圆柱坐标系和球坐标系

1.8柱坐标系与球坐标系1.8.1柱坐标系=常数（平面=常数（平面）这三个坐标面交汇于P点，且在P点处相互正交。为反映这一特征，在P点处分别沿三（1）建立圆柱坐标系空间任一点P的位置由坐标（P，。，z）确定，如图（〃）所示。其中:P是P点到z轴的距离，即位置矢量r在xoy平面上的投影；。是正x轴转到半平面oABC的方位角（0W。W2丸）；z是位置矢量r在z轴上的投影，即P点到xoy平面的距离。这三个坐标确定之后，就确定了三个坐标面：以z为轴、P为半径的圆柱面；正xoz半平面绕z轴逆时钟旋转。角度所得半平面;距xoy平面为z的平行平面。=常数（平面）p=常数（圆柱面）(1.8.1)个坐标增加的方向各取一个单位矢量ep、e^和e(1.8.1)①三个单位矢量相互正交，且满足右手关系epxe0=ezXez=%ezXep=

②除与是常矢外，％和门的方向都有可能随尸点的不同而变化，它们是坐标函数:TOC\o"1-5"\h\ze-cos(|)e+sin(|)e

PXye=-sin(|)e+cos(|)e%、勺对坐标p、奴z求偏导\o"CurrentDocument"dededep_=0,p=g”p_=0dp5(|)。dzdetdeider=0,=—e,=0>dp6(|)pdz坦-o也-o£S-o

dp5(pdz矢量F(P、。、Z)在圆柱坐标系下的表示式(1.8.2)A=Ae+Ae+Ae

ppeezz(1.8.2)线元矢量、面元和体积元当点的位置发生微小变化导致了微分位移，用线元矢量血表示(1.8.3)dl-dpe+pd(|)ei+dzeP9z(1.8.3)三个坐标微分增量dp、d(p>dz所形成的体积元dUdV=pdpd(|)dz(1.8.4)两坐标变量的微小变化将形成三个典型面元，它们的正方向分别沿坐标P、奴z的正方向

dS=pd。dzdS；=dpdZ|(1.8.5)dS=pdpd虬圆柱坐标系中的三度表达式TOC\o"1-5"\h\z对于连续、可微的标量场f(P、。、z),按多元函数的全微分链式法则表示微增量

df切dfdf=dp+二d。+dzdpdz作改写dfdfdfdf=__dp+二d。+dz-Cp&+pd。&。+dz&）dp莎dz'df1dfdf'=,ap七+6莎©。+无&z/对照梯度定义式df=W--Cp&+pd。&。+dz&）W=f&p+器&诚&z（p丰0）（1.8.6）f1dFz-"+&fdf1dFz-"+&fdFp-坦]+&13d。dzJ。[dzdpJzpdp（pF。）-d。dFpp&p&。dddp莎FppF。p1fdpF/&z友&'0）（1-）按V与F（p,如z）的运算还可以得出散度和旋度的表达式：V-F（p,如z）=1:（pF）+1夺+*（p壬0）（1.8.8）pdppp6。dzVxF（p,。,z）1pezddzFz进而可得标量场的拉普拉斯表达式V2f(p,。,z)=V・W(P,Sz)(1.8.10)1d(df)1d2fd2f/c、=P^〔p制学而+布g0)(1.8.10)例1-6已知F(P,z)=p七—ze^，试就z=1平面上半径为2的圆形回路及其所围区域，验证斯托克斯定理。解：在给定圆形回路上，若回路循行方向取得与e$的方向相同，在z=1的平面上有F=2e广edl=2dee,F•dl=4dejF•dl=j2兀4d。=4,2兀二8冗i00又因为VxF=仁哇-竺^e+(坦一巴e+1R(p勺一电e*pd,dzjp\dzdpJ^p|_Qp，d,_|z=-X(-z)-g(p)]e+「0-二(_z)]e+!\-L(p2)_o]e_pd,dz_|p|_dp_|,p|_dp_|z=2ez在指定的圆面上，有VxF=2e/dS=dSze=pdpd,e，贝ij(VxF)•dS=2pdpd,得证j(VxF)•dS=j22p(j2兀d,)dp=2兀j22pdp=2兀(p2)2=8兀

s0000得证1.8.2球坐标系x(1)建立球坐标系x空间任一点P的位置由坐标(尸，°，,)确定，其中：①r是尸点到坐标原点的距离，即位置矢量r的模；°表示位置矢量r与正z轴之间的夹角；,是正x轴与位置矢量r在xoy平面投影之间的夹角（0W©W2兀）。这三个坐标确定之后，就确定了三个坐标面：以°为球心、r为半径的球面；以°为顶点、9为半顶角的正圆锥面；正xoz半平面绕z轴逆时钟旋转。角度所得半平面。这三个坐标面交汇于P点，且相互正交。为反映这一特征，在P点处分别沿三个坐标增加的方向各取一单位矢量与、%和门。三单位矢量有以下特点：①三个单位矢量相互正交，且满足右手关系，即erX勺=°。；时I*,；%②er、e和门的方向都有可能随P点的不同而变化，即它们是球坐标函数。在球坐标系下，矢量A（r，9，。）可表示为A=Ae+Ae+Aerr99。。式中的Ar、A。、A。分别是A在其所在点的各单位矢量方向上的分量。（2）线元矢量、面元和体积元(1.8.12)由于坐标变量取微增量dr、d。、d。所形成的线元矢量dZ、体积元AV及三个面元dSr、dS9、dS。，具体表达式如下dI=dre+rd9e。+rsin9d。e。dV=r2sin9drd9d。(1.8.13)(1.8.14)rsin9d。ds,。IIEddrsin9d。/^^^T、ds(a)(b)dS=r2sin0d0d。dS0=rsin0drd。＞dS。=rdrd0(1.8.15)(3)球坐标系中的三度表达式设标量场f(r^)是连续、可微的，根据多元函数的全微分链式法则，有dfdfdf,df=_dr+二dO+二d。\o"CurrentDocument"dr笛莎df1df1df=匕dr+(rdO)+_(rsinOd。)drrdOrsinOd。_zdf1df1dfC=(er奄+eorao+e。rsno萍)'»e+rdOeo+rsin0d。％)对照梯度定义式df=W-dl和dl表达式，得b_df1df1dff=der+raoeo+rsno弛e。(r?)且▽ed+e1d+e1drdr0rdO。rsinOd。(1.8.16)(1.8.17)用V算符分别对F(r,0,。)进行点乘、叉乘运算以及对Vf进行点乘运算，得V-F=1=(r2F)+_1g(sin0%)+」舆(r丰0)(1.8.18)r2drrrsinOdO0rsinOd。VxF=e1-(sinOF)-%|+e1二•％-£(rF)rrsinOdO。d。IOrsi