2022-2023学年辽宁省鞍山市九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年辽宁省鞍山市九年级第一学期期中数学试卷一.选择题（每小题3分，共24分）1．下列图形是中心对称图形的是（）A．角 B．直角三角形 C．平行四边形 D．等腰三角形2．将方程3（x+1）2＝5x化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（）A．3，﹣5，3 B．3，1，3 C．3，1，1 D．3，﹣11，33．下列图形中，不一定是相似图形的是（）A．两个等边三角形 B．两个等腰直角三角形 C．两个正方形 D．两个菱形4．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣x2﹣1先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式为（）A．y＝﹣（x﹣1）2﹣3 B．y＝﹣（x+1）2﹣3 C．y＝﹣（x﹣1）2+3 D．y＝﹣（x+1）2+35．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，下列四个选项，正确的是（）A． B． C． D．6．如图，AD∥BE∥CF，若AB＝2，AC＝5，EF＝4，则DE的长度是（）A．6 B． C． D．（多选）7．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中错误的是（）A．a＜0 B．2a+b＜0 C．a+b+c＜0 D．b2﹣4ac＞08．欧几里得的《几何原本》记载，对于形如x2+ax＝b2的方程，可用如图解法：作直角三角形ABC，其中∠C＝90°，AC＝b，，在斜边AB上截取BD＝BC，则该方程的其中一个正根是（）A．线段AD的长 B．线段BC的长 C．线段AC的长 D．线段AB的长二、填空（每小题3分，共24分）9．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△ADE（点B、C的对应点分别为点D、E），若∠B＝50°，且∠E＝30°，则∠CAD的度数为．10．已知抛物线y＝ax2+mx+n（a≠0）经过点（1，5），（﹣3，5），则方程ax2+mx+n＝5的根是．11．如图，△ABC与△A′B′C′位似，位似中心为点O，OA＝2AA′，△ABC的面积为4，则△A′B′C′的面积为．12．目前以5G为代表的战略性新兴产业蓬勃发展，某市计划经过两年时间，5G用户数从2021年底的500万增加到2023年底的720万，求该市5G用户数平均年增长率．设该市5G用户数平均年增长率为x，则可列方程为．13．已知点（﹣7，y1），（﹣3，y2），（4，y3）都在二次函数y＝a（x﹣1）2（a＜0）的图象上，则y1，y2与y3的大小关系为.（用“＞”连接）14．古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，同一时刻测得OA是268米，则金字塔的高度BO是米．15．二次函数y＝ax2+bx+1（a＜0，b＜0）的图象经过点P（n，1）（n≠0），此函数图象与x轴有两个不同的交点，若其中一个交点的坐标为（n+2，0），则另一个交点的坐标为．16．在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝α，E为AC边上一点，线段BE与线段AD交于N点，将线段BE绕E点顺时针旋转得到线段FE，旋转角为β，且α+β＝180°，连接BF，线段BF分别与线段AD，线段AC交于M，H两点，连接DH，下列结论：①∠ABE＝∠AEF；②△BNM∽△ANB；③BN•BE＝EH•AC；④DH∥EF．正确的有．（填序号即可）三、计算题17．解方程：（1）x2﹣4x﹣3＝0；（2）2x2+5x+3＝0．四、解答题：（每小题9分，共18分）18．如图所示，每个小正方形的边长为1个单位长度，A，B，C三点都在格点上；（1）将△ABC绕O点顺时针旋转90°得到△A1B1C1，在网格中画出△A1B1C1；（2）画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2，并写出A2、B2、C2的坐标．19．关于x的一元二次方程x2+（m﹣2）x﹣2m﹣1＝0，求证：方程总有两个不相等的实数根．五、解答题（每小题10分，共30分）20．如图，在△ABC中，，BC＝4，，求tanB的值．21．已知，抛物线y＝﹣x2+4x﹣1；（1）请直接写出抛物线y＝﹣x2+4x﹣1的顶点A，与y轴的交点B的坐标，在坐标系中描出A，B两点，并画出抛物线的图象（不用列表）；（2）当1＜x＜4时，结合图象，请直接写出y的取值范围．22．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝150°，将△ABC绕B点逆时针旋转得到△DBE，旋转角为α（0°＜α＜180°），若A，D，E三点恰好在同一条直线上；（1）求旋转角α的度数；（2）若AB＝2，求AE的长．六、解答题（每小题10分，共20分）23．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AE，DB＝DC；求证：（1）△BFE∽△CAB；（2）若，AB＝5，求BF的长．24．某商场销售一款服装，成本为每件300元，若以每件600元的价格销售，每周可以售出60件，若该服装销售价格每降低50元/件，每周可多售出20件，通过成本的核算确定该款服装的利润率不得低于70%，则该款服装售价为多少元/件时，一周的销售利润为20000元．（）七、解答题：（本题满分12分）25．如图，在△ABC中（∠ACB＜90°），D点为AB边上一点，∠ACD＝∠B，将∠BDC绕D点逆时针旋转得到∠MDN，射线DM与射线BC交于E点（E不与B，C重合），射线DN与射线CA交于F点；（1）求证：△BDE∽△CDF；（2）连接EF，求证：∠CEF＝∠BDE；（3）当∠B＝45°，CD＝5，时，若△DCE是以DE为底等腰三角形，请直接写出AF长．八、解答题：（本题满分14分）26．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B（3，0）两点，与y轴交于C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知，D点为y轴右侧抛物线上一点（D点与B点不重合），过D作DF∥y轴分别与直线BC，x轴交于F，E两点；①当D点在直线BC上方时，且DF＝EF，求D点坐标；②过F点作直线MN∥x轴与抛物线分别交于M，N两点（M在N左侧），若，求N点横坐标．

参考答案一.选择题（每小题3分，共24分）1．下列图形是中心对称图形的是（）A．角 B．直角三角形 C．平行四边形 D．等腰三角形【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、是中心对称图形，故本选项符合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．将方程3（x+1）2＝5x化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（）A．3，﹣5，3 B．3，1，3 C．3，1，1 D．3，﹣11，3【分析】将一元二次方程化成一般式即可得出结论．解：3（x+1）2＝5x可化为3x2+x+3＝0，∴a＝3，b＝1，c＝3．故选：B．【点评】本题考查一元二次方程的一般式，熟练掌握其形式是解决问题的关键．3．下列图形中，不一定是相似图形的是（）A．两个等边三角形 B．两个等腰直角三角形 C．两个正方形 D．两个菱形【分析】根据相似图形的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．解：A、两个等边三角形对应边成比例，对应角相等，一定相似，故此选项不合题意；B、两个等腰直角三角形，顶角都是直角相等，夹边成比例，一定相似，故此选项不合题意；C、两个正方形对应边成比例，对应角相等，一定相似，故此选项不合题意；D、两个菱形，四个边都相等，但对应角不一定相等，不一定相似，故此选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了相似图形的概念，注意从对应边成比例，对应角相等两个方面考虑．4．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣x2﹣1先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式为（）A．y＝﹣（x﹣1）2﹣3 B．y＝﹣（x+1）2﹣3 C．y＝﹣（x﹣1）2+3 D．y＝﹣（x+1）2+3【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．解：将抛物线y＝﹣x2﹣1先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2﹣3．故选：A．【点评】此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键．5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，下列四个选项，正确的是（）A． B． C． D．【分析】利用勾股定理求出BC的长，根据锐角三角函数的定义判断即可．解：如图，根据勾股定理得：，∴，，，，∴C正确，A、B、D错误，故选：C．【点评】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，掌握正弦、余弦、正切的定义是解题的关键．6．如图，AD∥BE∥CF，若AB＝2，AC＝5，EF＝4，则DE的长度是（）A．6 B． C． D．【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．解：∵AD∥BE∥CF，∴＝，即＝，解得：DE＝，故选：D．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．（多选）7．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中错误的是（）A．a＜0 B．2a+b＜0 C．a+b+c＜0 D．b2﹣4ac＞0【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解：A、如图，抛物线开口向上，所以a＞0，本选项结论错误，符合题意；B、由图象知道抛物线过点（0，0）和（2，0），则抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝＝1，所以2a+b＝0，故本选项结论错误，符合题意；C、由图象知道当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0，故本选项结论正确，不合题意；D、抛物线与x轴有两个交点，所以b2﹣4ac＞0，故本选项结论正确，不合题意；故选：AB．【点评】此题考查了二次函数的图象与系数的关系．注意二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．8．欧几里得的《几何原本》记载，对于形如x2+ax＝b2的方程，可用如图解法：作直角三角形ABC，其中∠C＝90°，AC＝b，，在斜边AB上截取BD＝BC，则该方程的其中一个正根是（）A．线段AD的长 B．线段BC的长 C．线段AC的长 D．线段AB的长【分析】根据勾股定理得出方程，整理后即可得到结果．解：由勾股定理得：BC2+AC2＝AB2，∵，AC＝b，，∴，整理得：AD2+a•AD＝b2，∵x2+ax＝b2，∴AD的长是方程x2+ax＝b2的一个正根，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的解与勾股定理，根据勾股定理得出方程是解题的关键．二、填空（每小题3分，共24分）9．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△ADE（点B、C的对应点分别为点D、E），若∠B＝50°，且∠E＝30°，则∠CAD的度数为50°．【分析】由旋转的性质可得∠C＝∠E＝30°，∠BAD＝50°，由三角形内角和定理可求解．解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△ADE，∴∠C＝∠E＝30°，∠BAD＝50°，∴∠CAD＝180°﹣50°﹣50°﹣30°＝50°，故答案为：50°．【点评】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，掌握旋转的性质是解题的关键．10．已知抛物线y＝ax2+mx+n（a≠0）经过点（1，5），（﹣3，5），则方程ax2+mx+n＝5的根是x1＝1，x2＝﹣3．【分析】抛物线y＝ax2+mx+n（a≠0）经过点（1，5），（﹣3，5），则方程ax2+mx+n＝5的根为x1＝1，x2＝﹣3，即可求解．解：∵抛物线y＝ax2+mx+n（a≠0）经过点（1，5），（﹣3，5），∴抛物线y＝ax2+mx+n与直线y＝5的交点坐标为（1，5），（﹣3，5），∴方程ax2+mx+n＝5的根为x1＝1，x2＝﹣3故答案为：x1＝1，x2＝﹣3【点评】本题考查的是抛物线与直线的交点，函数图象上点的坐标特征，理解函数与一元二次方程之间的关系是解题的关键．11．如图，△ABC与△A′B′C′位似，位似中心为点O，OA＝2AA′，△ABC的面积为4，则△A′B′C′的面积为9．【分析】根据位似图形的概念得到AC∥A′C′，证明△OAC∽△OA′C′，根据相似三角形的性质得到＝＝，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．解：∵OA＝2AA′，∴＝，∵△ABC与△A′B′C′位似，∴AC∥A′C′，∴△OAC∽△OA′C′，∴＝＝，∴＝，∵△ABC的面积为4，∴△A′B′C′的面积为9，故答案为：9．【点评】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．12．目前以5G为代表的战略性新兴产业蓬勃发展，某市计划经过两年时间，5G用户数从2021年底的500万增加到2023年底的720万，求该市5G用户数平均年增长率．设该市5G用户数平均年增长率为x，则可列方程为500（1+x）2＝720．【分析】利用2023年底该市5G用户数＝2021年底该市5G用户数×（1+5G用户数年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．解：依题意得：500（1+x）2＝720，故答案为：500（1+x）2＝720．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．13．已知点（﹣7，y1），（﹣3，y2），（4，y3）都在二次函数y＝a（x﹣1）2（a＜0）的图象上，则y1，y2与y3的大小关系为y1＜y3＜y2.（用“＞”连接）【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据二次函数的对称性和增减性即可得出结论．解：∵y＝a（x+1）2（a＜0），∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，∴点（4，y3）与点（﹣6，y3）关于直线x＝﹣1对称，∵﹣7＜﹣6＜﹣3＜﹣1，∴y1＜y3＜y2．故答案为：y1＜y3＜y2．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质．14．古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，同一时刻测得OA是268米，则金字塔的高度BO是134米．【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．解：据相同时刻的物高与影长成比例，设金字塔的高度BO为x米，则可列比例为，，解得：x＝134，经检验，x＝134是原方程的解，∴BO＝134．故答案为：134．【点评】本题主要考查同一时刻物高和影长成正比．考查利用所学知识解决实际问题的能力．15．二次函数y＝ax2+bx+1（a＜0，b＜0）的图象经过点P（n，1）（n≠0），此函数图象与x轴有两个不同的交点，若其中一个交点的坐标为（n+2，0），则另一个交点的坐标为（﹣2，0）．【分析】先求二次函数y＝ax2+bx+c与y轴的交点，根据关于二次函数的对称轴对称的性质，求出二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴，最后根据二次函数与x轴的两个交点关于二次函数的对称轴对称，且一个交点的坐标为（n+2，0），进而得出答案．解：对于二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝0时，y＝1，∴二次函数过点（0，1），∵二次函数过点P（n，1），∴点（0，1）和点P（n，1）关于二次函数的对称轴对称，∴二次函数的对称轴为，∵二次函数与x轴的两个交点关于二次函数的对称轴对称，且一个交点的坐标为（n+2，0），∴另一个交点的坐标为，即（﹣2，0）．故答案为：（﹣2，0）．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点坐标，掌握抛物线的对称性质是解题的关键．16．在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝α，E为AC边上一点，线段BE与线段AD交于N点，将线段BE绕E点顺时针旋转得到线段FE，旋转角为β，且α+β＝180°，连接BF，线段BF分别与线段AD，线段AC交于M，H两点，连接DH，下列结论：①∠ABE＝∠AEF；②△BNM∽△ANB；③BN•BE＝EH•AC；④DH∥EF．正确的有①②③④．（填序号即可）【分析】①通过角的等量代换即可解得；②通过两个角的相等，证明两个三角形相似；③证明三角形相似，得出对应边成比例；④证明同位角相等，证得平行．解：∵α+β＝180°，α+∠ABC+∠ACB＝180°，∴β＝∠ABC+∠ACB，∵β＝∠BEA+∠AEF＝∠EBC+∠BCA+∠AEF∠ABC＝∠ABE+∠EBC，∠ABC＝∠BCA，∴∠ABE＝∠AEF，故①正确；∵∠BEF＝β，BE＝EF，∴，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴，∴，∵∠BNM＝∠ANB，∴△BNM∽△ANB，故②正确；∵∠BAN＝∠BFE＝，∠ABN＝∠HEF，∴△ABN∽△EFH，∴，∵AB＝AC，BE＝EF，∴，∴AC•EH＝BN•EN．故③正确；∵∠BMD＝∠AMH，∠BHE＝∠ABH+∠BAH，∠BHE＝∠MAH+∠AMH，∵∠DHC＝∠AMH，∴，∴，∴DH∥EF，故④正确综合上述，正确的有①②③④．【点评】此题考查了三角形相似、平行线的判定，熟悉相关判定定理是解题的关键．三、计算题17．解方程：（1）x2﹣4x﹣3＝0；（2）2x2+5x+3＝0．【分析】（1）用配方法解一元二次方程；（2）用公式法解一元二次方程．解：（1）（x﹣2）2＝7，，，；（2）2x2+5x+3＝0．解：Δ＝b2﹣4ac＝25﹣4×2×3＝1＞0，方程有两个不相等实数根，．【点评】本题考查一元二次方程的解法，注意公式法和配方法适用于解所有的一元二次方程．四、解答题：（每小题9分，共18分）18．如图所示，每个小正方形的边长为1个单位长度，A，B，C三点都在格点上；（1）将△ABC绕O点顺时针旋转90°得到△A1B1C1，在网格中画出△A1B1C1；（2）画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2，并写出A2、B2、C2的坐标．【分析】（1）根据旋转的性质即可画出将A，B，C三点绕原点顺时针旋转90°得到的对应点，再依次连接即可；（2）根据中心对称的性质即可画出A，B，C三点关于原点成中心对称的点A2、B2、C2，再依次连接即可，最后根据图像得到A2、B2、C2的坐标．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，（2）如图，△A2B2C2即为所求，A2（2，﹣2），B2（3，0），C2（1，1）．【点评】本题主要考查了作图﹣对称变换，旋转变换，熟练掌握对称和旋转的性质是解题的关键．19．关于x的一元二次方程x2+（m﹣2）x﹣2m﹣1＝0，求证：方程总有两个不相等的实数根．【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可求解．【解答】证明：Δ＝b2﹣4ac＝（m﹣2）2﹣4×（﹣2m﹣1）＝m2+4m+8∵m2+4m+8＝m2+4m+4+4＝（m+2）2+4，（m+2）2≥0，∴（m+2）2+4＞0，∴Δ＞0，∴方程有两个不相等实数根．【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当Δ＝b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＝b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根是解题的关键．五、解答题（每小题10分，共30分）20．如图，在△ABC中，，BC＝4，，求tanB的值．【分析】过点A作AD⊥BC交于D，在Rt△ADC中，根据sinC及AC的长度，求出CD，从而得到BD，在Rt△ADB中，由正切的定义即可得到结论．解：过A作AD⊥BC交于D．在Rt△ADC中，，∵，∴，∴，∴BD＝BC﹣CD＝4﹣1＝3．在Rt△ABD中，．【点评】本题考查的是解直角三角形，掌握正弦、正切的定义是解题的关键．21．已知，抛物线y＝﹣x2+4x﹣1；（1）请直接写出抛物线y＝﹣x2+4x﹣1的顶点A，与y轴的交点B的坐标，在坐标系中描出A，B两点，并画出抛物线的图象（不用列表）；（2）当1＜x＜4时，结合图象，请直接写出y的取值范围．【分析】（1）把二次函数的解析式化为顶点式，可得点A（2，3），再令x＝0，可得B（0，﹣1），然后画出图形，即可求解；（2）直接观察图象，即可求解．解：（1）∵y＝﹣x2+4x﹣1＝﹣（x﹣2）2+3，∴顶点A（2，3），令x＝0，y＝﹣1，∴y轴的交点的坐标为B（0，﹣1），当x＝1时，y＝2，当x＝4时，y＝﹣1，画出函数图象，如下：（2）观察图象得：当1＜x＜4时，﹣1＜y≤3．故答案为：﹣1＜y≤3．【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，画二次函数图象，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．22．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝150°，将△ABC绕B点逆时针旋转得到△DBE，旋转角为α（0°＜α＜180°），若A，D，E三点恰好在同一条直线上；（1）求旋转角α的度数；（2）若AB＝2，求AE的长．【分析】（1）由旋转的性质得∠BDE＝∠BAC＝150°AB＝BD，求出∠BAD＝∠BDA＝30°，再利用三角形内角和可求旋转角α的度数；（2）过B作BH⊥AD交于H，由30°角的性质求出BH，利用勾股定理求出AH，由三线合一可得AD的长，由全等的性质得DE＝AC＝2，进而可求出AE的长．解：（1）由旋转得：△ABC≌△DBE，∴∠BDE＝∠BAC＝150°AB＝BD，∴∠BAD＝∠BDA＝180°﹣∠BDE＝30°，∴∠ABD＝180°﹣∠BDA﹣∠BAD＝120°，∴α＝120°；（2）过B作BH⊥AD交于H，∵在Rt△ABH中，∠BAD＝30°，AB＝2，∴，∴，∵AB＝BD，BH⊥AD，∴，∵AB＝AC＝2，△ABC≌△DBE，∴DE＝AC＝2，．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，以及勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．六、解答题（每小题10分，共20分）23．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AE，DB＝DC；求证：（1）△BFE∽△CAB；（2）若，AB＝5，求BF的长．【分析】（1）根据等边对等角，以及两组对应角对应相等的三角形相似，即可得证；（2）根据，推出，再根据△BFE∽△CAB，利用对应边对应成比例，求出EF，进而求出AF，再利用勾股定理即可得解．【解答】（1）证明：∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∵DB＝DC，∴∠DBC＝∠C，∴△BFE∽△CAB；（2）解：∵，设BE＝2x，CE＝3x，∴BC＝BE+CE＝5x，∵△BFE∽△CAB，AB＝5，∴，∠BFE＝∠BAC＝90°，∴，∠BFA＝90°，∵AB＝AE＝5，∴AF＝AE﹣EF＝3．在Rt△ABF中，．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．24．某商场销售一款服装，成本为每件300元，若以每件600元的价格销售，每周可以售出60件，若该服装销售价格每降低50元/件，每周可多售出20件，通过成本的核算确定该款服装的利润率不得低于70%，则该款服装售价为多少元/件时，一周的销售利润为20000元．（）【分析】设该款服装售价为x元/件，根据题意列出一元二次方程求解即可．解：设该款服装售价为x元/件，，解得：x1＝550，x2＝500，∵利润率不得低于70%，∴x﹣300≥300×70%，∴x≥510，∴x＝550，答：售价为550元/件．【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是解题的关键．七、解答题：（本题满分12分）25．如图，在△ABC中（∠ACB＜90°），D点为AB边上一点，∠ACD＝∠B，将∠BDC绕D点逆时针旋转得到∠MDN，射线DM与射线BC交于E点（E不与B，C重合），射线DN与射线CA交于F点；（1）求证：△BDE∽△CDF；（2）连接EF，求证：∠CEF＝∠BDE；（3）当∠B＝45°，CD＝5，时，若△DCE是以DE为底等腰三角形，请直接写出AF长．【分析】（1）根据题意得到∠BDE＝∠CDF，可证得△BDE∽△CDF；（2）如图，设CD与EF交于点P，根据△BDE∽△CDF，可得，可证得△BDC∽△EDF，可得到∠DFE＝∠ECD，从而得到∠CEF＝∠CDF，即可求证；（3）分两种情况，结合勾股定理，相似三角形的判定和性质，即可求解．【解答】（1）证明：根据题意得：∠BDC＝∠MDN，∴∠BDC﹣∠CDE＝∠MDN﹣∠CDE，∴∠BDE＝∠CDF∵∠ACD＝∠B，∴△BDE∽△CDF；（2）证明：如图，设CD与EF交于点P，∵△BDE∽△CDF，∴，∴，∵∠BDC＝∠MDN，∴△BDC∽△EDF，∴∠DFE＝∠ECD，∵∠DPF＝∠EPC，∠CEF＝180°﹣∠ECD﹣∠EPC，∠CDF＝180°﹣∠DFE﹣∠DPF，∴∠CEF＝∠CDF，∵∠BDE＝∠CDF，∴∠CEF＝∠BDE；（3）解：如图，作DG⊥BC，DH⊥AC，垂足为G，H，∵∠ACD＝∠B＝45°，∴△BDG和△CDH是等腰直角三角形，∵，∴，，在Rt△CDG中，，∵△DCE是以DE为底的等腰三角形，∴CE＝CD＝5，∴EG＝1，BE＝2，BC＝7，∵BDE∽△CDF，∴，即，∴，∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ACD∽ABC，∴，设AC＝5k，AB＝7k，则，在Rt△ADH中，DH2+AH2＝AD2，∴，解得：，（舍去），∴；如图，作DG⊥BC，DH⊥AC，垂足为G，H，∵∠ACD＝∠B＝45°，∴△BDG和△CDH是等腰直角三角形，∵，∴，，在Rt△CDG中，，∵△DCE是以DE为底的等腰三角形，∴CE＝CD＝5，∴EG＝9，BE＝12，BC＝7，根据题意得：∠BDC＝∠MDN，∴∠BDC+∠CDE＝∠MDN+∠CDE，∴∠BDE＝∠CDF，∵∠ACD＝∠B，∴△BDE∽△CDF，∴，即，∴，∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，设AC＝5k，AB＝7k，则，在Rt△ADH中，DH2+AH2＝AD2，∴，解得：，（舍去），∴；综上所述，AF的长为或．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解一元二次方程等知识，准确得到相似三角形是解题的关键．八、解答题：（