16.3.1 解分式方程2023学年八年级数学下册同步备课系列（华东师大版）

16.3.1解分式方程华东师大版第16章分式1.会识别分式方程2.会解可化为一元一次方程的分式方程，了解分式方程产生增根的原因．3.掌握解分式方程验根的方法.学习目标D回忆一元一次方程的解法，并且解方程导入新知解分式方程：

解分式方程的思路是先去分母，把分式方程转化为整式方程．合作探究新知一解分式方程2．解分式方程的一般步骤：①去分母：方程两边都乘以各分母的最简公分母，约

去分母，化为整式方程；②解这个整式方程，得到整式方程的根；③验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公

分母不等于零的根是原分式方程的根，使最简公分

母等于零的根不是原分式方程的根；④写出分式方程的根．3．解分式方程的关键一步是去分母，化分式方程为

整式方程，如果分母是多项式，首先要分解因式，

然后确定最简公分母．例1解方程：方程两边同乘以x(x-7)，约去分母，得100

(x-7)=30x.解这个整式方程，得x＝10.检验：把x=10代入x(x-7)，得10(10-7)≠0，所以，x＝10是原方程的解.解：

例2解下列方程：方程两边同乘2x－5，得x－(2x－5)＝－5.解这个方程，得x＝10.检验：当x＝10时，2x－5≠0，所以x＝10是原方程的解．解：

解分式方程的一般方法和步骤：①去分母：即在方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程；②解这个整式方程.归纳小结例3已知关于x的方程的根是x＝1，求a的值．根据方程的解使方程两边的值相等，可构造关于a的分式方程，解所得分式方程即可得a的值．导引：

合作探究新知二分式方程的根（解）把x＝1代入方程，得，解得a＝－经检验，a＝－是分式方程的解．∴a的值为－解：

根据方程的解构造方程，由于所构造的方程是分式方程，因此验根的步骤不可缺少．归纳小结分式方程无解有两种情形：①分式方程化为整式方程后，所得的整式方程无解，

则原分式方程无解；②分式方程化为整式方程后，整式方程有解，但经检

验不是原分式方程的解，此时原分式方程无解．合作探究新知三分式方程的增根增根：(1)定义：在将分式方程变形为整式方程时，

方程两边同乘以一个含有未知数的整式，去掉了分

母，有时可能产生不适合原分式方程的解(或根)，

这种根通常称为增根．(2)关于增根：①因为在将分式方程变形为一元一次方程时，扩大了

未知数的取值范围，所以转化后的一元一次方程的根

有可能不适合原分式方程，即产生了增根．②在什么情况下会出现增根呢？在将分式方程转化为

一元一次方程时，方程的两边乘以同一个含未知数

的整式，而这个含有未知数的整式有可能等于零，

因而就有可能产生增根．③验根的方法：验根的方法有两种，一种是把从一元

一次方程中所得的根代入最简公分母中，若值为零，

则所得的根为增根；另一种是把整式方程中所得的

根代入原方程，若左、右两边的值相等，说明是原

方程的根，否则是原方程的增根．例4解方程：方程两边同乘以(x2-1)，约去分母，得x+1＝2.解这个整式方程，得x＝1.解到这儿，我们能不能说x=1就是原分式方程的解(或根)呢？细心的同学可能会发现，当x

=1时，原分式方程左边和右边的分母(x-1)与(x2-1)都是0,方程中出现的两个分式都没有意义，因此，x

=1不是原分式方程的解，应当舍去.所以原分式方程无解.解：

例5已知关于x的分式方程解：

(1)若有增根为1，求a的值；(2)若有增根，求a的值；(3)若无解，求a的值．(1)去分母并整理，得(a＋2)x＝3.∵1是原方程的增根，

∴(a＋2)×1＝3.∴a＝1.若一个数为分式方程的增根，则这个数一定是原分式方程去分母后的整式方程的根；利用这个结论可求待定字母的值．解：

(2)若有增根，求a的值；(2)∵原分式方程有增根，∴x(x－1)＝0.∴x＝0或1.又∵整式方程(a＋2)x＝3有根，∴x＝1.因此原分式方程的增根为1.∴(a＋2)×1＝3.∴a＝1.方程有增根，一定存在使最简公分母等于0的未知数的值，解这类题的一般步骤为：①把分式方程化为整式方程；②令最简公分母为0，求出未知数的值．这里要注意：必须验证未知数的值是否是整式方程的根，如本例中x＝0就不是整式方程的根；③把未知数的值代入整式方程，从而求出待定字母的值．解：

(3)若无解，求a的值；(3)去分母并整理得：(a＋2)x＝3.①当a＋2＝0时，该整式方程无解．此时a＝－2.②当a＋2≠0时，要使原方程无解，则x(x－1)＝0，x＝0或1，把x＝0代入整式方程，a的值不存在，

把x＝1代入整式方程，a＝1.综合①②得：a＝－2或1.分式方程无解有两种可能：最简公分母等于0或去分母后的整式方程无解．例6解方程解：

方程两边乘（x－1)（x

+

2)，得x（x

+

2)－（x－1)（x

+

2)=3.

解得x=1.检验：当x=1时，

（x－1)（x

+

2)=0.因此x=1不是原分式方程的解.所以，原分式方程无解.分式分母B最简公分母分母整式方程最简公分母最简公分母增根DDx＝1BDCDx＝－21m＜6且m≠21.整式方程和分式方程的根本区别在于分母中是否含

有未知数．2.分式方程的增根必须同时满足两个条件：(1)增根使

最简公分母为零；(2)增根是分式方程化成的整