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2023年中考数学模拟试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1.碳纳米管的硬度与金刚石相当,却拥有良好的柔韧性,可以拉伸,我国某物理所研究组已研制出直径为0.5纳米的碳纳米管,1纳米=0.000000001米,则0.5纳米用科学记数法表示为()A.0.5×10﹣9米 B.5×10﹣8米 C.5×10﹣9米 D.5×10﹣10米2.下列计算正确的是()A.a3•a3=a9B.(a+b)2=a2+b2C.a2÷a2=0D.(a2)3=a63.已知一个正n边形的每个内角为120°,则这个多边形的对角线有()A.5条 B.6条 C.8条 D.9条4.下列图标中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是()A. B. C. D.5.如图是一个正方体的表面展开图,如果对面上所标的两个数互为相反数,那么图中的值是().A. B. C. D.6.拒绝“餐桌浪费”,刻不容缓.节约一粒米的帐:一个人一日三餐少浪费一粒米,全国一年就可以节省斤,这些粮食可供9万人吃一年.“”这个数据用科学记数法表示为()A. B. C. D..7.如图,在平面直角坐标系中,半径为2的圆P的圆心P的坐标为(﹣3,0),将圆P沿x轴的正方向平移,使得圆P与y轴相切,则平移的距离为()A.1 B.3 C.5 D.1或58.下列因式分解正确的是()A.x2+9=(x+3)2 B.a2+2a+4=(a+2)2C.a3-4a2=a2(a-4) D.1-4x2=(1+4x)(1-4x)9.如图是一个几何体的主视图和俯视图,则这个几何体是()A.三棱柱 B.正方体 C.三棱锥 D.长方体10.估算的值是在()A.2和3之间 B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11.如图,在△ABC中,∠C=∠ABC,BE⊥AC,垂足为点E,△BDE是等边三角形,若AD=4,则线段BE的长为______.12.分解因式:__________.13.已知:a(a+2)=1,则a2+=_____.14.如图,已知O为△ABC内一点,点D、E分别在边AB和AC上,且,DE∥BC,设、,那么______(用、表示).15.因式分解:__________.16.在平面直角坐标系xOy中,将抛物线y=3(x+2)2-1平移后得到抛物线y=3x2+2.请你写出一种平移方法.答:________.17.计算:3﹣1﹣30=_____.三、解答题(共7小题,满分69分)18.(10分)某文具店购进A,B两种钢笔,若购进A种钢笔2支,B种钢笔3支,共需90元;购进A种钢笔3支,B种钢笔5支,共需145元.(1)求A、B两种钢笔每支各多少元?(2)若该文具店要购进A,B两种钢笔共90支,总费用不超过1588元,并且A种钢笔的数量少于B种钢笔的数量,那么该文具店有哪几种购买方案?(3)文具店以每支30元的价格销售B种钢笔,很快销售一空,于是,文具店决定在进价不变的基础上再购进一批B种钢笔,涨价卖出,经统计,B种钢笔售价为30元时,每月可卖68支;每涨价1元,每月将少卖4支,设文具店将新购进的B种钢笔每支涨价a元(a为正整数),销售这批钢笔每月获利W元,试求W与a之间的函数关系式,并且求出B种铅笔销售单价定为多少元时,每月获利最大?最大利润是多少元?19.(5分)已知,在菱形ABCD中,∠ADC=60°,点H为CD上任意一点(不与C、D重合),过点H作CD的垂线,交BD于点E,连接AE.(1)如图1,线段EH、CH、AE之间的数量关系是;(2)如图2,将△DHE绕点D顺时针旋转,当点E、H、C在一条直线上时,求证:AE+EH=CH.20.(8分)如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,∠ABC的平分线交⊙O于点D,DE⊥BC于点E.试判断DE与⊙O的位置关系,并说明理由;过点D作DF⊥AB于点F,若BE=3,DF=3,求图中阴影部分的面积.21.(10分)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交BC,AC于点D,E,DG⊥AC于点G,交AB的延长线于点F.(1)求证:直线FG是⊙O的切线;(2)若AC=10,cosA=2522.(10分)如图,△ABC中,∠C=90°,AC=BC,∠ABC的平分线BD交AC于点D,DE⊥AB于点E.(1)依题意补全图形;(2)猜想AE与CD的数量关系,并证明.23.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线与双曲线(x>0)交于点.求a,k的值;已知直线过点且平行于直线,点P(m,n)(m>3)是直线上一动点,过点P分别作轴、轴的平行线,交双曲线(x>0)于点、,双曲线在点M、N之间的部分与线段PM、PN所围成的区域(不含边界)记为.横、纵坐标都是整数的点叫做整点.①当时,直接写出区域内的整点个数;②若区域内的整点个数不超过8个,结合图象,求m的取值范围.24.(14分)如图,AB是⊙O的直径,点C在AB的延长线上,CD与⊙O相切于点D,CE⊥AD,交AD的延长线于点E.(1)求证:∠BDC=∠A;(2)若CE=4,DE=2,求AD的长.
参考答案一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1、D【解析】解:0.5纳米=0.5×0.000000001米=0.0000000005米=5×10﹣10米.故选D.点睛:在负指数科学计数法中,其中,n等于第一个非0数字前所有0的个数(包括下数点前面的0).2、D.【解析】试题分析:A、原式=a6,不符合题意;B、原式=a2+2ab+b2,不符合题意;C、原式=1,不符合题意;D、原式=a6,符合题意,故选D考点:整式的混合运算3、D【解析】
多边形的每一个内角都等于120°,则每个外角是60°,而任何多边形的外角是360°,则求得多边形的边数;再根据多边形一个顶点出发的对角线=n﹣3,即可求得对角线的条数.【详解】解:∵多边形的每一个内角都等于120°,∴每个外角是60度,则多边形的边数为360°÷60°=6,则该多边形有6个顶点,则此多边形从一个顶点出发的对角线共有6﹣3=3条.∴这个多边形的对角线有(6×3)=9条,故选:D.【点睛】本题主要考查多边形内角和与外角和及多边形对角线,掌握求多边形边数的方法是解本题的关键.4、D【解析】试题分析:根据轴对称图形和中心对称图形的概念,可知:A既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故不正确;B不是轴对称图形,但是中心对称图形,故不正确;C是轴对称图形,但不是中心对称图形,故不正确;D即是轴对称图形,也是中心对称图形,故正确.故选D.考点:轴对称图形和中心对称图形识别5、D【解析】
根据正方体平面展开图的特征得出每个相对面,再由相对面上的两个数互为相反数可得出x的值.【详解】解:“3”与“-3”相对,“y”与“-2”相对,“x”与“-8”相对,故x=8,故选D.【点睛】本题主要考查了正方体相对面上的文字,解决本题的关键是要熟练掌握正方体展开图的特征.6、C【解析】
用科学记数法表示较大的数时,一般形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为整数,据此判断即可.【详解】32400000=3.24×107元.
故选C.【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数,一般形式为a×10n,其中1≤|a|<10,确定a与n的值是解题的关键.7、D【解析】
分圆P在y轴的左侧与y轴相切、圆P在y轴的右侧与y轴相切两种情况,根据切线的判定定理解答.【详解】当圆P在y轴的左侧与y轴相切时,平移的距离为3-2=1,当圆P在y轴的右侧与y轴相切时,平移的距离为3+2=5,故选D.【点睛】本题考查的是切线的判定、坐标与图形的变化-平移问题,掌握切线的判定定理是解题的关键,解答时,注意分情况讨论思想的应用.8、C【解析】
试题分析:A、B无法进行因式分解;C正确;D、原式=(1+2x)(1-2x)故选C,考点:因式分解【详解】请在此输入详解!9、A【解析】【分析】根据三视图的知识使用排除法即可求得答案.【详解】如图,由主视图为三角形,排除了B、D,由俯视图为长方形,可排除C,故选A.【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识,做此类题时可利用排除法解答.10、C【解析】
求出<<,推出4<<5,即可得出答案.【详解】∵<<,∴4<<5,∴的值是在4和5之间.故选:C.【点睛】本题考查了估算无理数的大小和二次根式的性质,解此题的关键是得出<<,题目比较好,难度不大.二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11、1【解析】
本题首先由等边三角形的性质及垂直定义得到∠DBE=60°,∠BEC=90°,再根据等腰三角形的性质可以得出∠EBC=∠ABC-60°=∠C-60°,最后根据三角形内角和定理得出关系式∠C-60°+∠C=90°解出∠C,推出AD=DE,于是得到结论.【详解】∵△BDE是正三角形,∴∠DBE=60°;∵在△ABC中,∠C=∠ABC,BE⊥AC,∴∠C=∠ABC=∠ABE+∠EBC,则∠EBC=∠ABC-60°=∠C-60°,∠BEC=90°;∴∠EBC+∠C=90°,即∠C-60°+∠C=90°,解得∠C=75°,∴∠ABC=75°,∴∠A=30°,∵∠AED=90°-∠DEB=30°,∴∠A=∠AED,∴DE=AD=1,∴BE=DE=1,故答案为:1.【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及等边三角形的性质及垂直定义,解题的关键是根据三角形内角和定理列出符合题意的简易方程,从而求出结果.12、3(m-1)2【解析】试题分析:根据因式分解的方法,先提公因式,再根据完全平方公式分解因式即可,即3m2-6m+3=3(m2-2m+1)=3(m-1)2.故答案为:3(m-1)2点睛:因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤:一提(公因式)、二套(平方差公式,完全平方公式)、三检查(彻底分解).13、3【解析】
先根据a(a+2)=1得出a2=1-2a,再把a2=1-2a代入a2+进行计算.【详解】a(a+2)=1得出a2=1-2a,a2+1-2a+====3.【点睛】本题考查的是代数式求解,熟练掌握代入法是解题的关键.14、【解析】
根据,DE∥BC,结合平行线分线段成比例来求.【详解】∵,DE∥BC,∴,∴==.∵,∴∴.故答案为:.【点睛】本题考查的知识点是平面向量,解题的关键是熟练的掌握平面向量.15、【解析】
先提取公因式x,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.【详解】解:原式,故答案为:【点睛】本题考查提公因式,熟练掌握运算法则是解题关键.16、答案不唯一【解析】分析:把y改写成顶点式,进而解答即可.详解:y先向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位得到抛物线.故答案为y先向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位得到抛物线.点睛:本题考查了二次函数图象与几何变换:先把二次函数的解析式配成顶点式为y=a(x-)²+,然后把抛物线的平移问题转化为顶点的平移问题.17、﹣.【解析】
原式利用零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值.【详解】原式=﹣1=﹣.故答案是:﹣.【点睛】考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.三、解答题(共7小题,满分69分)18、(1)A种钢笔每只15元B种钢笔每只20元;(2)方案有两种,一方案为:购进A种钢笔43支,购进B种钢笔为47支方案二:购进A种钢笔44支,购进B种钢笔46支;(3)定价为33元或34元,最大利润是728元.【解析】(1)设A种钢笔每只x元,B种钢笔每支y元,由题意得,解得:,答:A种钢笔每只15元,B种钢笔每支20元;(2)设购进A种钢笔z支,由题意得:,∴42.4≤z<45,∵z是整数z=43,44,∴90-z=47,或46;∴共有两种方案:方案一:购进A种钢笔43支,购进B种钢笔47支,方案二:购进A种钢笔44只,购进B种钢笔46只;(3)W=(30-20+a)(68-4a)=-4a²+28a+680=-4(a-)²+729,∵-4<0,∴W有最大值,∵a为正整数,∴当a=3,或a=4时,W最大,∴W最大==-4×(3-)²+729=728,30+a=33,或34;答:B种铅笔销售单价定为33元或34元时,每月获利最大,最大利润是728元.19、(1)EH2+CH2=AE2;(2)见解析.【解析】分析:(1)如图1,过E作EM⊥AD于M,由四边形ABCD是菱形,得到AD=CD,∠ADE=∠CDE,通过△DME≌△DHE,根据全等三角形的性质得到EM=EH,DM=DH,等量代换得到AM=CH,根据勾股定理即可得到结论;
(2)如图2,根据菱形的性质得到∠BDC=∠BDA=30°,DA=DC,在CH上截取HG,使HG=EH,推出△DEG是等边三角形,由等边三角形的性质得到∠EDG=60°,推出△DAE≌△DCG,根据全等三角形的性质即可得到结论.详解:(1)EH2+CH2=AE2,如图1,过E作EM⊥AD于M,∵四边形ABCD是菱形,∴AD=CD,∠ADE=∠CDE,∵EH⊥CD,∴∠DME=∠DHE=90°,在△DME与△DHE中,,∴△DME≌△DHE,∴EM=EH,DM=DH,∴AM=CH,在Rt△AME中,AE2=AM2+EM2,∴AE2=EH2+CH2;故答案为:EH2+CH2=AE2;(2)如图2,∵菱形ABCD,∠ADC=60°,∴∠BDC=∠BDA=30°,DA=DC,∵EH⊥CD,∴∠DEH=60°,在CH上截取HG,使HG=EH,∵DH⊥EG,∴ED=DG,又∵∠DEG=60°,∴△DEG是等边三角形,∴∠EDG=60°,∵∠EDG=∠ADC=60°,∴∠EDG﹣∠ADG=∠ADC﹣∠ADG,∴∠ADE=∠CDG,在△DAE与△DCG中,,∴△DAE≌△DCG,∴AE=GC,∵CH=CG+GH,∴CH=AE+EH.点睛:考查了全等三角形的判定和性质、菱形的性质、旋转的性质、等边三角形的判定和性质,解题的关键是正确的作出辅助线.20、(1)DE与⊙O相切,理由见解析;(2)阴影部分的面积为2π﹣.【解析】
(1)直接利用角平分线的定义结合平行线的判定与性质得出∠DEB=∠EDO=90°,进而得出答案;(2)利用勾股定理结合扇形面积求法分别分析得出答案.【详解】(1)DE与⊙O相切,理由:连接DO,∵DO=BO,∴∠ODB=∠OBD,∵∠ABC的平分线交⊙O于点D,∴∠EBD=∠DBO,∴∠EBD=∠BDO,∴DO∥BE,∵DE⊥BC,∴∠DEB=∠EDO=90°,∴DE与⊙O相切;(2)∵∠ABC的平分线交⊙O于点D,DE⊥BE,DF⊥AB,∴DE=DF=3,∵BE=3,∴BD==6,∵sin∠DBF=,∴∠DBA=30°,∴∠DOF=60°,∴sin60°=,∴DO=2,则FO=,故图中阴影部分的面积为:.【点睛】此题主要考查了切线的判定方法以及扇形面积求法等知识,正确得出DO的长是解题关键.21、(3)证明见试题解析;(3)3.【解析】试题分析:(3)先得出OD∥AC,有∠ODG=∠DGC,再由DG⊥AC,得到∠DGC=90°,∠ODG=90°,得出OD⊥FG,即可得出直线FG是⊙O的切线.(3)先得出△ODF∽△AGF,再由cosA=25,得出cos∠DOF=2试题解析:(3)如图3,连接OD,∵AB=AC,∴∠C=∠ABC,∵OD=OB,∴∠ABC=∠ODB,∴∠ODB=∠C,∴OD∥AC,∴∠ODG=∠DGC,∵DG⊥AC,∴∠DGC=90°,∴∠ODG=90°,∴OD⊥FG,∵OD是⊙O的半径,∴直线FG是⊙O的切线;(3)如图3,∵AB=AC=30,AB是⊙O的直径,∴OA=OD=30÷3=5,由(3),可得:OD⊥FG,OD∥AC,∴∠ODF=90°,∠DOF=∠A,在△ODF和△AGF中,∵∠DOF=∠A,∠F=∠F,∴△ODF∽△AGF,∴ODAG=OFAF,∵cosA=25,∴cos∠DOF=25,∴OF=ODcos∠DOF=52考点:3.切线的判定;3.相似三角形的判定与性质;3.综合题.22、(1)见解析;(2)见解析.【解析】
(1)根据题意画出图形即可;(2)利用等腰三角形的性质得∠A=45∘.则∠ADE=∠A=45°,所以AE=DE,再根据角平分线性质得CD=DE,从而得到AE=CD.【详解】解:(1)如图:(2)AE与CD的数量关系为AE=CD.证明:∵∠C=90°,AC=BC,∴∠A=45°.∵DE⊥AB,∴∠ADE=∠A=45°
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