度为a的一维无限深势阱中运动，请写出该体系的能级公式；(58)五个电子被限制在宽度为a的一维无限深势阱中运动，不考虑电子和电子之间的库仑相互作用，请写出该体系的基态和第一激发态的能级公式。(10分)9)一个电子处于一维谐振子势场1po2x2中运动，其中o是谐振子的本征园频率，x是2电子的坐标，请写出该体系的能级公式。(5分)10)如果电子在上题中的一维谐振子势场中运动，并且假定电子恰好处在某个能量本征态11)请写出氢原子体系的能级公式和电子的基态波函数，这里假定原子核是不动的；(10212)假定氢原子处于基态，求电子势能一的平均值，其中r是电子的径向坐标。(10r二、假定电子的波函数在球坐标体系下写为：v(r,9,Q)=(eiQsin9+cos9)g(r)，其中g(r)仅是径向坐标r的函数。1)求角动量平方2的可能测量值和相应的几率；(10分)zSSzSn方向上的投影Sn=n.S的本征值和相应的本征波函4)假定电子处于S的某个本征态，那么测量S会得到哪些数值，相应的几率是多少，nz测量S的平均值又是多少？(10分)z四、一个质量为m，无电荷但自旋为1/2，磁矩为山=一0s的粒子在一维无限深势阱i算符。现在考虑在x想0的半空间中有一沿z方向的均匀磁场，其大小为B，而在x>0的半空间有一同样大小但沿x方向的均匀磁场。在弱磁场极限下用微扰论找出体系基态的能级和波函数，并指出B能作为弱磁场处理的具体条件。(微扰只须计算到最低阶，自选空间的波函数在C六、一个质量为m的无自旋的粒子受到中心势V(r)=一的散射，其中a是南京大学2005年硕士研究生入学考试试题——量子力学讨论自由粒子的波函数是否一定是平面波？问什么？(5分)2、为什么波函数v(x,t)必定是复数？(5分)一维定态薛定谔方程的解v(x)是否也必定是复数？(5分)3、以下的波函数是否代表同一个量子态，并说明为什么：4、为什么力学量算符Aˆ应是线性厄米算符？(10分)5、为什么全同粒子的波函数对于粒子的交换应是对称或反对称的？(10分)四、设质子是半径为R的薄球壳，其电荷e均匀分布在球壳表面上。对于氢原子，以电子所受势能偏离质子为点粒子模型时的值为微扰，求氢原子第一激发态能量的一级修正E(1)(积2五、中子有内禀磁矩：Mˆ=-ge，其中g=1.9，M为中子质量。当自旋在z方向向上极Mc化的中子束，沿x轴作一维运动时，在x<0区没有磁场而在x>0区域存在恒定磁场B，其(a(a中，并以接触势U(x,x)=d6(x-x)(d<<1)相互作用的全同中子系统的零级近似1212归一化波函数(考虑自旋态)，并以接触势为微扰，求准到一次方的基态能量。(20分)北京科技大学2003——2004学年度第一学期可能会有用的公式： ()2iEt()EE22x ()2iEt()EE22x22|(d()22Vx(d()22VxvxEvx|-一维定态薛定谔方程： (2)"a：jwe-ax2dx"a-w质量为m的粒子在一维无限深方势阱中运动，势阱可表示为：1[10分]求解能量本征值E和归一化的本征函数v(x)；nn2若已知t=0时，该粒子状态为：v(x,0)=1(v(x)+v(x))，求t时刻该粒子的波函212124。[10分]求t时刻粒子的平均能量E和平均位置x。("(")||nx|v=222 E222 E=n22nniEtv=v ( ()2vx,tvx,t)vx,tvx,t)2=12)(1,)(t2xtx)vt,)(t2xtx)v222能量4)[10分]平均能量?tma=vv=vi?vt=+?tma(()平均位置：()(()平均位置：()2†l) (2†l) (20|质量为m的粒子在一维线性谐振子势：V(x)=mo2x2中运动。按占有数表象，哈密顿可写2mo(i)||a=|已知一维线性谐振子基态波函数为：1。[10分]利用产生算符性质：†v(x)=v(x)，求线性谐振子第一激发态在坐标表象下的01波函数：v(x)；(波函数：v(x)；(v(x)10()e42-2)2) (0粒子新的基态能是多少？新的基态波函数是什么？23。[10分]假设这时粒子波函数仍然保持不变(v(x)=(|(o))|4e-mx)，此时测量粒子能2量，发现粒子能量取新的基态能的几率是多少？(x)a†(x)10im2m(x)a†(x)10im2mxv=v=2)|e422a()d2=a()d2=idxa「ax]a「ax]()†()022vx=ava(a(id)x=|(x-moidx)|"|-|22222=|(x-a2axa「ax]|-|「axa「ax]|-|「ax]dadxax2222)2ax="22ax="2223/22223/2="3/2="001224T431224T434323JS4量子力学考研模拟题参考答案2242242)222 (3)测量粒子能量取新基态能的几率：w=v2)222 (考虑两个电子组成的系统。它们空间部分波函数在交换电子空间部分坐标时可以是对称的或是反对称的。由于电子是费米子，整体波函数在交换全部坐标变量(包括空间部分和自旋部分)时必须是反对称的。1。[15分]假设空间部分波函数是反对称的，求对应自旋部分波函数。总自旋算符定义为：12zz3。[10分]假设两电子系统哈密顿量为：H=Js.s，分别针对(1)(2)两种情形，求系统12空间部分波函数是反对称的，自旋部分应对称：JJ对应总自旋平方S2本征值为：22对应总自旋第三分量S本征值分别为：z间部分波函数是对称的，自旋部分应反对称：X=1(个J-J个)A2对应总自旋第三分量S本征值分别为：0zS2-s2-s23)哈密顿：H=Js.s，利用：s.s=1212122--人22i一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波；其表达式：2、定态：定态是能量取确定值的状态。性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变。i一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波；其表达式：2、定态：定态是能量取确定值的状态。性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变。3、全同费米子的波函数是反对称波函数。两个费米子组成的全同粒子体系的波函数为：A211221221。xxxxxxxxxxxx是厄密算符。则有4，这个关系式称为测不准关系。ii，：在B表象中算符的本征方程为：亭251525251525从A表象到B表象的幺正变换矩阵就是将算符Bˆ在A表象中的本征函数按列排成的矩阵，即e21E=-s(n=1,2,3…)n2an2三、解：已知氢原子的本征解为：00nlm(r,9,v)=Rnl(r)Ylm(9,v)，将v(r,0)向氢原子的本征态展开，1、v(r,0)=xnlmcnlm(0)0nlm(r,9,v)，不为零的展开系数只有三个，即111c(0)=c(0)=-c(0)=21023102102310221-12444==2310221232W1232 (1)能量的取值几率2555，35，平均值为：5253zi=[c(0)0(r,9,v)+c(0)0(r,9,v)]exp(-iEt)+c(0)0(r,9,v)exp(-iEt)21021021-121-1