圆的一般方程课件安徽省淮南第四中学高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

把圆的标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2展开，得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0由于a,b,r均为常数,令-2a=D，-2b=E，a2+b2-r2=F结论：任何一个圆方程可以写成下面形式

x2

＋y2＋Dx＋Ey＋F＝01.是不是任何一个形如x2

＋y

2＋Dx＋Ey＋F＝0方程表示的曲线都是圆呢？答案：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定是圆的方程.2.下列方程表示什么图形？（1）x2+y2-2x+4y+1=0；（2）x2+y2-2x+4y+5=0；（3）x2+y2-2x+4y+6=0.(x-1)2+(y+2)2=4(x-1)2+(y+2)2=0(x-1)2+(y+2)2=-1把方程：x2

＋y

2＋Dx＋Ey＋F＝0配方(1)当D2+E2-4F>0时,表示以（-

,

-）为圆心，以

（）为半径的圆.D2E212D2+E2-4F(x+)2+(y+)2=D2E24D2+E2-4F(2)当D2+E2-4F=0时,方程只有一组解x=-

，y=-，表示一个点(-,-)D2E2D2E2(3)当D2+E2-4F＜0时,方程无实数解,所以不表示任何图形.

圆的一般方程:x2

＋y

2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2+E2-4F>0）说明：①x2与y2系数相同并且不等于0；②没有xy这样的二次项；

③圆心为(-,-)，半径为D2E212D2+E2-4F思考：圆的标准方程与一般方程各有什么特点？(x-a)2+(y-b)2=r2x2

＋y

2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2+E2-4F>0）标准方程易于看出圆心与半径.一般方程突出形式上的特点.题型一圆的一般方程的辨析例1若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：(1)实数m的取值范围；(2)圆心坐标和半径．(1)据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0，即4m2＋4－4m2－20m＞0，m∈(-∞,)(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m，1)，已知曲线C：x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0.求证：当m≠2时，曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上．∵D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2.又m≠2，∴(m－2)2＞0，∴D2＋E2－4F＞0，即曲线C是一个圆．设圆心坐标为(x，y)，消去m，得x＋2y＝0，即圆心在直线x＋2y＝0上.题型二求圆的一般方程法一(待定系数法)：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，将P，Q的坐标分别代入上式，令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，∴(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.故所求方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.

利用待定系数法求圆的方程的解题策略(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r；(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.

题型三求动点的轨迹方程角度一直接法求动点的轨迹方程设点M的坐标是(x，y)，化简，得x2＋y2＋2x－3＝0，即所求轨迹方程为(x＋1)2＋y2＝4.角度二代入法求动点的轨迹方程[例4]已知点P在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程．设点M(x，y)，点P(x0，y0)，∵点P(x0，y0)在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上，∴(2x)2＋(2y)2－8×2x－6×2y＋21＝0，角度三定义法求动点的轨迹方程例5已知直角△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求直角顶点C的轨迹方程．法一：设顶点C(x，y)，因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，所以x≠3，且x≠－1.且kAC·kBC＝－1，化简，得x2＋y2－2x－3＝0.所以直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1)．法二：同法一，得x≠3，且x≠－1.由勾股定理，得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16，化简，得x2＋y2－2x－3＝0.所以直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1)．法三：设AB的中点为D，由中点坐标公式，得D(1，0)