石大数学教育学课件15培养数学能力的教学

第十五章

培养数学能力的教学

一、数学能力及结构

1、数学能力数学能力是一种特殊的心理能力。目前尚未给出确定的定义，大多数学者认为，应当把数学能力区分为两种水平，即学习数学（再创性）的数学能力和“创造性”的数学能力。所谓学习数学的能力，主要表现在学习（学会，掌握）数学知识的过程中，迅速而成功地掌握适当知识和技能的能力。

所谓“创造性”数学能力，主要表现在数学科研活动中。它能开拓和发展数学知识，并能产生具有社会价值的新成果、新成就。从技能角度来定义，数学能力就是数学测验和求解数学问题的能力；从智力的角度来定义，数学能力就是一种理解数学关系的内在联系和能用数学概念精确地思考的能力。

2、数学能力的结构关于数学能力结构的研究，目前还没有统一的看法。具有代表性的有：克鲁捷茨基的观点，他认为：“如果我们从数学思维的基本特征中印发出来数学能力成分的话，则应把以下能力加以列举：

（1）把数学形式从内容中分离出来，把数学材料形式化，从具体的数值关系和空间形式中抽象出它们，以及用形式的结构（既关系和联系的结构）来进行运算的能力。（2）概括数学材料，使自己摆脱无关的内容而找出最重要的东西，以及在外表不同的对象中发现共同点的能力。

（3）用数学和其他符号来进行运算的能力。（4）‘连贯而适当分段的逻辑推理’的能力，这种推理是证明、形式化和演绎所必需的。（5）缩短推理过程，用简缩的结构来进行思维的能力。（6）逆转心理过程（从顺向的思维系列转到逆向的思维系列）的能力。

（7）思维的灵活性，既从一种心理运算转到另一种心理运算的能力；从陈规俗套的约束中解脱出来。这种思维品质对数学家的创造性工作来说尤为重要。（8）数学记忆力。它从数学科学的特征中产生，是一种对于概括、形式化结构和逻辑模式的记忆力。（9）形式空间概念的能力，它与数学的分支几何学（特别是立体几何）的存在密切相关。

上述列举中试图排除非常一般的种类（如抽象思维能力），尝试把它们‘分解’成比较确定的种类，这就是数学能力结构成分的假定模式。上述观点以数学思维为核心阐述了数学能力的成分结构，是目前对数学能力最为详尽的一种论述。第二种是李镜流在《教育心理学新探》一书中所表述的观点，这种观点认为数学能力的结构为：

(1)认识：包括数的概念、符号、图形、数量关系以及空间关系的认识。

(2)操作：包括对解题思路、解题程序和表达以及逆运算的操作。

(3)策略：包括解题直觉、解题方式方法、速度及准确性、创造性、自我检查、评定等。以上数学能力可归结：运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力，这是中学数学大纲明确在教学中进行培养的三大基本能力。

二、培养数学基本能力的途径

１、运算能力的培养运算能力是数学能力的一个重要组成部分，培养学生的运算能力，是中学数学教学目的之一。运算能力包括对数进行运算的能力和对式进行变换的能力。运算能力是在实际运算的训练中逐步形成和发展，并在以后的数学运算中得到表现。主要表现为运算结果的正确和演算速度的快捷两个方面。因此，在中学数学教学中，应重视培养学生的正确而迅速的运算能力。

（１）加强数学基础知识的教学牢固地掌握数学概念、定理、公式、法则，为数学运算奠定基础。学生运算能力的优劣，很大程度上受学生掌握数学基础知识是否牢固的影响。对学生运算中常见的错误，如概念认识不清，公式不能熟记，法则或定理运用错误等，教学中，教师可采取以下措施：

在讲授新知识时，教师要讲清概念的来龙去脉，使学生准确认识并掌握；对定理、公式、法则等的教学，教师应引导学生分析论证，加深理解；对这些概念、定理、公式、法则等的运用条件要安排学生课堂进行运算训练或课外开展一些运算比赛活动等形式，以期达到牢固掌握，熟练运用。

对定理、法则、公式（特别是公式）的记忆，教师应指导学生用较好地记忆方式记忆，应总结这样的方法。如可用“比较记忆法”、“联想记忆法”、“分类记忆法”、“重点记忆法”以及“特值记忆法”等，帮助学生达到熟记公式的目的。如记忆“诱导公式”：等公式时，可用“特值记忆法”把此角看成锐角即可熟记公式。再如“分式运算法则”，可联想到“分数运算法则”；“‘球锥’（球缺加圆锥）体积公式”可联想到“圆锥体积公式”来理解和记忆。

（２）加强运算基本技能与技巧的训练能力的形成离不开人的具体活动，培养运算能力，就必须加强运算基本技能的训练。首先，加强口算与速算的训练是培养运算能力的基本途径。口算与速算不仅可以节省时间，提高解题效率，而且能简化解题过程，减少思维障碍，减少思维和运算错误。

其次，熟记一些常用数据，可以提高运算速度和正确性。如特殊角的三角函数值；一些常见的勾股数组；三角形的边与高、外接圆半径、内切圆半径等的关系；比较小的自然数的平方数和立方数；以及特殊常数等的值。

另外，要养成验算的好习惯。验算是发现并纠正运算中差错的有效方法，掌握常用的一些验算方法，如特值法、代值法、逆运算法、估值法等，将有助于提高学生的数学运算能力。最后，在训练中，应注意训练题的设置，要由模仿和单一性的学习，逐步过渡到变式和综合性的练习。

（3）掌握并运用运算的通法通则

运算的法则是具体运算规则的科学总结，对运算具有一定的指导作用。只有正确掌握数学运算的通法通则，才可能实现正确而迅速的运算。

2、逻辑思维能力的培养

逻辑思维能力，是正确、合理地进行思考的能力。是现代社会人们必须具备的能力。它可以帮助人们正确认识客观世界，寻求真理。它在能力培养中起到核心的作用，是学习数学知识、运用数学知识不可缺少的能力。所以，逻辑思维能力的培养，越来越多地受到人们的关注，这在新编高中试验教材中得以体现。

逻辑思维能力，主要包括形式思维能力和辩证思维能力。

形式思维是凭借概念，并按照形式逻辑的规律而进行的思维，它的思维的形式为概念、判断和推理。辩证思维也是凭借概念，但却是按照辩证逻辑的规律而进行的思维，它的思维的形式也是概念、判断和推理。

思维是客观现实在人脑中的反映。而客观现实有其相对稳定或变化不大的一面，也有其不断发展、不断变化的一面。形式思维就是在相对稳定的情况下去认识客观现实的，而辩证思维是在不断发展的情况下去认识客观现实的。两者既有联系，又有区别。

在形式思维的能力培养上，就要求在思考与解决问题时，能正确使用概念，明确地判断，并合乎逻辑地进行分析综合、抽象概括、推理论证。不论是对概念的理解、数式的变换、命题的论证、图表的制作、问题的分析与解决等，都必须做到思路清晰、因果分明、推理有据；在辩证思维的能力培养上，要求在思考与解决问题时，能够用联系和制约、变化与发展的观点，对立统一的规律，以及用否定之否定的规律，来理解、掌握和应用数学知识。

培养学生逻辑思维能力可采取以下一些基本的途径：

（1）结合数学基础知识的教学培养能力。知识是能力的载体，能力是知识的再创造。逻辑思维是抽象的思维，培养逻辑思维能力，就必须从感性认识入手，即在形象思维的基础上，创造条件，使之转化为逻辑思维。在中学数学基础知识的教学中，教师可通过实例先让学生“意会”，再逐步领会，最后达到掌握的目的。这一教学过程，就是思维形成的过程。

（2）加强思维基本功训练

培养逻辑思维能力，就要让学生在思维中学会思维，就必须有目的、有计划地训练学生逻辑思维的基本功。

①作关于概念的思维训练。可引导学生先把抽象的概念形象化，再把具体的事物抽象化，以帮助学生理解概念，形成概念和掌握概念。

②作判断的思维训练。可通过教会学生审题的方法，揭示问题因果关系；通过讲解四种命题的基本形式及其变换的训练，加深理解命题的四种形式的真伪、等价关系及其在推理论证中的代换作用。对充分条件和必要条件的训练，阐明充分条件用以证实命题的真实性，必要条件用以揭示命题的虚假性。

③作推理论证的思维训练。可引导学生掌握推理论证问题的格式，学习并掌握各种推理方法，并能用以论证和解决问题。加强思维基本功训练的同时，教师要引导学生善于总结解题规律、积累解题经验，学习并掌握辩证的思维方法。

（3）通过对问题解决的教学，培养能力

解决问题过程，就是一个思维的过程。合乎逻辑的思维，就能获得正确而合理的分析，就容易找到解题的途径，从而顺利地解决问题。因此，运用数学知识来分析和解决实际问题的过程就是培养逻辑思维能力的过程。

3、空间想象能力的培养

想象是一个创造性的思维活动，它是指在头脑里呈现出某种曾感知过的东西，或者创造出某种未曾感知的物体和现象的形象，或者概括形成某些新的概念。想象运用于空间形式就是空间想象。数学中的空间想象能力，是指对物体（即客观存在着的空间形式）的形状、大小和位置关系的想象力。

培养空间想象能力，一般有以下五个方面的要求：一是能想象出几何概念的实物原型；二是熟悉基本的几何图形、能准确地画图，能在头脑中分析基本图形的基本元素间的位置关系和度量关系，并能从复杂图形中分解出基本图形；三是对客观存在着的空间模型，能在头脑中正确地反映出来，形成空间概念；四是能借助图形来反映并思考客观事物的空间形状及位置关系；五是能借助图形来反映并思考用语言或式子所表达的空间形状及位置关系。

培养学生空间想象能力的主要途径有：

（1）借助实物模型进行直观教学。通过学生对实物模型的观察、剖析，使实物模型直观形象化。再通过学生制作模型、实物观测等实践活动，使学生形成空间观念，并使空间形式在学生头脑中具体化、形象化。借助实物模型进行直观教学，使形象更深刻，想象更丰富，是培养学生空间想象能力的最有效的途径之一。

（2）加强识图与画图的训练。

空间想象力是形象思维与逻辑思维交替作用的思维过程。表达这种思维的最好语言是几何语言（即几何图形），它能最简捷最直观地表达空间形式。数学教学中，教师应重视画图教学，作图要有示范性，便于学生识图和画图，加深对几何语言的理解。

（3）加强基础知识的教学。

学生学习基础知识的过程，也是逐步形成空间形式和空间观念、发展空间想象力的过程。理解并掌握有关的数学基础知识和基本技能，有助于在头脑中再现有关的空间形式，也有助于把形成的空间形式准确地用几何语言（图形）表述出来。

（4）重视形数结合的训练。

形（图形、图象、图表），具有具体化、形象化的特点；数（数量关系），具有概括和抽象的特征。形数结合是直观与抽象、感知与思维的结合。具体的结合过程，需要空间想象力和创造力。

一方面根据数的特征，通过唤起表象或创造想象，构造相应的几何图形，并利用图形的特征和规律，解决数的问题。另一方面，又可将图形信息部分或全部地转换成数式信息，削弱或削除形的推理成份，使形的问题归结为数量关系的问题来解决。如直角坐标系的建立，就是这一方法的具体体现。

中学数学教学中存在不少数形结合的典型范例和习题，教师应充分认识到数形结合思想在培养学生空间想象力中的作用。通过典型范例的讲解，引导学生总结数形结合的解题规律，以及数形结合方法的要求条件和运用范围，使学生掌握这一重要的解题方法，提高学生综合运用数学知识的能力。

4、分析和解决问题能力的培养

分析和解决问题能力的培养是溶于三大数学基本能力的培养之中的。解决问题的关键是分析问题。分析按思维探索的方向可分为：综合法（即“由因导果”）和分析法（即“执果索因”）两种。

在中学数学教学中，培养学生的解题能力的基本途径有：

（1）解题的通法通则是培养解题能力的基础。数学解题有其规律性，不论是“基础题”，还是较复杂的“综合题”，解法大都有一种“有法可循”的感觉。对中学数学教材中的例题、习题，更是如此。因此，应强调通法、通则的教学，益于学生理解和掌握，它是培养学生解题能力的基础。

（2）灵活运用数学知识和熟记技巧是培养解题能力的重要手段。数学解题策略按解题途径可分为“由因导果”，“执果索因”，以及两头凑的综合分析法。解题关键是熟记和灵活运用知识