讲函数可积条件

第讲

可积条件及积函数类授题

可积条件及可积函数类教内1.函可积的必要条件函可积的第一充条件；3.可积函数（最基本三种4.黎（）数的可积.教学目的和求教学重点及点教学方法及教材处理示

通过本次课的教学，使学生能理解函数可积的必要条件，函数可积的第一、二充要条件，学会证明连续函数有有限多个断点的函数和单调函数的可积性问题解（Rieman）函数的可积性的证明方法.教学重点：函数可积的第一、二充要条件，可积函数类（三种教学难点：函数可积的第一、二充要条.(1)理定积分的第一、二充要条件是本节的重点．(2通证明连续函数只有有限多个间断点的函数和单调函数的可积性化生对积分第一、二充要条件的理解和掌握.(3关黎曼（Rieman）函数的积性的证明只作出一些提示，要求较好学生能理解，在习题课种再讨.作布

作业内容：教材

:1，，，4.讲内一、可的必要条件定9．2若数f在在证用反证法．若f在

上无界，则对于

的任一分割

T

，必存在属于的个小区间,fk

k

上无界．在

i

各个小区间

i

上任意取定，记i

iii现对任意大的正数

M

，由于

f

在

k

上无界，故存在

k

k

，使得

f

k

MGk

.于是有

fii

i

fii

i

Mk

k由此可见，对于无论多小的T，上述方选取点集

i

使积分和的绝对值大任何预先给出的正数，这与f在．例1（界函数不一定可积）明狄利克雷函数

Dxx理数

，在

证显

D性属于/

T

nnnnnnnnnn的任一小区间上，当取全为有理数时，ii

D全为无理数时，iiiiiii

i

0

．所以不论

多么小，只要点集

或全取无理)，积分和有不同ii极限，即

D件．以后讨论函数的可积性时，总是设函数是有界的．二、可的充要条件要判断一个函数是否可积，固然可以根据定义，直接考察积分和是否能无限接近某一常数，但于积分和的复杂性和那个常数不易预知，因此这是极其困难的．下面即将给出的可积准则只与被积函本身有关，而不涉及定积分的值．设

,在个上在上、下确：iiMi

f,ixi

inffxi

1,2,

,

作和

Siiiiii

分别称为

f

关于分割T

的上和与下和(或称达布上与布和，称布和)．任给

i

i

,i

1,2,

,,

，显然有siii

与积分和相比较，达布和只与分有，而与点集i与下和当

时的极限来揭示

f

在

以，可积性理论总是从讨论上和与下和的性质入手的．定9．3可积准)函

f

在

件是：任给

总在相应的一个分割

T

，使得

S设

ii

i

称为

f

在

i

上的振幅要也记为

fi

S(

)－

i

i

(或记为

i

i

)，因此可积准则又可改述如下：定

i

函数f在条件是：任给，存在相应的某一分割T，使得

ii几何意义是：若

f

在

曲线

的一系列小矩形面积之和可以达到任意小，只要分割充分地细；反之亦然．三、可函数类根据可积的充要条件，我们证明下面一些类型的函数是可积(即可积的充分条件．定9．4若

f

为

，则

f

在

/

n,n,证由f在区间

说给0在

中任意两点

x

`

x

，只要

，便有

f

b

所以只要对

满足

，在丁所属的任一小区间

i

上，就能使

f

的振幅满足

fiii

b从而导致

ii

i

，由定理

，证得f在定9．5若f是间

间断点的有界函数，则在证不失一般性，这里只证明

f

在

点的情形，并设该间断点即为端点

b

．任给

0

，取

，满足

，且

，其中

M

与

分别为

f

在

界与下确界设m，否则f为常量函数，显然可．记f在区间

，因在知f在由定理9，(必要性)，存在对

T

1

n

ii

令

n

，则

T12

n

,

n

T

，有iii

i

.根据定理9.3(充分性，得f在定9.6若

f

是

则

f

在

证

f

为增函数，且

f

，则

f

为常量函数，显然可积．对

割

T

，由

f

的增性，

f

在

T

所属的每个小区间

i

上的振幅为

ii

i

于是有

iiiiTi由此可见，任给

，只要

T

f

这时就有

ii

,

所以

f

在

注：调函数即使有无限多个间断点，仍不失其可积性．/

,,12i,,12ii0ii例2试用两种方法证明函数x1在区间

,

1,2,证[证法一]由

f

是一增函数虽然它在

点x

1n

,n

但由定理9.5仍保证它在

[证法二(仅利用定理9.3定理任给由于

1n

，因此当n充分大时

1n2

这明

f

在

上只有有限个间断点用定理9定理．3，推知f在

,1上积，且存在对

的某一分割

ii

在把小区间

与T成对的一个分割T.由f在

上的振幅

，因此得到22T

所

f

在

例3证明黎曼函数

1px,互素qpfxqx以在区间

f分析：已知黎曼函数在

x，x

，以及一切无理点处连续，而在间断．证明它在

下