近世代数第一章小结

集合集合两群关第一章小结本章主要研究群的有关问题：定义性质、子群及不变子群、三类重要的群——变换群、置换群、循环群、同态与同构主要内容有：一、

基本概预备知识

--相等集合集合运算并集（笛卡儿积）映射满射映射变换运算关系与分类群

阿尔群b有b）非换（，使ab)群义群G—G子群陪集--商群群——由一个非空集合的干一换成群三重群——n有集的干一换置）成群循群——个素是个的在运的射同存在保运的一射单位元、逆元、元素的阶、子群在群中的数.

二、主要结论1.的基本性：1——，定理1.2.1；2.素阶的性：定理1.2.3---1.2.43子群的判别件（重）为群

的非空子集.则

为

的子群的充分必要条件是:任给

有

，任给

有

（2）任给（3）任给

有有

（只适合有限子集）子的质子群的交集仍是子群．集商性设是的群则（）aH=Ha=H当仅当a∈（2）（3）

当且仅当当且仅当

;;（4）集之并

的任何两个左(右)陪集或者完全相同,或无公共元素因

可以表示成一些不相交的左(右陪（5(拉朗定)限群

的任一子群

的阶数是群

的阶数的因且G|=|H|[GH]（）有限群的任一元素的阶都是群

的阶数的因即a|||G|（）

为有限群.

,则任意的,.正规不变）子的别件N是

的子群，则N是G的变子群的充要条件是（）任意的（）（）

,,

,都aN=Na;,.6.变换群、换群、环群的结论（1）个集合A的所有一一变换作成一个变换群。(2)(莱定理)

任一群都同构于一个变换群

(3)

推论：一个有限群都同构于一个置换群.个元素的全体置换关于置换的法构成.(4)每一置换可唯一表为若干个不相交轮换循环置换乘积(5)每一循环置换都可以表为若干个对换的乘积.(6)

每一置换都可表为若干个对换的乘积(7)

为群,,则|a|=|a|（8设（9设

为群,为群,

,ΙΙ=n且,则.,如果|a|=n,|ar|=n/d(d=(r,n))（10）设

为

阶循环群

.则

为

的生成元的充分必要条件是（11）循环群必是交换群（12）循环群的子群必是循环群（13）设

为循环群,且G=（a则如果如果同态同性

,则,则

;(1)

设G是个群，

是一个非空集合，若G与

对于它们的乘法来说同态，则

也是一个群(2)

定理1.8.2

设

群,

是

同态映满射.1)如果是2)对于任意的

的单位元则,

是

单位元;的逆元.即(3)定理1.8.3-----满射、单射的条件

(4)定理1.8.4—态映射保子群、正规子群(5)定理1.8.5------同态基本定理三、基本方法与型1、群的判别----定义法2、子群的判别方法（四种方法）：义法；

定理1定理2；定3（限）；3正规子群的判别方法（四种方法）：义法；

定理1）-3）；4、求有限群的子群方法：（重点掌握循环群的子群求法）1）确定子群的可能阶数；2）按阶数确定可能的子集；3）判断哪个是子群。5、求正规子群方法：1）求子群；）判别哪些子群是正规子群（交换群的子群都是正规子群）6、求陪集：定义法7、求商群方法：按定义8、计算置换的乘积、逆、阶----定义方法9、把置换表成不相连的循环置换的乘积或对换的乘积10、

求元素的阶：1）定义方法2）有关性质11、判别循环群方法：定义法