电磁场与电磁波(西安交大第三版)第2章课后答案

44123012340l(b)由对称性E=E+E+E=0123(c)两条半无限长线电荷产生的电场为E=E+E=E=E+E=l{()(+)}=la124ea2ea0ppE=lp0E=lp0pp总电场为E=E+E=0ab解:在无限长的半边圆筒上取宽度为ad的窄条,此窄条可看作无限长的线电荷,电荷线密度为p=pad,对积分,可得真空中无限长的半径为a的半边圆筒在轴线上的电场强度为000002-4.真空中无限长的宽度为a的平板上电荷密度为p，求空间任一点上的电场强度。s解:在平板上x'处取宽度为dx'的无限长窄条，可看成无限长的线电荷，电荷线密度为p=pdx'，在点(x,y)处产生的电场为lspsdE(x,y)=0对x'积分可得无限长的宽度为a的平板上的电荷在点(x,y)处产生的电场为exayyy0s高斯定理rs因此，电场强度为r;r>a2-6.在圆柱坐标系中电荷分布为a解:由于电荷分布具有轴对称性，电场分布也具有轴对称性，取一半径为r,单位长度的圆柱面，利用高斯定理rs因此，电场强度为2-7.在直角坐标系中电荷分布为解:由于电荷分布具有面对称性，电场分布也具有面对称性，取一对称的方矩形封闭面,利用高斯定理,穿过面积为S的电通量为E2S,方形封闭面内的x(2xSp;x<axa因此，电场强度为2-8.在直角坐标系中电荷分布为解:由于电荷分布具有面对称性，电场分布也具有面对称性，取一对称的矩形封闭面,利用高斯定理,穿过面积为S的电通量为E2S,方形封闭面内的电量为x0((2xE;0<x<a-;-a<x<02-9.在电荷密度为p(常数)半径为a的带电球中挖一个半径为b的球形空腔，空腔中心到解:由电场的叠加性,空腔中某点的电场等于完全均匀填充电荷的大球在该点的电场与完全0bb0ab3c3c0p00c为从球心指向空腔中心的矢量。|r|r02-11.已知在圆柱坐标中，电场分布为002-12.若在圆球坐标系中电位为求电荷分布。0?r2-13.分别计算方形和圆形均匀线电荷在轴线上的电位。a(b)解:(a)方形均匀线电荷在轴线上的电位方形每条边均匀线电荷的电位2C(d)=l00_L/20_L/22L00(b)圆形均匀线电荷在轴线上的电位=l=l000解:题2-5给出的电荷分布的电场为C(r)=Edrrrr0000a0r00325r(a+5b);r>a2-15四个点电荷在圆球坐标系中大小和位置分别为q(a,"/2,0)，q(a,"/2,"/2)，解此4个点电荷组成分别沿x、y轴放置的互相垂直的两对电偶极子p=2aq，000pz解a2(1,2,0)-+l点(1,2,0)到点(1,2,1)3ll2l23l300pp32-17.已知在球坐标中电场强度为E=r3，试求点(a,9,Q)与点(b,9,Q)之间的电压。r1122r1122111112(b,9,Q)(1,0,0)到点(1,2,0)-+l点(1,2,0)到点(1,2,1)113r2ablllla22解点到点(b,Q,0)之间路径l取l到点(b,Q,0)+l点(b,Q,0)到点(b,Q,0)ll1l2ap00(2)(2)介质表面的束缚电荷面密度为p'=.Ps在圆柱介质棒的侧面上束缚电荷面密度为零;在上下端面上束缚电荷面密度分别为s020.求上题中的束缚电荷在轴线上产生的电场。由例题，圆盘形电荷产生的电场为s0上下端面上束缚电荷产生的总电场为p2-21.半径为a的介质球均匀极化，P=P0z3，p求束缚电荷分布。解:(1)介质中的束缚电荷体密度为p'=一V.P=0s00中束缚电荷在球中心产生的电场。解:介质表面的束缚电荷在球心产生的电场l0给出了线电荷圆环的电场,对9积分得00000解:设无限长的线电荷沿z轴放置,利用高斯定理,容易求得介质中的电场强度为apdesSrs由此得D=srr22-25.两同心导体球壳半径分别为a、b，两导体之间介质的介电常数为e，内外导体球壳电1解：设内导体带电荷为q，由于电荷与介质分布具有球对称性，取半径为r的球面，采用高斯定理，两导体球壳之间的电场为E=qaV1r11r2_snr11a2_absnr11b2_ab2-26两同心导体球壳半径分别为a、b，两导体之间有两层介质，介电常数为c、c，介2荷面密度以及介质分界面上的束缚电荷面密度。解：设内导体带电荷为q，由于电荷与介质分布具有球对称性，取半径为r的球面，采用q高斯定理可得，D=两导体球壳之间的电场为VEdrqq)a122V2V22b解：设圆柱形电容器内导体电量为q，利用高斯定理，可得E=qqV=aE=rlnbraV1E=alnbaaV=aElnbaa如果介质的击穿场强为E，则电容器的耐压为V=aElnbbba的点电荷。(1)用介质中的高斯定理求电场强度；(2)求介质中的极化强度和束缚电荷。S上D=pnDV.D=。0dz00z2-30.有三层均匀介质，介常数分别为c1,c2p,cp,3取坐标系使分界均平行于xy面。已知三p23层介质中均为匀强场，且E=3x3+2z3，求p23解：因三层介质中均为匀强场，E1=x3+2z3，设第二、三层介质中的电场强度分别为E=E+E+E；E=E+E+E22x2y2z33x3y3z由边界条件E=E可得1t2tEx3x1x2y3y1y2123132-31.半径为a的导体球中有两个半径均为b的球形腔，在其中一个空腔中心有一个电量为q的点电荷在该球形空腔中心，如图所示，如果导体球上的总电量为0，求导体球腔中及球pqRp解：(1)在有点电荷的空腔中，由于对称性，电场强度为E01 (3)在导体球外，由于导体球为等位体，除了导体球面上外，导体球外没有电荷，因此导体球外电场具有球对称性，且导体球上的电量为q,所以导体球外的电场强度为E=rq0一半填充介电常数为的介质。当电压为V时，求电容器中的电场和电荷分布。2S11r22r由介质边界条件E=E=E，可得1r2rrqEr=2几l(+)r12内外导体之间的电压为V=Erdr=lnE=rb(eV(eV(eVa(eV2-33z>0半空间为介电常数为e的介质，z<0半空间为介电常数为e的介质，当12(1)电量为q的点电荷放在介质分界面上；(2)电荷线密度为p的均匀线电荷放在介质分界面上。l解：(1)电量为q的点电荷放在介质分界面上Spp设上、下半球面上的电位移矢量分别D、D，根据对称性，在上、下半球面上大小分别2相等，有根据边界条件E=E，因此1t2t11t22t(2)电荷线密度为pl的均匀线电荷放在介质分界面上lSpp设上、下半柱面上的电位移矢量分别D、D，根据对称性，在上、下半柱面上大小分别2相等，有nnl根据边界条件E=E，因此11t22tlpE=E=E=lE=E=E=lpppp解：(a)设导体板之间介质与空气中的电场分别为E、E，那么E、E满足关系e0e0Et+E(dt)=VeeE=eE(边界条件)求解以上两式得E=V；E=eVret+e(dt)0t+e(dt)rr根据导体表面上的边界条件p=D，在上、下导体表面上的电荷面密度为p=士eVst+e(dt)r(b)由图可见，导体板之间介质与空气中的电场为根据导体表面上的边界条件p=D，在上、下导体板与空气的界面上的电荷面密度为在上、下导体板与介质的界面上的电荷面密度为2-35在内外半径分别为a和b之间的圆柱形区域内无电荷，在半径分别为a和b的圆柱面V解：由电荷分布可知，电位仅是p的函数，电位满足的方程为1d(pd)=0pdpdp解微分方程得(p)=clnp+c2(a)=clna+c=V2(b)=clnb+c=o12V得c=，lnaVV2lnaaA解由电荷分布可知，电位仅是p的函数，电位满足的方程为1d(rd)=Ardrdrer解微分方程得d(rd)Adrdr(rd)Arcdr11d1drrA(r)rclnrcA12A(a)aclnacVA1212得 Acb2VA(ba) lnblnba(r)A(br)AV(ba)lnblnbaaV0b解：由题意，在圆柱坐标系中，电位仅是的函数，在导电平板之间电位方程为2020d2cc由边界条件(0)0;()V，得2-38.由导电平板制作的金属盒如图所示，除盒盖的电位为V外，其余盒壁电位为0，求盒解：用分离变量法，可得电位的通解为xyzAsinmxsinny(ezBez)mnacmnmna(()2()2c利用边界条件(z0)0;(zb)V，可求出系数AA0 (m)2(n)2ac2-39在EEx的匀强电场中沿z轴放一根半径为a的无限长导电圆柱后，求电位及电场。0解：由分离变量法，无限长导电圆柱外的电位的通解为(,)clnd(cmdm)(cosmbsinm)()100mmm()()dxExEcos()20000x要使式(1)的电位在时等于式(2)，可得到系数x再由导体界面的边界条件(a)0再由导体界面的边界条件(a)0得da2E,d010m1因此，电位的特解为2-40.在无限大的导电平板上方距导电平板h处平行放置无限长的线电荷，电荷线密度为，求导电平板上方的电场。l解:用镜像法,导电平板的影响等效为镜像位置的一个电荷线密度为-的线电荷,导电平板ll上方的电场为0pp02式中r、r分别为线电荷及其镜像线电荷到场点的距离矢量。122-41由无限大的导电平板折成45o的角形区，在该角形区中某一点(x,y,z)有一点电荷000解：如图将空间等分为8个区，在每个区中以原来的导电面为镜面可以依次找到镜像位置，原电荷的位置为(x,y,z)，在圆柱坐标系中为(p,Q,z)，另外7个镜像电荷在圆柱坐000000标系中的坐标为i0i010203040506070234567对于场点(x,y,z)，电荷到场点的距离矢量为则场点的场为(i)=qi0i=0i解：点电荷q受到的力(场)有两部分，一部分等效为镜像电荷q'的力，另一部分等效为位于球中心的点电荷q"的力。由镜像法，镜像电荷q'的大小和位置分别为ffffQq=Q-q';因此点电荷q受到f2f2(f一d)2r2r2(2)导电球壳电位为V；(3)导电球壳上的总电量为Q；分别求导电球壳内外的电位分布。解：(1)导电球壳电位为零由于导电球壳电位为零，导电球壳外无电荷分布，因此导电球壳外的电位为零。导电球壳内的电位的电位由导电球壳内的点电荷和导电球壳内壁上的电荷产生，而导电球壳内壁上的电荷可用位于导电球壳外的镜像电荷等效，两个电荷使导电球壳内壁面上的电位为零，因此镜像电荷的大小、距球心的距离分别为dd导电球壳内的电位为=q{q一q'}212rdd(2)导电球壳电位为V对称的，其电位满足利用边界条件得==rbV r导体球壳内的电位可看成两部分的叠加，一部分是内有点电荷但球壳为零时的电位，这一因此导电球壳电位为V时，导电球壳内的电位为V212当导电球壳上的总电量为Q时，从导电球外看，导电球面是等位面，且导电球外的电位是球对称的，导电球壳内的总电量为Q+q,其电位满足==00=q{qq'}+U4rr22-44无限大导电平面上有一导电半球，半径为a，在半球体正上方距球心及导电平面h处解：要使导体球面和平面上的电位均为零，应有三个镜像电荷，如图所示。三个镜像电荷hhh点电荷q所受的力为三个镜像电荷的电场力，即=q2{a/h+a/h1}4(ha2/h)2(h+a2/h)2(2h)202-45无限大导电平面上方平行放置一根半径为a的无限长导电圆柱，该导电圆柱轴线距导解：如果无限长导电圆柱上有电荷线密度p，导电平面可用镜像位置的线电荷等效，镜像l电荷线密度为-p。由导体圆柱的镜像法可求得导体圆柱的电位，那么，单位导体圆柱l与导电平面之间的电容为p2C=l=0ln(h+h2a2)a2-46z>0半空间为介电常数为e的介质，z<0半空间为介电常数为e的介质，在界面两边12距界面为h的对称位置分别放置电量分别为q和q的点电荷。分别计算两个点电荷所受得12的场时，原来的问题可等效为图2-41(c)。这样上半空间的电位可表示为=1(q1+q'2)12式中r为q到场点的距离，r为q的镜像位置的电荷q'到场点的距离；下半空间的电位11212可表示为=1(q2+q'1)err432421=和D=D得12s1n1ns(q+q')/e=(q'+q)/e121122(qq')=(q'q)12122eeeq'=2q+12q1e+e1e+e212122eeeq'=1q+12q2e+e2e+e11212F=12FF=12F=1212(a)(b)(c)2-47.两同心导体球壳半径分别为a、b，两导体之间介质的介电常数为c，求两导体球壳之解：设内导体带电荷为q，由于电荷与介质分布具有球对称性，取半径为r的球面，采用高斯定理，两导体球壳之间的电场为E=qr4"cr2aqVb_a2-48两同心导体球壳半径分别为a、b，两导体之间有两层介质，介电常数为c、c，介2c解：设内导体带电荷为q，由于电荷与介质分布具有球对称性，取半径为r的球面，采用两导体球壳之间的电场为rqa22cacccb2b所示。分别计算两种情况下导电平板之间的电容。a)(b)解：(a)设导体板之间介质与空气中的电场分别为E、E，那么E、E满足关系e0e0Et+E(dt)=VeeE=eE(边界条件)求解以上两式得VeVet+e(dt)et+e(dt)0t+e(dt)rr根据导体表面上的边界条件p=D，在上、下导体表面上的电荷面密度为eVr=s=p=s=Vt+e(dt)r(b)由图可见，导体板之间介质与空气中的电场为根据导体表面上的边界条件p=D，在上、下导体板与空气的界面上的电荷面密度为在上、下导体板与介质的界面上的电荷面密度为pA+pAeA(at)eAtC=0s0ese=0+Vadad如图所示。一块板电位为V，另一块电位为0。忽略边缘效应，求两块板间的电位分布，电场，以及单位长度的电容。DD解：在圆柱坐标系中，电位只和有关，在两块导电平板之间0022此方程的通解为00ˆ1ˆˆ1ˆ6VaaCVCVlna用两种方法求解。1)用电位求电场能量WqC2aV2e220Err2电场能量为WEdVaV)24r2dr2aV2e2020r20Va2解：设圆球形电容器内导体上的电荷为q，由高斯定理可求得在内外导体之间qr4r2从而可求得内外导体之间的电压为DDaac12圆球形电容器的电容为C==1C==122ac1cb12V2W=V2C=122ac1cbV12解：设圆柱形电容器内导体上的电荷为q，用高斯定理，在内外导体之间=q=r2rdr