哈尔滨某大学结构力学I一零

四、多自由度体系的振动多自由度无阻尼自由振动振型的正交性多自由度的受迫振动杆系结构有限元动力分析多自由度时程分析方法结论与讨论虽然很多工程问题可以化为单自由度问题计算，但为了有足够的分析精度，一些问题也必须作多自由度进行分析。在等效粘滞阻尼理论下，第二章讨论了两和多自由度体系的运动方程，理论上阻尼矩阵[C]=[Cij]，Cij表示j自由度单位速度引起的i自由度方向的阻尼力。但实际上Cij一般是确定不了的。目前多自由度问题分析先求无阻尼自由振动确定频率、振型等动力特性，然后利用振型的正交性，在假定阻尼矩阵也正交条件下，将多自由度分析通过振型分解化为单自由度问题的组合来解决。再一次体现了，化未知问题为已知问题的研究方法和思想。对复杂荷载情况（象地震地面运动等离散荷载）要用时程分析方法或随机振动理论来解决（第六章）。因此，首先介绍无阻尼自由振动。4.1多自由度无阻尼自由振动多自由度运动方程为无阻尼自由振动运动方程为设其解为{A}sint，代入运动方程可得(-2[M]+[K]){A}sint={0}为使系统有非零的振动解答，必须│-2[M]+[K]│=0（1）或者(-2[M]+[K]){A}={0}（2）上述两式分别称为频率和特征方程。由式（1）展开可得双n次方程，对一般建筑工程结构，求解可得到n个实的不等的正根，它们即为系统的频率。但一般更多是从式（2）出发。4.1多自由度无阻尼自由振动式（2）可改写为

2[M]{A}=[K]{A}（3）数学上称作广义特征值问题。为了将其化为标准实对称矩阵特征值问题，需作如下改造：设[M]=([M]1/2)T[M]1/2（4）[M]1/2{A}={X}则{A}=([M]1/2)-1{X}（5）代回式（3）得2([M]1/2)T{X}=[K]([M]1/2)-1{X}（6）方程两边再左乘[([M]1/2)T]-1，则2{X}=[([M]1/2)-1]T[K]([M]1/2)-1{X}（7）记[([M]1/2)-1]T[K]([M]1/2)-1=[D]

（8）由于[K]是对称矩阵，从式（8）可见[D]是对称矩阵。将式（8）代入式（7）可得2{X}=[D]{X}（9）4.1多自由度无阻尼自由振动式2{X}=[D]{X}（9）就是实对称矩阵标准特征值问题的方程，利用线性代数所介绍的特征值问题解法就可求得[D]矩阵的特征对[2，{X}]，再由式（5）可求得广义特征问题的振型矩阵{A}。由数学可知，对建筑工程一般问题，从n阶的特征方程（3）可求得n个特征对，也即有n个频率i以及和i对应的振型{A}i。按i从小到大排列可得结构的频谱，1和{A}1分别称为第一频率（基本频率或基频）、第一振型。其他依次称第二、第三等等频率、振型。有了任意n自由度问题自由振动解法、结论，两自由度问题可以作为它的特例，按上述解法、思路进行分析。4.1多自由度无阻尼自由振动对两自由度问题来说，根据具体问题运动方程可以用刚度法建立，也可以用柔度法建立。因此，教材上分别基于刚度法和柔度法进行了具体讨论，给出了频率、振型和刚度系数、质量的关系以及和柔度系数、质量的关系。这些公式能记住更好，但我认为不记也没关系，关键是记住如下一些基本概念。1）在无阻尼自由振动下-[M]{ü}=[K]{u}，也即惯性力和弹性恢复力平衡，且它们同相位。因此如果设振幅为{A}，式（3）也可通过列惯性力、恢复力的幅值方程得到。2）当基于柔度法时，位移由惯性力引起，柔度法特征方程同上理由（同相位），也可直接列幅值方程建立{A}=2[f][M]{A}（10）3）拿上具体问题后，关键是正确确定[M]、[K]或[f]，有了它们不管什麽结构，由统一格式可写出式（3）或式（10）。4.1多自由度无阻尼自由振动4）两自由度问题n=2。展开特征方程将得到双二次频率方程，根据具体的刚、柔度系数和质量，解此频率方程即可得频率1和2。5）将频率1和2代回特征方程只能得到和某频率对应的位移比值（齐次方程只能得到比值），对它可以进行“规格化”,一般使最大值等于1，即可得振型。6）自由振动的通解可由各频率的简谐振动解答叠加得到，振幅、相位由质量的初位移、初速度（n个自由度有2n个初始条件）来确定。综上可见，有了[M]、[K]或[f]，剩余工作主要是数学运算了。但要达到熟练掌握，必须到SMCAI里多看一些例子、多做一些练习。限于学时这里不举例了。4.2振型的正交性因为i2[M]{A}i=[K]{A}i、j2[M]{A}j=[K]{A}j前一式左乘{A}jT、后一式左乘{A}iT，再将两式相减，由于质量、刚度的对称性，可得(i2-j2){A}jT[M]{A}i=0(11)由此可得{A}jT[M]{A}i=0(12)上式乘j2，考虑到j2[M]{A}j物理意义是第j振型对应的惯性力幅值，因此式（12）表明第j振型对应的惯性力在第i振型位移上不做功。从式（12）和特征方程立即可证{A}jT[K]{A}i=0(13)它表明第j振型对应的弹性恢复力在第i振型位移上不做功。4.2振型的正交性式(12)和式(13)从数学上说，是不同振型对质量、刚度加权正交。也即振型具有正交性。从第i振型幅值方程，立即可得i2{A}iT[M]{A}i={A}iT[K]{A}i(14)记Mi*={A}iT[M]{A}i(15)称作第i振型广义质量，记Ki*={A}iT[K]{A}i(16)称作第i振型广义刚度。则i2=Ki*/Mi*(17)也即第i频率的平方可象单自由度一样，由广义刚度和质量来求。式(12)和(13)是最基本、最常用的正交关系。4.2振型的正交性因为i2[M]{A}i=[K]{A}i(a)两边同时左乘{A}jT[K][M]-1，则i2{A}jT[K][M]-1[M]{A}i==i2{A}jT[K]{A}i=i2{A}jT[K][M]-1[K]{A}i=0

(b)式(a)两边同时左乘{A}jT[K][M]-1[K][M]-1，则可证i2{A}jT[K][M]-1[K]{A}i=i2{A}jT[K]([M]-1[K])2{A}i=0(c)按此思路继续左乘,即可证明{A}jT[K]([M]-1[K])n{A}i=0(18)类似地，请自行证明{A}jT[M]([K]-1[M])n{A}i=0(19)式(18)和式(19)中n是正整数。它们还可合并为一个式子，请大家思考如何合并？这是更一般的正交关系。4.2振型的正交性式(12)和(13)[或式(18)和(19)]正交性在多自由度度分析中有极重要要的作用，应该深刻理解。。利用正交性可作如如下工作：1）在正确确定[K]、[M]前提下，可用它校校核振型计算的正正确性。2）已知振型、[K]、[M]的条件下，可用它它求振型对应的频频率。3）可用正交性将任意意位移分解成振型型的组合。例如有有位移{y}，可设{y}=ci{A}i，ci为组合系数。等式式两边同时左乘{A}jT[M]，根据正交性则有{A}jT[M]{y}=cjMj*(d)由此可求出组合系系数cj，代回{y}=ci{A}i即可得按振型分解解的结果。4.2振型的正交性4）可将多自由度问问题化成单自由度度问题来解决。实实际上，只要设{u(t)}=yi(t){A}i，代入运动方程可得得[M]ÿi(t){A}i+[K]yi(t){A}i={0}(e)方程两边同时左乘乘{A}jT，根据正交性则有Mj*ÿj(t)+Kj*yi(t)=0(20)从式(20)可得(根据单自由度自由由振动结果)yi(t)=aisin(it+ci)(f)代回多自由度所假假设的解，即可得得{u(t)}=aisin(it+ci){A}i(21)5）式(21)中的待定常数ai、ci可由初始条件确定定。如何确定请自自行考虑。6）正交性还是受迫迫振动分析的基础础。4.3多自由度的受迫振振动4.3.1多自由度受迫振动动的振型分解法多自由度任意荷载载下运动方程为象上节4）一样，设{u}=yi(t){A}i，也即位移分解成各各振型的组合，组组合系数yi(t)称广义坐标。则[M]ÿi(t){A}i+[C]ýi(t){A}i+[K]yi(t){A}i={P(t)}(a)如果阻尼矩阵对振振型不正交，也即即{A}jT[C]{A}i0(b)则式(a)将是联列的微分方方程组，求解将是是很困难的。为此此，通常引入正交交阻尼假设，也称称Rayleigh(瑞利)比例阻尼如下[C]=0[M]+1[K](22)也即认为阻尼和系系统质量、刚度成成正比，0比1可用振型正交性由由阻尼比i，j和频率i，j确定(作业)。4.3多自由度的受迫振振动在正交阻尼假设下下，{A}iT[C]{A}i=Ci*(23)式(a)两边同时左乘{A}iT，则可得Mi*ÿi(t)+Ci*ýi(t)+Ki*yi(t)={A}iT{P(t)}(24)其中Mi*、Ci*、Ki*分别称为第i振型广义质量、广义阻阻尼、广义刚度。再记第i振型广义荷载为{A}iT[P(t)]=Pi*(t)(25)则式(24)是广义坐坐标yi(t)的单自由由度方程程Mi*ÿi(t)+Ci*ýi(t)+Ki*yi(t)=Pi*(t)(26)利用Duhamel积分可求求出式(26)的解答为为代回{u}=yi(t){A}i，即可得多多自由度度受迫振振动解答答。脉响函数自由振动4.3多自由度度的受迫迫振动如果[P(t)]=[P]f(t)(27)则Pi*(t)={A}iT[P]f(t)=Pi*f(t)(c)记i={A}iT[P]/Mi*=Pi*/Mi*(28)称为第i振型的振型参与与系数。则可得得Mi*ÿi(t)+Ci*ýi(t)+Ki*yi(t)=iMi*f(t)(29)或ÿi(t)+2iiýi(t)+i2yi(t)=if(t)(30)在零初始始条件下下，广义义坐标为为代回{u}=yi(t){A}i，即可得{u}=ii(t){A}i。i(t)称为第i振型的广义位移移。(31)(32)4.3多自由度度的受迫迫振动4.3.2简谐荷载载下的受受迫振动动反应设动荷载载（转动动机器引引起）为为{P(t)}={P}sint(33)则由式(28)可求得各各振型的的振型参参与系数数i，当只讨论论稳态振振动，并并且认为为i=i,d(忽略阻尼尼对频率率的影响响)时，根据据单自由由度所得得结果，，广义位位移为i(t)=isin(it-i)/i2(34)式(34)中i为第i振型动力力系数i=[(1-i2)2+4i2i2]-1/2(35)其中i为第i振型频率率比(i=/i)，i为第i振型相位位角tgi=2i/i(1-i2)(36)将式(34)代回{u}=ii(t){A}i，得{u(t)}=[iisin(it-i)/i2]{A}i(37)无阻尼情情况自然然可以当当作有阻阻尼情况况的特例例，在上上述结果果中令i=0得到。4.3多自由度度的受迫迫振动4.3.3简谐荷载载受迫振振动反应应分析步步骤当动荷载载为{P}sint[或{P}cost]时，多自自由度系系统稳态态反应分分析，可可按如下下步骤进进行1）确定系系统质量量[M]、刚度[K]（或柔度[f]）矩阵。2）求无阻阻尼自由由振动的的振型{A}i、频率i。3）用阻尼比比1,2和频率1,2求瑞利阻阻尼的0和1。4）求i振型振型型参与系系数i={A}iT[P]/{A}iT[M]{A}i。5）求i振型阻尼尼比i=1/2(0/i+1i)6）求i振型动动力系系数i=[(1-i2)2+4i2i2]-1/2。7）求i振型相相位角角i=arctg[2i/i(1-i2)]。8）求i振型广广义位位移i(t)=isin(it-i)/i2。9）将各振振型广广义位位移代代回{u}=ii(t){A}i，则得最最终结结果{u(t)}=[iisin(it-i)/i2]{A}i(37)4.4杆系结结构有有限元元动力力分析析4.4.1基本原原理对动力力问题题，设设单元元位移移场仍仍表示示成[d]=[N][d]e，只是现现在[d]=[d(x,t)]，[d]e=[d(t)]。设杆单单元的的密度度为，将微段段惯性性力-[a]Adx作为体积积力，，则这一一单元元荷载载的总总虚功功为(38)引入单单元一一致质质量矩矩阵[m]e(39)4.4杆系结结构有有限元元动力力分析析由式(39)代入形形函数数并积积分，，对质质量均均匀分分布的的平面面弯曲曲单元元，其其单元元一致致质量量矩阵阵[m]e为(40)作业：：试求求拉压压杆单单元的的一致致质量量矩阵阵[k]。4.4杆系结结构有有限元元动力力分析析当在无无阻尼尼情况况下，，用虚虚位移移原理理进行行单元元分析析可得得单元元刚度度方程程（注意意：现现在的的分析析是对对单元元局部部坐标标系的的）由此““单元元刚度度方程程”出出发，，经坐标标转换换、整整体集集装（（定位向向量““对号号入座座”））后，可得有限元元所建建立的的运动动方程程(41)(42)如果要要考虑虑阻尼尼，则则可利利用瑞瑞利阻阻尼，，由结结构一一致质质量矩矩阵[M]和结构构刚度度矩阵阵[K]来建立立结构构阻尼尼矩阵阵[C]。4.4杆系结结构有有限元元动力力分析析4.4.2几点说说明1）以单单元上上无荷荷载作作用，，仅产产生单单位位位移的的形函函数作作为单单元位位移场场，这这是常常用的的一种种近似似处理理。2）结构构一致致质量量矩阵阵和结结构刚刚度矩矩阵非非零元元素分分布一一样。。3）Clough教授曾曾经指指出，，对于于框架架结构构，将将杆件件一半半质量量集中中在杆杆端，，用集集中质质量法法计算算不仅仅在处处理后后可减减少未未知数数个数数（自自由度度），，而且且往往往精度度更好好。4）当当采用用集中中质量量法时时，[M]中相应应转动动自由由度的的对角角线元元素（（转动动惯量量）为为零，，假设设位移移编码码将转转动自自由度度集中中在最最后编编，则则无阻阻尼运运动方方程分分块形形式为为[M1][ü]+[K11][u]+[K12][]=[R1][K21][u]+[K22][]=[R2]由此消去[]，可得只有有线位移自由由度的方程。。4.4杆系结构有限限元动力分析析4.4.2几点说明5）如果分析时时用集中质量量法且不考虑虑轴向变形，，则集装后最最终质量矩阵阵是每层质量量对角排列的的形式。这是是目前杆系模模型的常用计计算方案。6）对于上述杆杆系模型的计计算程序，质质量矩阵很简简单。但是集集装形成刚度度矩阵时，要做4）中所述的““静力缩聚””。当[R2]=[0]时，[K1]=[K11]-[K12][K22]-1[K21]，运动方程为[M1][ü]+[K1][u]=[R1](43)自由度数等于于框架的层数数。7）本节基本原原理是对杆系系结构进行说说明的，象计计算结构力学学力里一样，，思路、方法法也可用于其其他位移有限限元动力分析析。8）程序Vibra可用来计算杆杆系结构的自自振特性等等等，请大家使使用。4.5多自由度时程程分析方法4.5.1多自由度的线线加速度法在3.3节介绍了单自自由度线加速速度法，从运运动方程的相相似性mü+cú+ku=P(t)[M]{ü}+[C]{ú}+[K]{u}={P(t)}显然在[0,t]时间间隔内假假设加速度线线性变化,则将3.3节m,c,k,P换成[M]、[C]、[K]、{P(t)}，即可得到多自自由度线加速速度法的等效效刚度和等效效荷载。数值积分能做做线性、非线线性时程分析析，对非正交交阻尼矩阵也也能求解。重重要、高层结结构要用时程程分析。4.5.2多自由度的Wilson-法线加速度法要要求t小于系统最最短周期的的1/10，当自由度度很多时频频率将很高高周期很短短，这一要要求使计算算很费时间间。而且进进一步数学学分析表明明它是条件件稳定的。。4.5多自由度时时程分析方方法Wilson提出，假设设[0,t]加速度线性性变化,仿线加速度度法进行推推导,可得[K]*=a0[M]+a1[C]+[K](44){P(t+t)}*={P(t)}+({P(t+t)}-{P(t)})++[M](a0{u(t)}+a2{ú(t)}+2{ü(t)})++[C](a1{u(t)}+2{ú(t)}+a3{ü(t)})(45)[K]*{u(t+t)}={P(t+t)}*(46)由式(46)可解出{u(t+t)}，进一步可以以求的t+t时刻的状态态向量。4.5.3Wilson-法的步骤1）形成系统统[M]、[C]、[K]；2）确定初始状状态向量{u(0)}、{ú(0)}、{ü(0)}；3）确定(一般为1.4)和t;按以下公式式计算常数数4.5多自由度时时程分析方方法a0=6/(t)2;a1=3/(t);a2=2a1;a3=t/2;a4=a0/;a5=-a2/;a6=1-3/;a7=t/2;a8=t2/6(47)4）按式(44)计算等效刚刚度；5）对等效刚刚度进行LDLT分解，获得得D和L；6）按式(45)计算等效荷荷载；7）用线性方方程组的LDLT法解{u(t+t)}；8）按以下公式式计算t+t时刻的状态态向量{ü(t+t)}=a4({u(t+t)}-{u(t)})+a5{ú(t)}+a6{ü(t)}{ú(t+t)}={ú(t)}+a7({ü(t+t)}+{ü(t)})(48){u(t+t)}={u(t)}+t{ú(t)}+a8({ü(t+t)}+2{ü(t)})9）按6）~8）逐步计算，求求整个时程的反反应。4.5.4Wilson-法的几点说明1）这是无条件稳稳定的算法；4.5多自由度时程分分析方法2）用这