2023年上海市各区2023届中考二模数学分类汇编：压轴题专题(含答案)

上海市各区2023届九年级中考二模数学试卷精选汇编：压轴题专题宝山区、嘉定区25.〔此题总分值14分，第〔1〕小题4分，第〔2〕小题5分，第〔3〕小题5分〕在圆中，、是圆的半径，点在劣弧上，，，∥，联结.〔1〕如图8，求证：平分；〔2〕点在弦的延长线上，联结，如果△是直角三角形，请你在如图9中画出点的位置并求的长；〔3〕如图10，点在弦上，与点不重合，联结与弦交于点，设点与点的距离为，△的面积为，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围.图8图8图9图10图825.〔1〕证明：∵、是圆的半径图8∴…………1分∴…………1分∵∥∴…………1分∴∴平分…………1分(2)解：由题意可知不是直角，所以△是直角三角形只有以下两种情况:和当，点的位置如图9-1……………1分图9-1过点作,垂足为点图9-1∵经过圆心∴∵∴在Rt△中，∵∴∵∥∴∵∴∴四边形是矩形图9-2∴图9-2∴……………2分②当，点的位置如图9-2由①可知，在Rt△中，∴……………2分综上所述，的长为或.说明：只要画出一种情况点的位置就给1分，两个点都画正确也给1分.〔3〕过点作,垂足为点图10由〔1〕、〔2〕可知，图10由〔2〕可得：∵∴……………1分∵∥∴……………1分又,,∴∴……………1分∴∴……………1分自变量的取值范围为……………1分长宁区25．〔此题总分值14分，第〔1〕小题4分，第〔2〕小题4分，第〔3〕小题6分〕在圆O中，C是弦AB上的一点，联结OC并延长，交劣弧AB于点D，联结AO、BO、AD、BD.圆O的半径长为5，弦AB的长为8．〔1〕如图1，当点D是弧AB的中点时，求CD的长；〔2〕如图2，设AC=x，，求y关于x的函数解析式并写出定义域；〔3〕假设四边形AOBD是梯形，求AD的长．图1图1图2备用图第25题图tututu图25.〔此题总分值14分，第〔1〕小题4分，第〔2〕小题4分，第〔3〕小题6分〕解：〔1〕∵OD过圆心，点D是弧AB的中点，AB=8，∴OD⊥AB，〔2分〕在Rt△AOC中，，AO=5，∴〔1分〕，〔1分〕〔2〕过点O作OH⊥AB，垂足为点H，那么由〔1〕可得AH=4，OH=3∵AC=x，∴在Rt△HOC中，，AO=5，∴，〔1分〕∴〔〕〔3分〕〔3〕①当OB//AD时，过点A作AE⊥OB交BO延长线于点E，过点O作OF⊥AD,垂足为点F，那么OF=AE，∴在Rt△AOF中，，AO=5，∴∵OF过圆心，OF⊥AD，∴.〔3分〕②当OA//BD时，过点B作BM⊥OA交AO延长线于点M，过点D作DG⊥AO，垂足为点G，那么由①的方法可得，在Rt△GOD中，，DO=5，∴，，在Rt△GAD中，，∴〔3分〕综上得崇明区25．〔此题总分值14分，第(1)小题4分，第(2)小题4分，第(3)小题6分〕如图，中，，，，D是AC边上一点，且，联结BD，点E、F分别是BC、AC上两点〔点E不与B、C重合〕，，AE与BD相交于点G．〔1〕求证：BD平分；〔2〕设，，求与之间的函数关系式；〔3〕联结FG，当是等腰三角形时，求BE的长度．〔备用图〕A〔备用图〕ABCD〔第25题图〕ABCDGEF25．〔总分值14分，第〔1〕小题4分，第〔2〕小题4分，第〔3〕小题6分〕〔1〕∵，又∵∴∴……………1分∵∴又∵是公共角∴…………1分∴，∴∴∴………1分∴∴平分………1分〔2〕过点作交的延长线于点∵∴∵，∴∴……1分∵∴∴∴…1分∵即∵∴又∵∴……………1分∴∴∴…………1分〔3〕当△是等腰三角形时，存在以下三种情况：1°易证，即，得到………2分2°易证，即，…………2分3°易证，即………2分奉贤区25．〔此题总分值14分，第(1)小题总分值5分，第(2)小题总分值5分，第(3)小题总分值4分〕：如图9，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C在半径OB上，AC的垂直平分线交OA于点D，交弧AB于点E，联结BE、CD．〔1〕假设C是半径OB中点，求∠OCD的正弦值；〔2〕假设E是弧AB的中点，求证：；〔3〕联结CE，当△DCE是以CD为腰的等腰三角形时，求CD的长．图图9ABCDOE备用图ABO备用图ABO黄浦区25．〔此题总分值14分〕如图，四边形ABCD中，∠BCD=∠D=90°，E是边AB的中点.AD=1，AB=2.〔1〕设BC=x，CD=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；〔2〕当∠B=70°时，求∠AEC的度数；〔3〕当△ACE为直角三角形时，求边BC的长.25.解：〔1〕过A作AH⊥BC于H，————————————————————〔1分〕由∠D=∠BCD=90°，得四边形ADCH为矩形.在△BAH中，AB=2，∠BHA=90°，AH=y，HB=，所以，——————————————————————〔1分〕那么.———————————————〔2分〕〔2〕取CD中点T，联结TE，————————————————————〔1分〕那么TE是梯形中位线，得ET∥AD，ET⊥CD.∴∠AET=∠B=70°.———————————————————————〔1分〕又AD=AE=1，∴∠AED=∠ADE=∠DET=35°.——————————————————〔1分〕由ET垂直平分CD，得∠CET=∠DET=35°，————————————〔1分〕所以∠AEC=70°＋35°=105°.——————————————————〔1分〕〔3〕当∠AEC=90°时，易知△CBE≌△CAE≌△CAD，得∠BCE=30°，那么在△ABH中，∠B=60°，∠AHB=90°，AB=2，得BH=1，于是BC=2.——————————————————————〔2分〕当∠CAE=90°时，易知△CDA∽△BCA，又，那么〔舍负〕—————〔2分〕易知∠ACE<90°.所以边BC的长为2或.——————————————————〔1分〕金山区25．〔此题总分值14分，第〔1〕小题4分，第〔2〕小题5分，第〔3〕小题5分〕如图9，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=5，，P是线段BC上一点，以P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AD的另一个交点为Q，射线PQ与射线CD相交于点E，设BP=x．〔1〕求证△ABP∽△ECP；〔2〕如果点Q在线段AD上〔与点A、D不重合〕，设△APQ的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；〔3〕如果△QED与△QAP相似，求BP的长．ABABPCDQEABCD图9备用图25．解：〔1〕在⊙P中，PA=PQ，∴∠PAQ＝∠PQA，……………〔1分〕∵AD∥BC，∴∠PAQ＝∠APB，∠PQA＝∠QPC，∴∠APB＝∠EPC，……〔1分〕∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∴∠B＝∠C，…………〔1分〕∴△APB∽△ECP．…………〔1分〕〔2〕作AM⊥BC，PN⊥AD，∵AD∥BC，∴AM∥PN，∴四边形AMPN是平行四边形，∴AM=PN，AN=MP．………〔1分〕在Rt△AMB中，∠AMB=90°，AB=5，sinB=，∴AM=3，BM=4，∴PN=3，PM=AN=x-4，……〔1分〕∵PN⊥AQ，∴AN=NQ，∴AQ=2x-8，……〔1分〕∴，即，………〔1分〕定义域是．………〔1分〕〔3〕解法一：由△QED与△QAP相似，∠AQP＝∠EQD，①如果∠PAQ＝∠DEQ，∵△APB∽△ECP，∴∠PAB＝∠DEQ，又∵∠PAQ＝∠APB，∴∠PAB＝∠APB，∴BP=BA=5．………〔2分〕②如果∠PAQ＝∠EDQ，∵∠PAQ＝∠APB，∠EDQ＝∠C，∠B＝∠C，∴∠B＝∠APB，∴AB=AP，∵AM⊥BC，∴BM=MP=4，∴BP=8．………〔2分〕综上所述BP的长为5或者8．………………〔1分〕解法二：由△QAP与△QED相似，∠AQP＝∠EQD，在Rt△APN中，，∵QD∥PC，∴，∵△APB∽△ECP，∴，∴，①如果，∴，即，解得………………………〔2分〕②如果，∴，即，解得………………………〔2分〕综上所述BP的长为5或者8．…………………〔1分〕静安区25．〔此题总分值14分，第〔1〕小题总分值4分，第〔2〕小题总分值6分，第〔3〕小题总分值4分〕A第25题图BPOCDE·如图，平行四边形ABCD中，AB=6，BC=9，．对角线AC、BD交于点O．动点P在边AB上，⊙P经过点B,交线段PA于点EA第25题图BPOCDE·求AC的长；设⊙O的半径为y，当⊙P与⊙O外切时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；第25题备用图ABOCD如果AC是⊙第25题备用图ABOCD求⊙O与⊙P的圆心距OP的长．25．〔此题总分值14分，第〔1〕小题4分，第〔2〕小题6分，第〔3〕小题4分〕A·第25题图(1)BPOCHED解：〔1〕作AHA·第25题图(1)BPOCHED那么…………〔2分〕BC=9，HC=9-2=7，，……〔1分〕﹒………〔1分〕·A第25题图(2)BPOCDHEI〔2〕作OI⊥AB·A第25题图(2)BPOCDHEI∴∠OAB=∠ABC,∴Rt△AIO中，∴AI=1.5，IO=……〔1分〕∴PI=AB-BP-AI=6-x-1.5=，……〔1分〕∴Rt△PIO中，……〔1分〕∵⊙P与⊙O外切，∴……〔1分〕∴=…………〔1分〕∵动点P在边AB上，⊙P经过点B,交线段PA于点E．∴定义域：0<x≤3…………〔1分〕〔3〕由题意得：∵点E在线段AP上，⊙O经过点E，∴⊙O与⊙P相交∵AO是⊙O半径，且AO＞OI，∴交点E存在两种不同的位置，OE=OA=当E与点A不重合时，AE是⊙O的弦，OI是弦心距，∵AI=1.5，AE=3，∴点E是AB中点，,,,IO=……〔2分〕当E与点A重合时，点P是AB中点，点O是AC中点,……〔2分〕∴或．闵行区25．〔此题总分值14分，其中第〔1〕小题4分，第〔2〕、〔3〕小题各5分〕如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90o，AC=6，BC=8，点F在线段AB上，以点B为圆心，BF为半径的圆交BC于点E，射线AE交圆B于点D〔点D、E不重合〕．〔1〕如果设BF=x，EF=y，求y与x之间的函数关系式，并写出它的定义域；〔2〕如果，求ED的长；〔3〕联结CD、BD，请判断四边形ABDC是否为直角梯形？说明理由．〔第〔第25题图〕CBEFDA〔〔备用图〕CBA25．解：〔1〕在Rt△ABC中，，，∴．……………〔1分〕过E作EH⊥AB，垂足是H，易得：，，．…………〔1分〕在Rt△EHF中，，∴．………〔1分+1分〕〔2〕取的中点P，联结BP交ED于点G∵，P是的中点，∴．∴∠FBE=∠EBP=∠PBD．∵，BP过圆心，∴BG⊥ED，ED=2EG=2DG．…………〔1分〕又∵∠CEA=∠DEB，∴∠CAE=∠EBP=∠ABC．……………〔1分〕又∵BE是公共边，∴．∴．在Rt△CEA中，∵AC=6，，，∴．……………〔1分〕∴．……………〔1分〕∴．……〔1分〕〔3〕四边形ABDC不可能为直角梯形．…………………〔1分〕①当CD∥AB时，如果四边形ABDC是直角梯形，只可能∠ABD=∠CDB=90o．在Rt△CBD中，∵，∴，．∴，；∴．∴CD不平行于AB，与CD∥AB矛盾．∴四边形ABDC不可能为直角梯形．…………〔2分〕②当AC∥BD时，如果四边形ABDC是直角梯形，只可能∠ACD=∠CDB=90o．∵AC∥BD，∠ACB=90o，∴∠ACB=∠CBD=90o．∴∠ABD=∠ACB+∠BCD>90o．与∠ACD=∠CDB=90o矛盾．∴四边形ABDC不可能为直角梯形．…………〔2分〕普陀区25．〔此题总分值14分〕是的直径延长线上的一个动点，的另一边交于点C、D，两点位于AB的上方，＝6，，，如图11所示．另一个半径为6的经过点C、D，圆心距．〔1〕当时，求线段的长；〔2〕设圆心在直线上方，试用的代数式表示；〔3〕△在点P的运动过程中，是否能成为以为腰的等腰三角形，如果能，试求出此时的值；如果不能，请说明理由．OAOAB备用图PDOABC图1125．解：〔1〕过点作⊥，垂足为点，联结．在Rt△中，∵，，∴． 〔1分〕∵＝6，∴． 〔1分〕由勾股定理得． 〔1分〕∵⊥，∴．TOC\o"1-3"\u 〔1分〕〔2〕在Rt△中，∵，，∴． 〔1分〕在Rt△中，． 〔1分〕在Rt△中，． 〔1分〕可得，解得． 〔2分〕〔3〕△成为等腰三角形可分以下几种情况：●当圆心、在弦异侧时①，即，由解得．TOC\o"1-3"\u 〔1分〕即圆心距等于、的半径的和，就有、外切不合题意舍去． 〔1分〕②，由，解得，即，解得．TOC\o"1-3"\u 〔1分〕●当圆心、在弦同侧时,同理可得．∵是钝角，∴只能是，即，解得．TOC\o"1-3"\u 〔2分〕综上所述，的值为或．青浦区25.〔此题总分值14分，第〔1〕小题4分，第〔2〕小题6分，第〔3〕小题4分〕如图9-1，扇形MON的半径为，∠MON=，点B在弧MN上移动，联结BM，作ODBM，垂足为点D，C为线段OD上一点，且OC=BM，联结BC并延长交半径OM于点A，设OA=x，∠COM的正切值为y．〔1〕如图9-2，当ABOM时，求证：AM=AC；〔2〕求y关于x的函数关系式，并写出定义域；〔3〕当△OAC为等腰三角形时，求x的值.图9-1图9-1图9-2备用图25．解：〔1〕∵OD⊥BM，AB⊥OM，∴∠ODM=∠BAM=90°． 〔1分〕∵∠ABM+∠M=∠DOM+∠M，∴∠ABM=∠DOM． 〔1分〕∵∠OAC=∠BAM，OC=BM，∴△OAC≌△ABM， 〔1分〕∴AC=AM． 〔1分〕〔2〕过点D作DE//AB，交OM于点E． 〔1分〕∵OB＝OM，OD⊥BM，∴BD＝DM． 〔1分〕∵DE//AB，∴，∴AE＝EM，∵OM=，∴AE＝． 〔1分〕∵DE//AB，∴， 〔1分〕∴，∴．〔〕 〔2分〕〔3〕〔i〕当OA=OC时，∵，在Rt△ODM中，．∵，∴．解得，或〔舍〕． 〔2分〕〔ii〕当AO=AC时，那么∠AOC=∠ACO，∵∠ACO>∠COB，∠COB=∠AOC，∴∠ACO>∠AOC，∴此种情况不存在． 〔1分〕〔ⅲ〕当CO=CA时，那么∠COA=∠CAO=，∵∠CAO>∠M，∠M=，∴>，∴>，∴，∵，∴此种情况不存在． 〔1分〕松江区25．〔此题总分值14分，第〔1〕小题4分，第〔2〕小题每个小题各5分〕如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=3，以点C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D，过点A作AE∥CD，交BC延长线于点E.〔1〕求CE的长；〔2〕P是CE延长线上一点，直线AP、CD交于点Q.如果△ACQ∽△CPQ，求CP的长；(备用图)CBADE(第25题图)CBAD(备用图)CBADE(第25题图)CBADE25．〔此题总分值14分，第〔1〕小题4分，第〔2〕小题每个小题各