高考数学（理）一轮讲义第10讲函数的图象

/12/12/第10讲函数的图象考纲要求考情分析命题趋势1．理解点的坐标与函数图象的关系．2．会利用平移、对称、伸缩变换，由一个函数的图象得到另一个函数的图象．3．会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题．2023·全国卷Ⅲ，112016·全国卷Ⅰ，72016·全国卷Ⅱ，122016·山东卷，151．利用函数的定义域、值域判断图象的左右、上下的位置；利用函数的奇偶性、单调性、周期性判断图象的对称性以及变化趋势．2．利用函数的图象研究函数的性质；利用函数的图形研究不可解方程根的个数、函数零点的个数；利用函数的图象求不等式的解集，以及解决已知函数零点个数求参数问题．分值：5～8分1．利用描点法作函数图象基本步骤是列表、描点、连线．首先：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．2．利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(a>0，右移a个单位),\s\do5(a<0，左移|a|个单位))y＝__f(x－a)__；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(b>0，上移b个单位),\s\do5(b<0，下移|b|个单位))y＝__f(x)＋b__；(2)伸缩变换y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(0<ω<1，纵坐标不变，横坐标伸长为原来的eq\f(1,ω)倍,ω>1，纵坐标不变，横坐标缩短为原来的\f(1,ω)倍))y＝__f(ωx)__；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(A>1，横坐标不变，纵坐标伸长为原来的A倍),\s\do5(0<A<1，横坐标不变，纵坐标缩短为原来的A倍))y＝__Af(x)__；(3)对称变换y＝f(x)关于x轴对称,y＝__－f(x)__；y＝f(x)关于y轴对称,y＝__f(－x)__；y＝f(x)关于原点对称,y＝__－f(－x)__.(4)翻折变换y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(去掉y轴左边图，保留y轴右边图),\s\do5(将y轴右边的图象翻折到左边去))y＝__f(|x|)__；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(保留x轴上方图),\s\do5(将x轴下方的图象翻折到上方去))y＝__|f(x)|__.1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)函数y＝f(x)的图象关于原点对称与函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称一致．(×)(2)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(×)(3)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同．(×)(4)将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位得到函数y＝f(－x－1)的图象．(×)解析(1)错误．前者是函数y＝f(x)图象本身的对称，而后者是两个图象间的对称．(2)错误．例如，函数y＝|log2x|与y＝log2|x|，当x>0时，它们的图象不相同．(3)错误．函数y＝af(x)与y＝f(ax)分别是对函数y＝f(x)作了上下伸缩和左右伸缩变换，故函数图象不同．(4)错误．将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位得到y＝f[－(x－1)]＝f(－x＋1)的图象．2．函数y＝x2＋eq\f(ln|x|,x)的图象大致为(C)解析因为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))f(1)<0，故由零点存在定理可得函数在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))上存在零点，故排除A，D项；又当x<0时，f(x)＝x2＋eq\f(ln?－x?,x)，而feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,e)))＝eq\f(1,e2)＋e>0，排除B项，故选C．3．已知函数y＝f(x＋1)的图象过点(3,2)，则函数y＝f(x)的图象关于x轴对称的图象过点(D)A．(1，－2) B．(2，－2)C．(3，－2) D．(4，－2)解析由已知有f(4)＝2，故函数y＝f(x)的图象一定过点(4,2)，函数y＝f(x)的图象关于x轴对称的图象过点(4，－2)，故选D．4．函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝(D)A．ex＋1 B．ex－1C．e－x＋1 D．e－x－1解析依题意，与曲线y＝ex关于y轴对称的曲线是y＝e－x，于是f(x)的图象相当于曲线y＝e－x向左平移1个单位得到的，∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1．5．若将函数y＝f(x)的图象向左平移2个单位，再沿y轴对折，得到y＝lg(x＋1)的图象，则f(x)＝__lg(3－x)__.解析把y＝lg(x＋1)的图象沿y轴对折得到y＝lg(－x＋1)的图象，再将图象向右平移2个单位得到y＝lg[－(x－2)＋1]＝lg(3－x)的图象，∴f(x)＝lg(3－x)．一函数图象的作法函数图象的作法(1)直接法：当函数表达式是基本函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出．(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称变换得到，可利用图象变换作出．【例1】作出下列函数的图象．(1)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|；(2)y＝|log2(x＋1)|；(3)y＝eq\f(2x－1,x－1)；(4)y＝x2－2|x|－1．解析(1)作出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x(x≥0)的图象，再将y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x(x≥0)的图象以y轴为对称轴翻折到y轴的左侧，即得y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|的图象，如右图中实线部分．(2)将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如右图．(3)∵y＝eq\f(2x－1,x－1)＝2＋eq\f(1,x－1)，故函数图象可由y＝eq\f(1,x)的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位而得，如图．(4)∵y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－1，x≥0，,x2＋2x－1，x<0))且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，即得函数y＝x2－2|x|－1的图象，如下图．二函数图象的识别函数图象识别的两种方法(1)直接根据函数解析式作出函数图象，或者是根据图象变换作出函数的图象．(2)利用间接法排除筛选错误与正确的选项，可以从如下几个方面入手：①从函数的定义域判断图象的左右位置，从函数的值域判断图象的上下位置；②从函数的单调性判断图象的上升、下降趋势；③从函数的奇偶性判断图象的对称性；④从函数的周期性判断图象的循环往复；⑤从特殊点出发排除不符合要求的选项．【例2】(1)(2023·湖北天门、仙桃、潜江三市联考)已知图(1)是函数y＝f(x)的图象，则图(2)中的图象对应的函数可能是(C)A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(－|x|)(2)函数f(x)＝eq\f(ax＋b,?x＋c?2)的图象如图所示，则下列结论成立的是(C)A．a>0，b>0，c>0B．a<0，b>0，c>0C．a<0，b>0，c<0D．a<0，b<0，c<0解析(1)由图(2)知，图象对应的函数是偶函数，故B项错误，且当x>0时，对应的函数是y＝f(－x)，显然A项，D项不正确．故选C．(2)函数f(x)的定义域为{x|x≠－c}，由题中图象可知－c＝xp>0，即c<0，排除A项，B项．令f(x)＝0，可得x＝－eq\f(b,a)，则xN＝－eq\f(b,a)，又xN>0，则eq\f(b,a)<0.所以a，b异号，排除D项．三函数图象的应用函数图象的两个应用(1)利用函数的图象研究方程根的个数：当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标．(2)利用函数的图象研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．【例3】(1)(2023·湖北华师一附中检测)若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x2，x≤1，,lnx，x>1，))则函数y＝f(x)－eq\f(\r(3),3)x＋eq\f(1,2)的零点的个数为(D)A．1 B．2C．3 D．4(2)(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝eq\f(x＋1,x)与y＝f(x)图像的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则eq\i\su(i＝1,m,)(xi＋yi)＝(B)A．0 B．mC．2m D．解析(1)分别作出y＝f(x)与y＝g(x)＝eq\f(\r(3),3)x－eq\f(1,2)的图象，如图．显然直线y＝g(x)与曲线y＝1－x2(x≤1)有两个交点；对于直线y＝eq\f(\r(3),3)x－eq\f(1,2)与曲线y＝lnx(x>1)是否有交点以及交点的个数，由幂函数与对数函数的增长趋势来看，当x→＋∞时，直线y＝g(x)的图象肯定在y＝lnx(x>1)的上方，又f(eq\r(3))＝lneq\r(3)，g(eq\r(3))＝eq\f(1,2)，∴f(eq\r(3))＝lneq\r(3)＝eq\f(1,2)ln3>eq\f(1,2)lne＝eq\f(1,2)，∴f(eq\r(3))>g(eq\r(3))，故两图象有4个交点．(2)因为f(x)＋f(－x)＝2，y＝eq\f(x＋1,x)＝1＋eq\f(1,x)，所以函数y＝f(x)与y＝eq\f(x＋1,x)的图象都关于点(0,1)对称，所以eq\i\su(i＝1,m,x)i＝0，eq\i\su(i＝1,m,y)i＝eq\f(m,2)×2＝m，故选B．1．(2023·贵州七校联考)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是(A)A．f(x)＝eq\f(ln|x|,x) B．f(x)＝eq\f(ex,x)C．f(x)＝eq\f(1,x2)－1 D．f(x)＝x＋eq\f(1,x)解析由函数图象可知，函数f(x)为奇函数，应排除B项，C项．若函数f(x)＝x＋eq\f(1,x)，则x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除D项，故选A．2．(2023·辽宁大连测试)函数f(x)＝2x－4sinx，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))的图象大致是(D)解析因为函数f(x)是奇函数，所以排除A项，B项．f′(x)＝2－4cosx，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，令f′(x)＝2－4cosx＝0，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，得x＝±eq\f(π,3)，故选D．3．为了得到函数y＝log2eq\r(x－1)的图象，可将函数y＝log2x图象上所有点的(A)A．纵坐标缩短为原来的eq\f(1,2)，横坐标不变，再向右移1个单位B．纵坐标缩短为原来的eq\f(1,2)，横坐标不变，再向左移1个单位C．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向左移1个单位D．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向右移1个单位解析把函数y＝log2x的图象上所有点的纵坐标缩短为原来的eq\f(1,2)，横坐标不变，得到函数y＝eq\f(1,2)log2x的图象，再向右平移1个单位，得到函数y＝eq\f(1,2)log2(x－1)的图象，即函数y＝log2(x－1)eq\s\up5(\f(1,2))＝log2eq\r(x－1)的图象．4．(2023·北京东城二模)对任意实数a，b定义运算“⊙”：a⊙b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b，a－b≥1，,a，a－b<1，))设f(x)＝(x2－1)⊙(4＋x)＋k，若函数f(x)的图象与x轴恰有三个交点，则k的取值范围是(D)A．(－2,1) B．[0,1]C．[－2,0) D．[－2,1)解析令g(x)＝(x2－1)⊙(4＋x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＋x，x≤－2或x≥3，,x2－1，－2<x<3，))其图象如图所示．f(x)＝g(x)＋k的图象与x轴恰有三个交点即y＝g(x)与y＝－k的图象恰有三个交点，由图可知－1<－k≤2，即－2≤k<1，故选D．易错点1混淆函数图象变换规律错因分析：①左右平移只针对x，且“左加右减”；②不能正确认识对称变换．【例1】设函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于()A．直线y＝0对称 B．直线x＝0对称C．直线y＝1对称 D．直线x＝1对称解析f(x－1)的图象是f(x)的图象向右平移1个单位而得到的，又f(1－x)＝f(－(x－1))的图象是f(－x)的图象也向右平移1个单位而得到的，因f(x)与f(－x)的图象关于y轴(即直线x＝0对称)，因此f(x－1)与f(－(x－1))的图象关于直线x＝1对称，故选D．答案D【跟踪训练1】已知定义在区间[0,4]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(1－x)的图象为(D)解析方法一把函数y＝f(x)的图象上的所有的点向左平移1个单位长度．得到y＝f(x＋1)的图象，再把所得的图象关于原点对称，即可得到y＝－f(1－x)的图象，故选D．方法二取函数y＝f(x)的图象上的点(2,4)，则有f(2)＝4，因为－f(1－(－1))＝－f(2)＝－4，所以函数y＝－f(1－x)的图象过点(－1，－4)，排除A项，B项，C项，故选D．易错点2赋值不准，根的范围或根的个数产生偏差错因分析：涉及方程根的个数问题，通常需要用赋值法讨论，看它们图象的交点有几个．【例2】已知f(x)＝x2－3，g(x)＝mex，若方程f(x)＝g(x)有三个不同的根，则m的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(6,e3))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(6,e3)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2e，\f(6,e3))) D．(0,2e)解析当m＝0时，f(x)＝g(x)?x＝±eq\r(3)，只有两个实根，排除B，C项．对于A项，D项，赋值m＝1，方程f(x)＝g(x)变为x2－3＝ex，在同一直角坐标系中，作出f(x)＝x2－3，g(x)＝ex的图象，由图可知，两图象在y轴左侧有且仅有一个交点，很明显，当x>0时，g(x)＝ex的增长速度较f(x)＝x2－3要快．又由f(eq\r(3))＝0，g(2)＝e2>1＝f(2)，…，故两图象只有一个交点，∴排除D项，故选A．答案A【跟踪训练2】已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝(C)A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．1解析由f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)，得f(2－x)＝(2－x)2－2(2－x)＋a[e2－x－1＋e－(2－x)＋1]＝x2－4x＋4－4＋2x＋a(e1－x＋ex－1)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)，所以f(2－x)＝f(x)，即x＝1为f(x)图象的对称轴．由题意，f(x)有唯一零点，所以f(x)的零点只能为x＝1，即f(1)＝12－2×1＋a(e1－1＋e－1＋1)＝0，解得a＝eq\f(1,2)，故选C．课时达标第10讲[解密考纲]数形结合是数学中的重要思想方法．利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质的应用问题，解决函数的零点、方程的解的问题，解决求解不等式的问题等．一、选择题1．函数y＝eq\f(2x,lnx)的图象大致为(D)解析由题意知x≠1，∵0<x<1时，2x>0，lnx<0.∴y<0，图象在x轴下方，排除B项，C项；当x>1时，2x>0，lnx>0，∴y>0，图象在x轴上方，当x→＋∞时，y＝eq\f(2x,lnx)→＋∞，故选D．2．若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b，x<－1，,ln?x＋a?，x≥－1))的图象如图所示，则f(－3)＝(C)A．－eq\f(1,2) B．－eq\f(5,4)C．－1 D．－2解析由图象可得－a＋b＝3，ln(－1＋a)＝0，得a＝2，b＝5，∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋5，x<－1，,ln?x＋2?，x≥－1，))故f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1，故选C．3．设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－a|的图象关于直线x＝1对称，则a＝(A)A．3 B．2C．1 D．－1解析∵函数f(x)图象关于直线x＝1对称，∴f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(2)＝f(0)，即3＋|2－a|＝1＋|a|，排除D项，C项，又f(－1)＝f(3)，即|a＋1|＝4＋|3－a|，用代入法知选A．4．(2023·四川成都模拟)设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式eq\f(f?x?－f?－x?,x)<0的解集为(D)A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)解析f(x)为奇函数，所以不等式eq\f(f?x?－f?－x?,x)<0化为eq\f(f?x?,x)<0，即xf(x)<0，则f(x)的大致图象如图所示，所以xf(x)<0的解集为(－1,0)∪(0,1)．5．(2023·河南统考)若函数y＝f(2x＋1)是偶函数，则函数y＝f(2x)的图象的对称轴方程是(C)A．x＝－1 B．x＝－eq\f(1,2)C．x＝eq\f(1,2) D．x＝1解析∵f(2x＋1)是偶函数，其图象关于y轴对称，而f(2x＋1)＝feq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))))，∴f(2x)的图象可由f(2x＋1)的图象向右平移eq\f(1,2)个单位得到，即f(2x)的图象的对称轴方程是x＝eq\f(1,2).6．(2023·广东名校模拟)已知函数f(x)＝4－x2，函数g(x)(x∈R且x≠0)是奇函数，当x>0时，g(x)＝log2x，则函数f(x)·g(x)的大致图象为(D)解析易证函数f(x)＝4－x2为偶函数，又g(x)是奇函数，所以函数f(x)·g(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除A项、B项．当x>0时，f(x)·g(x)＝(4－x2)log2x有两个零点1,2，且0<x<1时，f(x)·g(x)<0，因此排除C项，故选D．二、填空题7．若函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|1－x|＋m的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是__[－1,0)__.解析首先作出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|1－x|的图象(如图所示)，欲使y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|1－x|＋m的图象与x轴有交点，则－1≤m<0.8．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,2x，x≤0))且关于x的方程f(x)－a＝0有两个实根，则实数a的取值范围是__(0,1]__.解析当x≤0时，0<2x≤1，所以由图象可知要使方程f(x)－a＝0有两个实根，即f(x)＝a有两个交点，所以由图象可知0<a≤1．9．定义在R上的函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lg|x|，x≠0，,1，x＝0))关于x的方程f(x)＝c(c为常数)恰有三个不同的实数根x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝__0__.解析函数f(x)的图象如图，方程f(x)＝c有三个根，即y＝f(x)与y＝c的图象有三个交点，易知c＝1，且一根为0，由lg|x|＝1知另两根为－10和10，所以x1＋x2＋x3＝0.三、解答题10．已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.(1)求实数m的值；(2)作出函数f(x)的图象；(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；(4)若方程f(