2020-2021高中数学人教版第一册学案：4.1.2无理数指数幂及其运算性质含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第一册学案：4.1.2无理数指数幂及其运算性质含解析4．1.2无理数指数幂及其运算性质［目标］1。理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂的互化；2。掌握有理数指数幂的运算性质．[重点］根式与分数指数幂的互化．[难点]运用有理数指数幂运算性质进行化简、求值．知识点一分数指数幂的意义[填一填][答一答]1．可不可以理解为eq\f（m，n）个a相乘？它的实质是什么？2．负数也有分数指数幂吗？提示：在保证相应的根式有意义的前提下,负数也存在分数指数幂，如＝eq\r（4，－53)就没有意义．知识点二有理数指数幂的运算性质[填一填］(1）aras＝ar＋s（a>0，r，s∈Q）；（2）(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；（3）(ab）r＝arbr(a〉0，b>0，r∈Q）．[答一答]3．在有理数指数幂的运算性质中，为什么要规定a>0?提示：(1)若a＝0,∵0的负数指数幂无意义,∴(ab)r＝ar·br，当r〈0时不成立,∴a≠0。（2）若a<0，（ar)s＝ars也不一定成立，∴a〈0时不成立．因此规定a〉0。4．若a∈R,α、β∈Q，（aα)β一定等于（aβ）α吗？试举例说明．提示:不一定相等．是没有意义的．知识点三无理数指数幂[填一填］一般地，无理数指数幂aα（a〉0，α是无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．［答一答]5．为什么在规定无理数指数幂的意义时，必须规定底数是正数？提示：底数大于零是必要的,否则会造成混乱,如a＝－1，则（－1）α是1还是－1就无法确定了,规定后就清楚了．类型一根式与分数指数幂的互化[例1］将下列根式化为分数指数幂的形式：（1）eq\r（\f(1,a）\r(\f（1,a）))(a>0）；（2)eq\f（1，\r(3,x\r(5，x2）2)）（x≠0)；[变式训练1］用分数指数幂表示下列各式（a>0，b>0）：（1)eq\r(3,a）·eq\r（4，a）；(2）eq\r（a\r(a\r(a）));(3)eq\r(3，a2）·eq\r(a3);(4）（eq\r（3,a)）2·eq\r（ab3）.类型二利用有理数指数幂的性质化简与求值［例2]计算下列各式：1进行指数幂运算的一般方法为化负数为正数,化根式为分数指数幂，化小数为分数.2一般情况下，指数的底数是大于0的，但具体题目要具体对待，一定要注意底数的正负.［变式训练2］计算或化简下列各式(其中式子中的字母均为正数）．(1)（aeq\f（1，2)·eq\r（3，b2))－3÷eq\r(b－4·\r(a－2））；(2）[（0。027eq\f（2，3））－1.5］eq\f（1,3)＋［810.25－(－32）0。6－0。02×（eq\f(1,10))－2]eq\f(1，2).类型三条件因式的化简与求值条件求值是代数式求值中的常见题型,一般要结合已知条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用，如条件中的隐含条件,整体代入等，可以简化解题过程．本题若通过＝3解出a的值代入求值，则非常复杂．[变式训练3］已知x＋y＝12，xy＝9，且x<y，求的值．1.eq\r(3，a）·eq\r(6，－a）等于（A)A．－eq\r(－a） B．－eq\r(a)C.eq\r（－a） D。eq\r(a）解析：由已知,得a≤0，则eq\r（3,a)·eq\r(6，－a)＝＝－eq\r（－a)，故选A。2．计算－0。01－0。5＋0.2－2－(2－3)－1＋(10－3)0的结果为(B)A．15 B．17C．35 D．37解析：原式＝＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1，5））)－2－（－1）－1＋1＝－10＋52＋1＋1＝17。解析：原式＝＋4＝－23.5．已知＝4,求eq\f(x＋x－1＋4，x2＋x－2－200)的值．解:∵＝4，∴x＋2＋x－1＝16。∴x＋x－1＝14,∴x2＋2＋x－2＝196，∴x2＋x－2＝194，∴原式＝eq\f(14＋4,194－200)＝－3.——本课须掌握的问题根式一般先转化成分数指数幂，然后利用有理数指数幂的运算性质进行运算．在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的