福建省泉州外国语学校、东海中学2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷（解析版）

福建省泉州外国语学校、东海中学2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷考试注意事项：1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员

管理；

2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；

3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔)，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若x＝2能使下列二次根式有意义，则这个二次根式可以是（）A． B． C． D．2．下列各式中，与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．3．若，则＝（）A． B． C． D．4．用配方法解一元二次方程：x2﹣6x﹣6＝0，应当化为（）A．（x﹣3）2＝3 B．（x﹣3）2＝6 C．（x+3）2＝15 D．（x﹣3）2＝155．如图，已知AB∥CD∥EF，若AC＝6，CE＝2，BD＝3，则BF的长为（）A．6 B．5.5 C．4 D．4.56．若关于x的方程（m+2）x|m|+2x﹣1＝0是一元二次方程，则m等于（）A．﹣2 B．2 C．﹣2或2 D．17．如图，在4×7的方格中，点A，B，C，D在格点上，线段CD是由线段AB位似放大得到，则它们的位似中心是（）A．点P1 B．点P2 C．点P3 D．点P48．小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇•赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为（）A．10x+（x﹣3）＝（x﹣3）2 B．10（x+3）+x＝x2 C．10x+（x+3）＝（x+3）2 D．10（x+3）+x＝（x+3）29．如图，O是△ABC的重心，AN，CM相交于点O，那么△MON与△BMN的面积的比是（）A．1：2 B．2：3 C．1：3 D．1：410．若x1是方程ax2﹣4x﹣c＝0（a≠0）的一个根，设p＝（ax1﹣2）2，q＝ac+5，则p与q的大小关系为（）A．p＜q B．p＝q C．p＞q D．不能确定二．填空题：共6小题，每小题4分，共24分．11．计算+的结果是．12．一元二次方程x2﹣x＝0的解是．13．已知点A（a，1）与点B（﹣3，b）关于原点对称，则ab的值为．14．已知关于x方程x2﹣6x+a＝0有一个根为4，则a＝．15．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10，BC＝8，点D在BC上，以AC为对角线的平行四边形ADCE中，则DE的最小值是．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点M、N分别在边AD和BC上，沿MN折叠四边形ABCD，使点A、B分别落在A1、B1处，得四边形A1B1NM，点B1在DC上，过点M作ME⊥BC于点E，连接BB1，则下列结论：①∠MNB1＝∠ABB1；②△MEN∽△BCB1；③；④若点B1是CD的中点，则AM＝，其中，正确结论的序号是．（把所有正确结论的序号都在填在横线上）三．解答题：共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（8分）计算：|．18．（8分）解方程：3x（2x+3）＝4x+6．19．（8分）已知＝b+8，求a+b的平方根．20．（8分）已知：如图，△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D．（1）在线段AB上求作一点E，使得DE＝EB（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）中，若DE＝2，AB＝5，求BC的长．21．（8分）已知α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0的两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若α2﹣α+k＝3，试求k的值．22．如图，∠ABC＝45°，点P为△ABC内的一个动点，已知∠BPA＝∠BPC＝135°．（1）求证：△CPB∽△BPA；（2）若AC⊥BC，试求的值．23．华为手机历来都是中国人特别喜欢的国产品牌手机，重庆时代天街的华为官方旗舰店年初推出了“华为nova8”和“华为Mate40Pro”两款爆款手机，两款手机的售价分别是3000元和6600元，在今年上半年共售出1200台，总销售额为6120000元．（1）该官方旗舰店今年上半年销售“华为Mate40Pro”多少台；（2）由于“华为Mate40Pro”深受消费者的喜爱，下半年该官方旗舰店决定将“华为Mate40Pro”的售价在上半年的基础上降低了100元，“华为nova8”的价格在上半年的基础上增加了a%，预估“华为Mate40Pro”的销量比上半年增加a%，“华为nova8”的销量比上半年减少2a%，预计销售总额比上半年少70000元，求a的值．24．（13分）如图，在正方形ABCD中，点M是边BC上的一点（不与B、C重合），点N在边CD延长线上，且满足∠MAN＝90°，联结MN，AC，MN与边AD交于点E．（1）求证：AM＝AN；（2）如果∠CAD＝2∠NAD，求证：AM2＝AB•AE；（3）MN和AC相交于O点，若BM＝1，AB＝3，试猜想线段OM，ON的数量关系并证明．25．（13分）已知直线y＝﹣2x+4与交y轴于点A，交x轴于点B，直线CD经过点C（﹣1，0），交y轴于点D，若AB∥CD．（1）求直线CD的解析式；（2）如图（1）若点E，F分别为AB，CD的中点，求证：E，O，F三点共线；（3）如图（2）点M为线段BC上一动点（不与B，C重合），直线AM交CD于点N，求△ABM与△CNM面积和的最小值．

参考答案与试题解析一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若x＝2能使下列二次根式有意义，则这个二次根式可以是（）A． B． C． D．【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数逐一判断即可．解：A．当x＝2时，x﹣1＝2﹣1＝1＞0，有意义，符合题意；B．当x＝2时，1﹣x＝1﹣2＝﹣1＜0，无意义，不符合题意；C．当x＝2时，x﹣3＝2﹣3＝﹣1＜0，无意义，不符合题意；D．当x＝2时，﹣x＝﹣2＜0，无意义，不符合题意；故选：A．【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．2．下列各式中，与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】将各个二次根式化成最简二次根式后，选被开方数为2的根式即可．解：＝2，因此选项A不符合题意；＝3，因此选项B符合题意；＝2，因此选项C不符合题意；＝2，显然与不是同类二次根式，因此选项D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查同类二次根式的意义，将二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式．3．若，则＝（）A． B． C． D．【分析】设a＝5k，b＝2k，代入式子化简求解即可解决问题．解：∵＝，∴可以假设a＝5k，b＝2k，∴＝＝，故选：C．【点评】本题考查比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质：学会利用参数解决问题．4．用配方法解一元二次方程：x2﹣6x﹣6＝0，应当化为（）A．（x﹣3）2＝3 B．（x﹣3）2＝6 C．（x+3）2＝15 D．（x﹣3）2＝15【分析】先把常数项移项，再方程两边同时加上一次项系数一半的平方，再配方即可．解：x2﹣6x﹣6＝0，移项得x2﹣6x＝6，方程两边同时加上9得，x2﹣6x+9＝15，配方得（x﹣3）2＝15，故选：D．【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程，掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．5．如图，已知AB∥CD∥EF，若AC＝6，CE＝2，BD＝3，则BF的长为（）A．6 B．5.5 C．4 D．4.5【分析】根据平行线分线段成比例定理得到＝，然后根据比例的性质求BF．解：∵AB∥CD∥EF，∴＝，即＝，∴BF＝4．故选：C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．6．若关于x的方程（m+2）x|m|+2x﹣1＝0是一元二次方程，则m等于（）A．﹣2 B．2 C．﹣2或2 D．1【分析】根据一元二次方程的定义求解即可．解：由题意，得|m|＝2，m+2≠0，解得m＝2，故选：B．【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．7．如图，在4×7的方格中，点A，B，C，D在格点上，线段CD是由线段AB位似放大得到，则它们的位似中心是（）A．点P1 B．点P2 C．点P3 D．点P4【分析】延长CA、DB交于点P1，根据位似中心的概念得到答案．解：延长CA、DB交于点P1，则点P1为位似中心，故选：A．【点评】本题考查的是位似变换的概念，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．8．小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇•赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为（）A．10x+（x﹣3）＝（x﹣3）2 B．10（x+3）+x＝x2 C．10x+（x+3）＝（x+3）2 D．10（x+3）+x＝（x+3）2【分析】设周瑜去世时年龄的十位数字是x，根据“十位恰小个位三，个位平方与寿同”知10×十位数字+个位数字＝个位数字的平方，据此列出方程可得答案．解：假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为10x+（x+3）＝（x+3）2，故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9．如图，O是△ABC的重心，AN，CM相交于点O，那么△MON与△BMN的面积的比是（）A．1：2 B．2：3 C．1：3 D．1：4【分析】利用三角形重心的性质得到MO：MC＝1：3和点N是BC的中点，从而得到△MON和△MNC的面积比、△BMN和△CMN的面积比，然后综合两个面积比求得结果．解：∵点O是△ABC的重心，∴MO：MC＝1：3，点N是BC的中点，∴S△MON：S△MNC＝1：3，S△BMN：S△MNC＝1：1，∴S△MON：S△MBN＝1：3，故选：C．【点评】本题考查了三角形重心的性质和三角形中线的性质，熟知三角形的重心将中线分为1：2两部分是解题的关键．10．若x1是方程ax2﹣4x﹣c＝0（a≠0）的一个根，设p＝（ax1﹣2）2，q＝ac+5，则p与q的大小关系为（）A．p＜q B．p＝q C．p＞q D．不能确定【分析】把x1代入方程ax2﹣4x﹣c＝0得ax12﹣4x1＝c，作差法比较可得．解：∵x1是方程ax2﹣4x﹣c＝0（a≠0）的一个根，∴ax12﹣4x1＝c，则p﹣q＝（ax1﹣2）2﹣（ac+5）＝a2x12﹣4ax1+4﹣ac﹣5＝a（ax12﹣4x1）﹣ac﹣1＝ac﹣ac﹣1＝﹣1，∴p﹣q＜0，∴p＜q．故选：A．【点评】本题主要考查一元二次方程的解得概念及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立的未知数的值叫做方程的解是根本，利用作差法比较大小是解题的关键．二．填空题：共6小题，每小题4分，共24分．11．计算+的结果是．【分析】直接化简二次根式，进而合并得出答案．解：原式＝+2＝3．故答案为：．【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．12．一元二次方程x2﹣x＝0的解是x1＝0，x2＝1．【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．解：x2﹣x＝0，x（x﹣1）＝0，∴x＝0或x﹣1＝0，∴x1＝0，x2＝1，故答案为：x1＝0，x2＝1．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，解决本题的关键是掌握用因式分解法解一元二次方程的步骤．13．已知点A（a，1）与点B（﹣3，b）关于原点对称，则ab的值为﹣3．【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．解：∵点A（a，1）与点B（﹣3，b）关于原点对称，∴a＝3，b＝﹣1，故ab＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆关于原点对称点的性质是解题关键．14．已知关于x方程x2﹣6x+a＝0有一个根为4，则a＝8．【分析】由方程的解的定义，把x＝4代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解新方程即可求得a的值．解：依题意，得42﹣6×4+a＝0，解得，a＝8．故答案是：8．【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．15．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10，BC＝8，点D在BC上，以AC为对角线的平行四边形ADCE中，则DE的最小值是6．【分析】平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小，根据三角形中位线定理即可求解．解：平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小．∵OD⊥BC，∠B＝90°，∴OD∥AB，又∵平行四边形ADCE中，OC＝OA，DE＝2OD，∴OD是△ABC的中位线，∴OD＝AB，AB＝2OD，∴DE＝AB．∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10，BC＝8，∴AB＝＝6，∴DE＝6．故答案为6．【点评】此题考查的是平行四边形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，正确理解DE最小的条件是解题的关键．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点M、N分别在边AD和BC上，沿MN折叠四边形ABCD，使点A、B分别落在A1、B1处，得四边形A1B1NM，点B1在DC上，过点M作ME⊥BC于点E，连接BB1，则下列结论：①∠MNB1＝∠ABB1；②△MEN∽△BCB1；③；④若点B1是CD的中点，则AM＝，其中，正确结论的序号是①②③．（把所有正确结论的序号都在填在横线上）【分析】由折叠可知∠MNB1＝∠BNM，MN⊥BB1，再由角的互余关系判定①正确；证△MEN∽△BCB1，判定②正确；由相似三角形的性质可得＝＝，为定值，判定③正确；再由相似三角形的性质和勾股定理可得AM＝，判定④不正确；从而求解．解：由折叠可知：∠MNB1＝∠BNM，MN⊥BB1，∴∠BNM+∠B1BN＝90°，∵∠ABB1+∠B1BN＝90°，∴∠BNM＝∠ABB1，∴∠MNB1＝∠ABB1，故①正确；∵ME⊥BC，∴∠MNE+∠NME＝90°，由折叠的性质可得：MN⊥BB1，∴∠MNE+∠B1BN＝90°，∴∠NME＝∠BB1N，∴△MEN∽△BCB1，故②正确；由②可知：＝，∵ME＝AB＝2，BC＝4，∴＝＝，为定值，故③正确；∵△MEN∽△BCB1，∴＝＝，∴NE＝B1C，若点B1是CD的中点，则B1C＝DC，∴NE＝DC＝×2＝，设BN＝x，则NC＝4﹣x，B1N＝x，在Rt△B1NC中，由勾股定理可得x2＝（4﹣x）2+12，解得：x＝，∴AM＝BE＝BN﹣NE＝﹣＝，故④不正确．故答案为：①②③．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、翻折的性质、勾股定理等知识，熟练掌握翻折变换的性质和矩形，1性质，证明三角形相似是解题的关键．三．解答题：共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（8分）计算：|．【分析】原式利用负整数指数幂法则，二次根式乘法法则，以及绝对值的代数意义计算即可得到结果．解：原式＝2﹣﹣（﹣2）＝2﹣2﹣+2＝4﹣3．【点评】此题考查了二次根式的混合运算，以及负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（8分）解方程：3x（2x+3）＝4x+6．【分析】整理后，利用因式分解法求解即可．解：方程整理得：3x（2x+3）﹣2（2x+3）＝0，分解因式得：（3x﹣2）（2x+3）＝0，可得3x﹣2＝0或2x+3＝0，解得：，．【点评】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．19．（8分）已知＝b+8，求a+b的平方根．【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求出a，进而求出b，根据平方根的概念计算即可．解：由题意得：a﹣17≥0，17﹣a≥0，解得：a＝17，则b＝﹣8，∴a+b＝9，∵9的平方根是±3，∴a+b的平方根是±3．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件、平方根的概念，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．20．（8分）已知：如图，△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D．（1）在线段AB上求作一点E，使得DE＝EB（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）中，若DE＝2，AB＝5，求BC的长．【分析】（1）利用基本作图作BD的垂直平分线即可；（2）先由BE＝DE＝2得到∠EBD＝∠EDB，再证∠EDB＝∠CBD，所以DE∥BC，则可判断△ADE∽△ACB，然后利用相似比计算BC的长．解：（1）如图，点E为所作；（2）∵BE＝DE＝2，∴∠EBD＝∠EDB，AE＝AB﹣BE＝3，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠CBD，∴∠EDB＝∠CBD，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∴＝，即＝，∴BC＝．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了相似三角形的判定与性质．21．（8分）已知α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0的两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若α2﹣α+k＝3，试求k的值．【分析】（1）根据题意可得Δ＞0，再代入相应数值解不等式即可；（2）根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系可得α2﹣2α+k＝0，α+β＝2，αβ＝k，即可得到α2﹣α＝α﹣k，根据α2﹣α+k＝3可得关于α的值，然后根据根与系数的关系整理后可即可解出k的值．解：（1）根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4k＝4﹣4k＞0，解k＜1，∴k的取值范围是k＜1；（2）∵α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0的两根，∴α2﹣2α+k＝0，α+β＝2，αβ＝k，∴α2﹣α＝α﹣k，∵α2﹣α+k＝3，∴α﹣k+k＝3，∴α＝3，∴β＝﹣1，∴k＝3×（﹣1）＝﹣3．故k的值为﹣3．【点评】本题主要考查了一元二次方程根的定义、根的判别式，以及根与系数的关系，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．以及根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．22．如图，∠ABC＝45°，点P为△ABC内的一个动点，已知∠BPA＝∠BPC＝135°．（1）求证：△CPB∽△BPA；（2）若AC⊥BC，试求的值．【分析】（1）由三角形内角和定理得出∠ABP+∠BAP＝45°，由∠ABP+∠CBP＝∠MBN＝45°，推出∠BAP＝∠CBP，即可得出结论；（2）由AC⊥BC，∠MBN＝45°，得出△ACB是等腰直角三角形，则AB＝BC，由△CPB∽△BPA，得出＝＝＝＝，设PC＝a，则BP＝a，AP＝2a，求出∠APC＝90°，由勾股定理得出AC＝＝＝a，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵∠BPA＝135°，∴∠ABP+∠BAP＝180°﹣135°＝45°，∵∠ABP+∠CBP＝∠ABC＝45°，∴∠ABP+∠BAP＝∠ABP+∠CBP，∴∠BAP＝∠CBP，∵∠BPA＝∠BPC，∴△CPB∽△BPA；（2）解：∵AC⊥BC，∠ABC＝45°，∴△ACB是等腰直角三角形，∴AB＝BC，∵△CPB∽△BPA，∴＝＝＝＝，设PC＝a，则BP＝a，AP＝2a，∵∠APC＝360°﹣135°﹣135°＝90°，∴AC＝＝＝a，∴＝＝．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．23．华为手机历来都是中国人特别喜欢的国产品牌手机，重庆时代天街的华为官方旗舰店年初推出了“华为nova8”和“华为Mate40Pro”两款爆款手机，两款手机的售价分别是3000元和6600元，在今年上半年共售出1200台，总销售额为6120000元．（1）该官方旗舰店今年上半年销售“华为Mate40Pro”多少台；（2）由于“华为Mate40Pro”深受消费者的喜爱，下半年该官方旗舰店决定将“华为Mate40Pro”的售价在上半年的基础上降低了100元，“华为nova8”的价格在上半年的基础上增加了a%，预估“华为Mate40Pro”的销量比上半年增加a%，“华为nova8”的销量比上半年减少2a%，预计销售总额比上半年少70000元，求a的值．【分析】（1）设该官方旗舰店今年上半年销售“华为nova8”x台，“华为Mate40Pro”y台，利用总价＝单价×数量，结合今年上半年销售两种手机1200台且总销售额为6120000元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出该官方旗舰店今年上半年销售两种手机的数量；（2）利用销售总额＝销售单价×销售数量，结合预计下半年销售总额比上半年少70000元，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出a的值．解：（1）设该官方旗舰店今年上半年销售“华为nova8”x台，“华为Mate40Pro”y台，依题意得：，解得：．答：该官方旗舰店今年上半年销售“华为Mate40Pro”700台．（2）依题意得：3000（1+a%）×500（1﹣2a%）+（6600﹣100）×700（1+a%）＝6120000﹣70000，整理得：300a2﹣4500a＝0，解得：a1＝15，a2＝0（不合题意，舍去）．答：a的值为15．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．24．（13分）如图，在正方形ABCD中，点M是边BC上的一点（不与B、C重合），点N在边CD延长线上，且满足∠MAN＝90°，联结MN，AC，MN与边AD交于点E．（1）求证：AM＝AN；（2）如果∠CAD＝2∠NAD，求证：AM2＝AB•AE；（3）MN和AC相交于O点，若BM＝1，AB＝3，试猜想线段OM，ON的数量关系并证明．【分析】（1）由正方形的性质可得AB＝AD，由“ASA”可证△ABM≌△ADN，可得AM＝AN；（2）由题意可得∠CAM＝∠NAD＝22.5°，∠ACB＝∠MNA＝45°，即可证△AMC∽△AEN，即可证AM2＝AE•AC，再根据AC＝AB可得结论；（3）先求出AM，进而求出MF＝NF＝AF＝，再判断出△BAM∽△BFO，进而求出FO，即可得出结论．【解答】证明（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠CAD＝∠ACB＝45°，∠BAD＝∠CDA＝∠B＝90°，∴∠BAM+∠MAD＝90°，∵∠MAN＝90°，∴∠MAD+∠DAN＝90°，∴∠BAM＝∠DAN，∵AD＝AB，∠ABC＝∠ADN＝90°，∴△ABM≌△ADN（ASA），∴AM＝AN；（2）∵AM＝AN，∠MAN＝90°，∴∠MNA＝45°，∵∠CAD＝2∠NAD＝45°，∴∠NAD＝22.5°∴∠CAM＝∠MAN﹣∠CAD﹣∠NAD＝22.5°∴∠CAM＝∠NAD，∠ACB＝∠MNA＝45°，∴△AMC∽△AEN，∴＝，∴AM•AN＝AC•AE，∵AN＝AM，AC＝AB，∴AM2＝AB•AE；（3）ON＝2OM，理由如下：如图，在Rt△ABM中，BM＝1，AB＝3，根据勾股定理得，AM＝＝．过点A作AF⊥MN于F，∴∠OFA＝∠B＝90°．由（1）知，AM＝AN，∵∠MAN＝90°，∴FA＝NF＝MF＝＝，∠MAF＝45°．∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠BAC＝45°＝∠MAF．∴∠BAM＝∠FAO．∴△B