高中数学411定积分背景-面积和路程问题(一)教案北师大选修22

定积分的背景——面积和行程问题教课过程:一、问题引入师：1.求下列图中暗影部分的面积：师：关于哪些图形的面积，大家会求呢？（学生回想，回答）师：关于x0，x1，y0，yx2围成的图形（曲边三角形）的面积如何来求呢？（一问激起千层浪，直截了当，让学生明确本节课的所要学习的内容，关于学生未知的东西，学生常常比较好奇，激发他们的求知欲）今日我们一同来研究这种曲边图形的面积的求法。二、学生活动与意义建构1、让学生自己研究，议论（3—4分钟）2、让学生说出自己的想法希望学生说出以OAB的面积近似取代曲边三角形的面积，但偏差很大，如何减小偏差呢？希望学生议论得出将曲边三角形进行切割，形成若干个曲边梯形。（在议论的过程中浸透分割的思想）师：如何计算每个曲边梯形的面积呢？（经过议论希望学生能出以下三种方案，在议论的过程中，让学生想到以直代曲，给学生创新的时机）方案一方案二方案三方案一：用一个矩形的面积近似取代曲边梯形的面积，梯形切割的越多，三角形的面积越小，小矩形的面积就能够近视取代曲边梯形的面积。方案二：用一个大矩形的面积来近似取代曲边梯形的面积，梯形切割的越多，三角形的面积越小，大矩形的面积来近似取代曲边梯形的面积。方案三：以梯形的面积来近似取代曲边梯形的面积。（关于此中的随意一个曲边梯形，我们能够用“直边”来取代“曲边”（即在很小的范围内以直代曲），这三种方案是本节课内容的核心，故多花点时间指引学生研究，议论得出，让学生领会“以曲代直”的思想，从近似中认识精准，给学生研究的时机）师：这样，我们就能够计算出随意一个小曲边梯形的面积的近似值，进而能够计算出整个曲边三角形面积的近似值，（乞降），而且切割越细，面积的近似值就越精准，当切割无穷变细时，这个近似值就无穷迫近所求的曲边三角形的面积。如何求这个曲边三角形的面积，以方案一为例：⑴切割细化将区间0,1平分红n个小区间0,1，1,2，，i1,i，，n1,n，每个nnnnnnn区间的长度为ii11x轴的垂线，进而获得nxn（学生回答），过各个区间端点作nn个小曲边梯形，它们的面积分别记作S1，S2，，Si，，Sn。⑵以直代曲1,ifi1i2对区间i上的小曲边梯形，以区间左端点i1对应的函数值1为nnnnn一边的长，以x1为邻边的长的小矩形的面积近似取代小曲边梯形的面积。即nfi2S1xi11innn（当切割很细时，在i1,i上任一点的函数值作为矩形的一边长都能够，常取左右端点nn或中点，这样为此后定积分的定义埋下了伏笔，为学生的解题供给了方法）⑶作和因为每个小矩形的面积是相应的小曲边梯形面积的近似值，因此n个小矩形面积之和就是所求曲边三角形面积S的近似值：nSi（复习符号的运用）i1⑷迫近当切割无穷变细时，即x无穷趋近于0（n趋势于）当n趋势时，11无穷趋近于1，21无穷趋近于2，故上式的结果无穷趋近于1，nn31，即所求曲边三角形面积是1。（在迫近的过程中，难点是求3n213122232nn12n1在此应给学生一些时间研究自然数的平方和，6最幸亏讲数列知识时增补进去。新教材有好多知识点前后次序编排的有所不当，有好多知识应当先有伏笔，而不是要用到什么就增补什么，在研究分析几何中直线部分时，这个问题也有所表现）3、分红两组，分别以方案二、方案三按上述四个步骤从头计算曲边三角形的面积，并将操作过程和计算结果与方案一进行比较。（设计的目的是培育学生的合作沟通的能力，优化解题方案）师：请用流程图表示求曲边三角形面积的过程4、反省在求曲边梯形面积过程中，你以为最让你感觉困难的是什么？（如何切割，乞降迫近是两大难点）（在新课程的讲堂教课过程中，常常性地问学生一些这样的问题，能够让学生对自己的学习过程起到一个自查作用，查漏补缺，对培育学生学习数学的自查意识是一个很好的门路，也能够活跃讲堂氛围）三、数学应用1、典型例题师：在方案一中，和式fx1xfx2xfxnx（*）表示曲边梯形的面积的近似值，这一和式不单是有直观的几何意义，还有丰富的实质背景。例1：火箭发射后ts的速度为vt（单位m/s），假设0t10，对函数vt按（*）式所作的和拥有如何的意义？解：将区间0,10平分红n个小区间，每个小区间的长度为t，在每个小区间上取一点，挨次为t1,t2,,ti,,tn，固然火箭的速度不是常数，但在一个小区间内其变化很小，能够用vt1来取代火箭在第一个小区间上的速度，这样，vt1t火箭在第一个时段内运转的行程同理

vt2

t

火箭在第二个时段内运转的行程进而Sn

vt1

t

vt2

t

vti

t

vtn

t火箭在10s内运转的行程总和这就是函数

vt

在时间区间

0,10

上按（*）式所作的和的实质背景。（因为学生首次碰到这种问题，语言表达比较困难，故教师在教课过程中最好采纳对话式教课，边说边写，规范板书）例2：如图，有两个点电荷A、B，电量分别为qA、qB，固定电荷A将电荷B从距A为a处移到距A为b处，求库仑力对电荷B所做的功。先剖析，再让学生试试书写，而后投影解题过程。（设计两道例题的目的，一是培育学生的文字表达能力，二是让学生领会数学在物理上的应用，也为后边的定积分的物理意义变力所做的功，变速运动的位移埋下伏笔）学生练习：课本P46练习四、回首反省知识点：⑴求曲边梯形面积的四个步骤；⑵数学知识在物理上的应用。反省消化：⑴对今日学习的内容，你感觉有什么困难？