贾晓光九年级教学叙事

数学教学叙由一道“二函数应用题引出的话题数学教学是由一连串“零散”的工作组成的，然而在这“零散”的数学教学工作的背后，却能不时给我们老师以启发、警示或收获，使我们在启发之中得到提升，在警示之中受到鞭策，在收获之中促进自身的专业成长．我所在的九年级数学备课组正是在这些“平常”的日子里，常常会在同事之间激烈的探讨中受到观念上的冲击，细细咀嚼，意犹未尽．在一次集体备课活动时，我们数学组热情洋溢的赵老师“抛出”了一个数学课本上的问题，这个问题不仅仅让学生感到“模糊”，而且老师对这道“二次函数应用”的问题也颇有争议的，全组老师一下子被问题“牵入”争论和思考之中．1“二次函应用题题目：正常水位时，抛物线拱桥下的水面宽为20m，水面上升3m达到该地警戒水位时，桥下水面宽为10m．(1)在恰当的平面直角坐标系中求出水面到桥孔顶部的距离y(m)与水面宽x(m)之间的函数关系式；(2)如果水位以．2m/h速度持续上涨，那么达到警戒水位后，再过多长时间此桥孔将被淹没?(题目来源:北师大版九年级数学下册）赵老师小心翼翼的、又有所掩饰的样子说：这道应用题是否是错题？还是超出《课程标准》的要求了？组内的老师一时非常安静，都在默默的看课本上的题目，同时思考着赵老师的话，再努力寻找着错误或正确的理由．过了一会，年轻且富有朝气的王老师首先发言：我个人以为教学参考书上已经说的非常清楚了按照此图建立平面直角坐标系就可以求得（1问中的结论是问也就迎刃而解．此题没有错误，而且坐标系的建立也是很恰当的．

（2）为了说明问题的方便，把北师大版九年级下册数学教师教学用书该题的参考答案复制如下（1）建立如图1的平面直角坐标系，则水面到桥孔顶部的距离与水面宽的函数关系为：；（2）由（1）知，警戒水位到桥孔顶部的距离为，所以再经过5h此桥孔将被淹没．一些老师的脸上也露出赞同之意，但是又好像保留着什么似的？！赵老师看没有人接着说话，又发表自己的看法：我在没有看教学参考书之前，也是这样建立直角坐标系的，但是觉得不容易求这个函数的解析式，那么这个解析式怎么求？

水面到桥孔顶部的距离y(m)与水面宽x(m)之间的函数关系式有的答案是的答案是，答案不是，那说明教参上的参考答案是错误，对吗？看来赵老师对这道“二次函数的应用题”进行了琢磨，起码今年带九年级是这样的．组内的其他教师又被赵老师的话题“卷入”了对问题重新审视的过程中„„，慢慢，组内交流的话语多了起来，对问题的看法也渐渐的清晰许多．2对教学参书上答认识备课组长请教学经验比较丰富的张老师说说自己的看法，一是因为大家都在议论，那就形成不了对这个数学问题统一的看法；二来备课组长也观察了张老师的面部表情和议论，认为他对这个问题已经考虑的比较成熟了，让他发言，也体现了在备课组讨论的过程中要发挥“平等中的首席”的作用．果然，张老师的发言让大家频频点头．他说:首先，教学参考书上的答案是错误，函数关系式

是在这样的平面直角坐标系下该抛物线拱桥的解析式非面到桥孔顶部的距离(m)与水面宽(m)之间函数关系式；其次，该抛物线上每一个点的坐标（，y）的纵坐标y和横坐标x的绝对分别代表实际意义是水面到桥孔顶部的距离和水面宽的一半（不是水面宽）；第三，在图样的平面直角坐标系下，要求出该抛物线拱桥的解析式，首先要设出该抛物线的解析式为，但是发现找不到一个点的坐标可以完全用已知数据表示，这和我们平时的思维习惯不统一，所以老师就可能觉得有困难，学生就更有困难了，认为求不出可以增加一个参数来解决这个问题．

来，事实上，我们这时老师抢着说据张老师的所说的合已知条件就设点A坐标

点B的坐标为，将点A、B的坐标带入解析式

中，可以得到一个二元一次方程组，这样不仅仅解出，而且解出了，说明正常水位时水面到桥孔顶部的距离是4m．赵老师这时也微笑说道：对，增加一个参数，看起来退了一步，实际上进了一大步，是“以退为进”啊．薛老师，你是从那学来的？是不是从上高中的儿子哪里学来的？赵老师提高声音说道：那要水面到桥孔顶部的距离(m)与水面宽x(m)之间函数关系式，实际上就是在把它们转换成抛物线别是多少呢？

上点的坐标即可，这个点的横、纵坐标分杨老师说：不就是x(m)之间的函数关系式

吗？带入到函数关系式这个结论吗．

中，就得到y(m)与水面宽

．．李老师说：不对，这个点的坐标应该为

，因为这时的是指水面到桥孔顶部的距离，转换成坐应该为

，带入到函数关系式

中，就得水面到桥孔顶部的距离y(m)与水面宽(m)间的函数关系式

．所以，我以为此题不仅能联系生活实际，而且是培养学生多方面能力的好题．但是教学参考书上提供的答案是错误的，正确答案应该是，为了化解杨老师所说的难点防止思维混淆完全可以把水面到桥孔顶部的距离(m)与水面宽(m)的字母改为(m)和(m)，这一改即符合生活实际，又符合数学符号使用常规，应该建议编者重新进行修订．李老师的话结束了，这个“二次函数应用题”是否错了，还是超标了的疑问也随之解决了，伴随着对这个问题的认识上的突破的过程，赵老师和全组其他老师在活动结束后“陷入”对数学教学的更深层次的思考：如何利用好手中的教材？当然，在这一活动中，伴随着的还有兴奋和激动．比较：把问题放在另一个平面直角坐标系中数学组的集体备课活动已经结束了笔者还在继续关注在恰当的平面直角坐标系中求出水面到桥孔顶部的距离y(m)与水面宽(m)之间的函数关系式中恰当平面直角坐标系这几个字眼，怎样建立平面直角坐标系最为恰当呢？有了比较才能有所鉴别，有了鉴别才能对问题的本质有更深的认识．笔者又在新的平面直角坐标系中对这个问题进行了研究，现将解答过程简要表述如下建立如图3的平面直角坐标系可以设该拱桥所在的抛物线为根据题意得到A点的坐标（100B点的坐标（5，3），将这两点的坐标带入到函数关系式

中，解得，所以拱桥所在的抛物线的解析式为；将水面到桥孔顶部的距离y(m)与水面宽(m)转换成所求抛物线上一点的坐标为，带入到函数解析式的距离y(m)与水面宽(m)的函数关系式为

．

中，则水面到桥孔顶部

建立这样的平面直角坐标系中去解决问题，很明显和前面的解法相比较凸显了一易一难．易在点A、B坐标（10，0）、（5，3）很容易确定，这和我们心理期望是一致的；思维的难点集中在面到桥孔顶部的距离y(m)与水面宽(m)转换成所求抛物线上一点的坐标为

上，这是因为学生对处理这样的问题“经验积累”还是比较少，但是不代表学生不能理解或不能解决这个问题．如果教师在实施此类问题的教学时，能够组织学生进行有效的探究、议论，那么学生今后在这类问题处理上不仅能在逻辑上纳入自己的认知结构，而且也能在心理上认同，使问题的解决得以顺利进行．再通过建立不同于前面两种情况的平面直角坐标系来解决这个问题的过程看，求出抛物线拱桥的解析式都不是很困难的点都是集中在水面到桥孔顶部的距离(m)与水面宽x(m)转换成所求抛物线上一点的坐标的问题，较之教学参考书上的建立坐标系的方法来的复杂的多，这恰恰说明建立“恰当”的平面直角坐标系对问题理解和解决是很有必要的，这里面除了要培养学生“数学建模”、“待定系数法”的思想方法外，还有一个数学“最优化”的思想蕴含在里边．在这里，笔者相信每位老师只要认真的研究教材，精心去预设，是一定能够发挥“教材无非是一个例子”的作用的．3“不难的难题给数学师的启从本文所叙述的故事与分析中，我们可以看到(1)这“二次函数应用问题并不难为什么一个不难的问题却难住了文老师呢？笔者首先觉得文老师没有去认真“做”，起码没有认真的思考，或许他的“本体性知识”不够，这从他带初三的履历和所提问题时小心翼翼中可以看出一点端倪．这种现象对老师来说还是具有一定市场的，我们把这种现象称之为“教学上的封闭”；其次，这种现象给我们带来的思考是什么呢？那就是许多老师对书本上练习、习题的不重视或轻视研究，转而要求学生做课外练习或自编的讲义，反而加重了学生的负担．这里既有数学观的问题，又有学生观的问题．第三，教师如果没有精心的预设，哪里会有学生美丽的生荷兰数学家、国际著名数学教育家弗赖登塔尔说过：“学数学实际上是学数学化”。教师不仅仅应该具备将具体问题数学化的数学素养，而且还能站在数学的高度俯视哪些简单的问题，只有这样才能证明你作为人师的坚实基础和广阔视野。(2)如果按照教学参考书上的答案也就是某些教师的答案去批改学生作业么就会给学生埋下“错误”的种子，而这粒“错误”的种子在温度、水分适宜的情况下就是会生长．更重要的是学生不能有一种深深的体会：如何把实际生活问题转化为数学问题（数学建模）来解决．因为你没有给学生这种经历错误的过程，错误也是一种资源，宝贵的课程资源就难得再有这样的机会被开发利用了．(3)要突破这教学上的封闭数学知识和能力需要心理上的进取和勇气多时候不是想不到，而是没有去想；不是做不到，而是没有去做；不是不具备某种数学知识，而是没有想到提取这种知识．所以，备课组就要创造一个和谐、宽松、融洽的研究氛围，让大家敢于晒自己的真实，实现合作共赢，那么稚嫩的