2020-2021学年山西省朔州市怀仁市八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2020-2021学年山西省朔州市怀仁市八年级第一学期期中数学试卷一、选择题1．下列手机手势解锁图案中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm3．平面直角坐标系中的点A（﹣1，2）与点B（1，2）关于（）A．原点对称 B．x轴对称 C．y轴对称 D．第一、三象限角平分线对称4．如图，欲测量内部无法到达的古塔相对两点A，B间的距离，可延长AO至C，使CO＝AO，延长BO至D，使DO＝BO，则△COD≌△AOB，从而通过测量CD就可测得A，B间的距离，其全等的根据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS5．在△ABC中，已知AB＝AC，DE垂直平分AC，∠A＝50°，则∠DCB的度数是（）A．15° B．30° C．50° D．65°6．下面说法错误的是（）A．三角形的三条角平分线交于一点 B．三角形的三条中线交于一点 C．三角形的三条高交于一点 D．三角形的三条高所在的直线交于一点7．一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形的边数是（）A．4 B．6 C．8 D．108．如图，已知CD⊥AB于点D，现有四个条件，那么不能得出△ADC≌△EDB的条件是（）①AD＝ED：②∠A＝∠BED；③∠C＝∠B；④CD＝BD．A．①③ B．②④ C．①④ D．②③9．在下列命题中：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的三角形是等边三角形；④三个外角都相等的三角形是等边三角形．正确的命题有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个10．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E是CD的中点，连接AE、BE，∠EAD＝∠EAB，给出下列五个结论：①BE⊥AE；②BE平分∠ABC；③AD+BC＝AB；④AB⊥BC；⑤S△ABE＝S四边形ABCD，其中正确的有（）A．3个 B．2个 C．5个 D．4个二、填空题11．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F，若AF＝3，BF＝4，则CE的长度为．12．设a、b、c是△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|＝．13．如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件：（写出一个条件即可），可使Rt△ABC与Rt△ABD全等．14．如图，在△ABC中，E、D、F分别是AD、BF、CE的中点，若△DEF的面积是1cm2，则S△ABC＝cm2．15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，这样的点P共有个．三、解答题16．在我们认识的多边形中，有很多轴对称图形．有些多边形，边数不同对称轴的条数也不同；有些多边形，边数相同但却有不同数目的对称轴．回答下列问题：（1）非等边的等腰三角形有条对称轴，非正方形的长方形有条对称轴，等边三角形有条对称轴；（2）观察下列一组凸多边形（实线画出），它们的共同点是只有1条对称轴，其中图1﹣2和图1﹣3都可以看作由图1﹣1修改得到的，仿照类似的修改方式，请你在图1﹣4和图1﹣5中，分别修改图1﹣2和图1﹣3，得到一个只有1条对称轴的凸五边形，并用实线画出所得的凸五边形；（3）小明希望构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形，于是他选择修改长方形，图2中是他没有完成的图形，请用实线帮他补完整个图形；（4）请你画一个恰好有3条对称轴的凸六边形，并用虚线标出对称轴．17．如图，∠C＝∠E，AC＝AE，点D在BC边上，∠1＝∠2，AC和DE相交于点O．求证：△ABC≌△ADE．18．如图，在直角坐标系中，先描出点A（1，3），点B（4，1）．（1）描出点A关于x轴的对称点A1的位置，写出A1的坐标；（2）用尺规在x轴上找一点C，使AC+BC的值最小（保留作图痕迹）；（3）用尺规在x轴上找一点P，使PA＝PB（保留作图痕迹）．19．在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作DE⊥AB于E，E点恰为AB的中点．若DE＝1cm，DB＝2cm，求AC的长．20．如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝72°，求∠DAC的度数．21．一艘轮船以18海里/小时的速度由南向北航行，在A处测得小岛P在北偏西15°的方向上，两小时后，轮船在B处测得小岛P在北偏西30°的方向上，已知小岛周围20海里内有暗礁，若轮船仍按原来方向继续前行，有无触礁的危险？22．如图，∠AOB＝90°，点C、D分别在射线OA、OB上，CE是∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠CDO的平分线交于点F．（1）当∠OCD＝50°（图1），试求∠F．（2）当C、D在射线OA、OB上任意移动时（不与点O重合）（图2），∠F的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠F．23．如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．

参考答案一、选择题1．下列手机手势解锁图案中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】直接根据轴对称图形的概念求解．解：A、是轴对称图形，故此选项正确；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误．故选：A．2．若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【分析】分为两种情况：2cm是等腰三角形的腰或2cm是等腰三角形的底边，然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．解：若2cm为等腰三角形的腰长，则底边长为10﹣2﹣2＝6（cm），2+2＜6，不符合三角形的三边关系；若2cm为等腰三角形的底边，则腰长为（10﹣2）÷2＝4（cm），此时三角形的三边长分别为2cm，4cm，4cm，符合三角形的三边关系；故选：A．3．平面直角坐标系中的点A（﹣1，2）与点B（1，2）关于（）A．原点对称 B．x轴对称 C．y轴对称 D．第一、三象限角平分线对称【分析】关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．解：平面直角坐标系中的点A（﹣1，2）与点B（1，2）的横坐标互为相反数，纵坐标不变，所以点A（﹣1，2）与点B（1，2）关于y轴对称．故选：C．4．如图，欲测量内部无法到达的古塔相对两点A，B间的距离，可延长AO至C，使CO＝AO，延长BO至D，使DO＝BO，则△COD≌△AOB，从而通过测量CD就可测得A，B间的距离，其全等的根据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【分析】根据已知：CO＝AO，DO＝BO，对顶角∠AOB＝∠COD，利用SAS可判断△COD≌△AOB．解：在△COD和△AOB中，∵，∴△COD≌△AOB（SAS）．故选：A．5．在△ABC中，已知AB＝AC，DE垂直平分AC，∠A＝50°，则∠DCB的度数是（）A．15° B．30° C．50° D．65°【分析】首先由AB＝AC可得∠ABC＝∠ACB，再由DE垂直平分AC可得DC＝AD，推出∠DAC＝∠DCA．易求∠DCB．解：AB＝AC，∠A＝50°⇒∠ABC＝∠ACB＝65°．∵DE垂直平分AC，∴∠DAC＝∠DCA．∴∠DCB＝∠ACB﹣∠DCA＝65°﹣50°＝15°．故选：A．6．下面说法错误的是（）A．三角形的三条角平分线交于一点 B．三角形的三条中线交于一点 C．三角形的三条高交于一点 D．三角形的三条高所在的直线交于一点【分析】根据三角形的角的平分线、中线、高线的性质即可确定．解：A、三角形的三条角平分线交于一点，是三角形的内心，故命题正确；B、三角形的三条中线交于一点，是三角形的重心，故命题正确；三角形的三条高所在的直线交于一点，三条高不一定相交，故C错误，D正确．故选：C．7．一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形的边数是（）A．4 B．6 C．8 D．10【分析】多边形的外角和是360°，则内角和是2×360＝720°．设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣2）•180°，这样就得到一个关于n的方程组，从而求出边数n的值．解：设这个多边形是n边形，根据题意，得（n﹣2）×180°＝2×360，解得：n＝6．即这个多边形的边数是6．故选：B．8．如图，已知CD⊥AB于点D，现有四个条件，那么不能得出△ADC≌△EDB的条件是（）①AD＝ED：②∠A＝∠BED；③∠C＝∠B；④CD＝BD．A．①③ B．②④ C．①④ D．②③【分析】推出∠ADC＝∠BDE＝90°，根据AAS推出两三角形全等，即可判断A、B；根据SAS即可判断C；根据AAA不能判断两三角形全等．解：A、∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDE＝90°，在△ADC和△EDB中，∵，∴△ADC≌△EDB（AAS），正确，故本选项不符合题意；B、∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDE＝90°，在△ADC和△EDB中，∵，∴△ADC≌△EDB（AAS），正确，故本选项不符合题意；C、∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDE＝90°，在△ADC和△EDB中，∵，∴△ADC≌△EDB（SAS），正确，故本选项不符合题意；D、根据三个角对应相等，不能判断两三角形全等，错误，故本选项符合题意；故选：D．9．在下列命题中：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的三角形是等边三角形；④三个外角都相等的三角形是等边三角形．正确的命题有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】根据有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，三个角相等的三角形是等边三角形进行分析即可．解：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形，命题正确；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形，命题错误；③有一边上的高也是这边上的中线的三角形是等边三角形，命题错误；④三个外角都相等的三角形是等边三角形，命题正确，正确的命题有2个，故选：C．10．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E是CD的中点，连接AE、BE，∠EAD＝∠EAB，给出下列五个结论：①BE⊥AE；②BE平分∠ABC；③AD+BC＝AB；④AB⊥BC；⑤S△ABE＝S四边形ABCD，其中正确的有（）A．3个 B．2个 C．5个 D．4个【分析】延长AE交BC延长线于M，求出∠EAB＝∠M，推出AB＝BM，AD＝CM，AE＝EM，即可推出①②③正确，根据梯形中位线与三角形的面积公式即可判断⑤；根据AE和BE平分∠DAB、∠ABC即可判断④．解：延长AE交BC延长线于M，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠M，∵∠EAD＝∠EAB，∴∠EAB＝∠M，∴AB＝BM，∵E为CD中点，∴DE＝EC，∵∠DEA＝∠CEM，∴△DAE≌△CME，∴AD＝CM，AE＝EM，∴AD+BC＝CM+BC＝BM＝AB，∵AB＝BM，AE＝EM，∴BE⊥AE；BE平分∠ABC；∴∠ABE＝∠CBE，取AB中点，连接EF，∵E，F分别是AB，DC的中点，∴EF是梯形ABCD是中位线∴EF＝（AD+BC），设梯形的高为h，∴×h×EF，S四边形ABCD＝，∴S四边形ABCD正确；即①②③⑤正确；根据已知不能得出AB⊥BC；故④错误；故选：D．二、填空题11．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F，若AF＝3，BF＝4，则CE的长度为10．【分析】由题意，根据等角对等边得到AE＝AF＝3，再结合AC＝AB＝7，即可求出答案．【解答】证明：在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵EP⊥BC，∴∠C+∠E＝90°，∠B+∠BFP＝90°，∴∠E＝∠BFP，又∵∠BFP＝∠AFE，∴∠E＝∠AFE，∴AF＝AE，∴△AEF是等腰三角形．又∵AF＝3，BF＝4，∴CA＝AB＝7，AE＝3，∴CE＝10．故答案为：10．12．设a、b、c是△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|＝0．【分析】根据三角形的三边关系“两边之和＞第三边，两边之差＜第三边”，判断式子的符号，再根据绝对值的意义去掉绝对值即可．解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，得a+b﹣c＞0，c﹣a﹣b＜0，故|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|＝a+b﹣c+c﹣a﹣b＝0．故答案为：0．13．如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件：AC＝AD（写出一个条件即可），可使Rt△ABC与Rt△ABD全等．【分析】由已知两三角形为直角三角形，且斜边为公共边，若利用HL证明两直角三角形全等，需要添加的条件为一对直角边相等，即BC＝BD或AC＝AD．解：条件是AC＝AD（答案不唯一），∵∠C＝∠D＝90°，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），故答案为：AC＝AD（答案不唯一）．14．如图，在△ABC中，E、D、F分别是AD、BF、CE的中点，若△DEF的面积是1cm2，则S△ABC＝7cm2．【分析】连接CD，BE，AF，由三角形中线等分三角形的面积，求得S△AEC＝2S△DEF，S△ABD＝2S△DEF，S△BFC＝2S△DEF，由S△ABC＝S△AEC+S△ABD+S△BFC+S△DEF即可得出结果．解：连接CD，BE，AF，如图所示：∵AE＝ED，三角形中线等分三角形的面积，∴S△AEF＝S△DEF，同理S△AEF＝S△AFC，∴S△AEC＝2S△DEF；同理可得：S△ABD＝2S△DEF，S△BFC＝2S△DEF，∴S△ABC＝S△AEC+S△ABD+S△BFC+S△DEF＝2S△DEF+2S△DEF+2S△DEF+S△DEF＝7S△DEF＝7cm2，故答案为：7．15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，这样的点P共有6个．【分析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等边对等角）”分三种情况解答即可．解：如图，①AB的垂直平分线交AC一点P1（PA＝PB），交直线BC于点P2；②以A为圆心，AB为半径画圆，交AC有二点P3，P4，交BC有一点P2，（此时AB＝AP）；③以B为圆心，BA为半径画圆，交BC有二点P5，P2，交AC有一点P6（此时BP＝BA）．故符合条件的点有6个．故答案为：6．三、解答题16．在我们认识的多边形中，有很多轴对称图形．有些多边形，边数不同对称轴的条数也不同；有些多边形，边数相同但却有不同数目的对称轴．回答下列问题：（1）非等边的等腰三角形有1条对称轴，非正方形的长方形有2条对称轴，等边三角形有3条对称轴；（2）观察下列一组凸多边形（实线画出），它们的共同点是只有1条对称轴，其中图1﹣2和图1﹣3都可以看作由图1﹣1修改得到的，仿照类似的修改方式，请你在图1﹣4和图1﹣5中，分别修改图1﹣2和图1﹣3，得到一个只有1条对称轴的凸五边形，并用实线画出所得的凸五边形；（3）小明希望构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形，于是他选择修改长方形，图2中是他没有完成的图形，请用实线帮他补完整个图形；（4）请你画一个恰好有3条对称轴的凸六边形，并用虚线标出对称轴．【分析】（1）根据等腰三角形的性质、矩形的性质以及等边三角形的性质进行判断即可；（2）中图1﹣2和图1﹣3都可以看作由图1﹣1修改得到的，在图1﹣4和图1﹣5中，分别仿照类似的修改方式进行画图即可；（3）长方形具有两条对称轴，在长方形的右侧补出与左侧一样的图形，即可构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形；（4）在等边三角形的基础上加以修改，即可得到恰好有3条对称轴的凸六边形．解：（1）非等边的等腰三角形有1条对称轴，非正方形的长方形有2条对称轴，等边三角形有3条对称轴，故答案为：1，2，3；（2）恰好有1条对称轴的凸五边形如图中所示．（3）恰好有2条对称轴的凸六边形如图所示．（4）恰好有3条对称轴的凸六边形如图所示．17．如图，∠C＝∠E，AC＝AE，点D在BC边上，∠1＝∠2，AC和DE相交于点O．求证：△ABC≌△ADE．【分析】先利用三角形外角性质证明∠ADE＝∠B，然后根据“AAS”判断△ABC≌△ADE．【解答】证明：∵∠ADC＝∠1+∠B，即∠ADE+∠2＝∠1+∠B，而∠1＝∠2，∴∠ADE＝∠B，在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE（AAS）．18．如图，在直角坐标系中，先描出点A（1，3），点B（4，1）．（1）描出点A关于x轴的对称点A1的位置，写出A1的坐标（1，﹣3）；（2）用尺规在x轴上找一点C，使AC+BC的值最小（保留作图痕迹）；（3）用尺规在x轴上找一点P，使PA＝PB（保留作图痕迹）．【分析】（1）直接利用关于x轴对称点的性质得出答案；（2）利用轴对称求最短路线作法得出答案；（3）利用线段垂直平分线的作法得出答案．解：（1）如图所示：A1的坐标（1，﹣3）；故答案为：（1，﹣3）；（2）如图所示：点C即为所求；（3）如图所示：点P即为所求．19．在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作DE⊥AB于E，E点恰为AB的中点．若DE＝1cm，DB＝2cm，求AC的长．【分析】先根据角平分线的性质得出CD的长，再根据线段垂直平分线的性质求出AD的长，进而可得出结论．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作DE⊥AB，DE＝1cm，∴CD＝DE＝1cm，∵E点恰为AB的中点，DB＝2cm，∴AD＝BD＝2cm，∴AC＝AD+CD＝2+1＝3cm．20．如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝72°，求∠DAC的度数．【分析】先根据三角形外角性质，得出∠3＝∠4＝∠1+∠2＝2∠1，再根据三角形内角和定理，得出∠DAC+∠3+∠4＝180°，最后根据∠DAC+4∠1＝180°，以及∠BAC＝∠1+∠DAC＝72°，求得∠DAC的度数即可．解：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，而∠3＝∠1+∠2，∴∠3＝∠4＝∠1+∠2＝2∠1，在△ADC中，∠DAC+∠3+∠4＝180°，∴∠DAC+4∠1＝180°，∵∠BAC＝∠1+∠DAC＝72°，解得∠DAC＝36°．21．一艘轮船以18海里/小时的速度由南向北航行，在A处测得小岛P在北偏西15°的方向上，两小时后，轮船在B处测得小岛P在北偏西30°的方向上，已知小岛周围20海里内有暗礁，若轮船仍按原来方向继续前行，有无触礁的危险？【分析】有危险，理由为：过P作PD垂直与AB，交AB延长线于点D，如图所示，由∠PBD为三角形PAB的外角，利用外角的性质得到∠PBD＝∠A+∠APB，由∠PBD及∠A的度数求出∠BPA的度数，得到∠BPA＝∠A，利用等角对等边得到PB＝AB，由2小时走的路程为15海里/时×2，得到PB为30海里，在直角三角形PBD中，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半得到PB＝2PD，由PB的长求出PD的长，由PD的长与18比较大小，即可对轮船不改变方向仍继续向前航行，有无触礁的危险作出判断．解：有危险，理由如下：过点P作PD⊥AB，交AB的延长线于点D，如图所示：∵由题意可知：∠A＝15°，∠PBD＝30°，∴∠BPA＝∠PBD﹣∠A＝15°，即∠BPA＝∠A，∴PB＝AB＝18×2＝36（海里），在Rt△BPD中，∠PBD＝30°，PB＝36海里，∴PD＝PB＝18海里＜20海里，则轮船不改变方向仍继续向前航行有触礁的危险．22．如图，∠AOB＝90°，点C、D分别在射线OA、OB上，CE是∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠CDO的平分线交于点F．（1）当∠OCD＝50°（图1），试求∠F．（2）当C、D在射线OA、OB上任意移动时（不与点O重合）（图2），∠F的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠F．【分析】（1）根据三角形的内角和是180°，可求∠CDO＝4