-新教材高中数学基础练37用二分法求方程的近似解含解析新人教A版必修第一册

PAGEPAGE4用二分法求方程的近似解(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.用“二分法”可求近似解,对于精确度ε说法正确的是()A.ε越大,零点的精确度越高B.ε越大,零点的精确度越低C.重复计算次数就是εD.重复计算次数与ε无关【解析】选B.依“二分法”的具体步骤可知,ε越大,零点的精确度越低.2.若用二分法求函数f(x)在(a,b)内唯一零点时,精确度为0.001,则结束计算的条件是()A.|a-b|<0.1 B.|a-b|<0.001C.|a-b|>0.01 D.|a-b|=0.001【解析】选B.根据二分法的步骤,知当区间长度|a-b|小于精确度0.001时,便可结束计算.3.下列函数中,有零点但不能用二分法求零点近似解的是()①y=3x2-2x+5;②y=;③y=+1;④y=x3-2x+3;⑤y=x2+4x+8.A.①②③ B.⑤ C.①⑤ D.①④【解析】选B.⑤中y=x2+4x+8,Δ=0,不满足f(a)·f(b)<0.4.(多选题)(2021·台州高一检测)设f(x)=2x+3x-7,某学生用二分法求方程f(x)=0的近似解(精确度为0.1),列出了它的对应值表如下:x011.251.3751.43751.52f(x)-6-2-0.87-0.280.020.333若依据此表格中的数据,则得到符合要求的方程的近似解可以为()A.1.25 B.1.376 C.1.4092 D.1.5【解析】选BC.f(1.375)<0,f(1.4375)>0,故方程的近似解在(1.375,1.4375)内,1.4375-1.375=0.0625<0.1,故(1.375,1.4375)任意数都可作为近似解.5.用二分法求函数f(x)=ln(x+1)+x-1在区间(0,1)上的零点,要求精确到0.01时,所需二分区间的次数最少为()A.5 B.6 C.7 D.8【解析】选C.开区间(0,1)的长度等于1,每经过一次操作,区间长度变为原来的一半,经过n次操作后,区间长度变为.因为精确到0.01,所以<0.01,又n∈N*,所以n≥7,且n∈N*,故所需二分区间的次数最少为7,故选C.6.(多选题)下列函数可用二分法求零点的是()A.f(x)=x3-1 B.f(x)=lnx+3C.f(x)=x2+2x+2 D.f(x)=2x【解析】选A、B.因为f(x)=x2+2x+2=(x+)2≥0,不存在小于0的函数值,所以f(x)=x2+2x+2不能用二分法求零点.f(x)=2x>0,不能用二分法求零点.A、B选项都可用二分法求零点.二、填空题(每小题5分,共10分)7.用二分法求方程2x+3x-7=0在区间[1,3]内的根,取区间的中点为x0=2,那么下一个有根的区间是.

【解析】设f(x)=2x+3x-7,f(1)=2+3-7=-2<0,f(3)=10>0,f(2)=3>0,f(x)零点所在的区间为(1,2),所以方程2x+3x-7=0有根的区间是(1,2).答案:(1,2)【补偿训练】用二分法研究函数f(x)=x3-2x-1的零点时,若零点所在的初始区间为(1,2),则下一个有根区间为()A.(1,2)B.(1.75,2)C.(1.5,2) D.(1,1.5)【解析】选C.函数f(x)=x3-2x-1,满足f(1)=1-2-1=-2<0,f(2)=8-4-1=3>0,取区间(1,2)的中点,有f=-3-1=-<0,f·f(2)<0.所以零点所在区间为(1.5,2).8.用二分法研究函数f(x)=x2+3x-1的零点时,第一次经过计算f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一个零点x0∈,第二次应计算.

【解析】因为f(0)·f(0.5)<0,所以x0∈(0,0.5),取该区间的中点=0.25.所以第二次应计算f(0.25).答案:(0,0.5)f(0.25)三、解答题(每小题10分,共20分)9.用二分法求方程x2-5=0的一个近似正解.(精确度为0.1)【解析】令f(x)=x2-5,因为f(2.2)=-0.16<0,f(2.4)=0.76>0,所以f(2.2)·f(2.4)<0,即这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0,取区间(2.2,2.4)的中点x1=2.3,f(2.3)=0.29,因为f(2.2)·f(2.3)<0,所以x0∈(2.2,2.3),再取区间(2.2,2.3)的中点x2=2.25,f(2.25)=0.0625,因为f(2.2)·f(2.25)<0,所以x0∈(2.2,2.25),由于|2.25-2.2|=0.05<0.1,所以原方程的近似正解可取为2.25.10.(1)方程2x3-6x2+3=0有几个解?(2)求最小一个解的近似值.(精确度为0.01)【解析】(1)设函数f(x)=2x3-6x2+3,因为f(-1)=-5<0,f(0)=3>0,f(1)=-1<0,f(2)=-5<0,f(3)=3>0且函数f(x)=2x3-6x2+3的图象是连续的曲线,所以方程2x3-6x2+3=0有三个实数解.(2)因为f(-1)·f(0)<0,所以在区间(-1,0)内有一个解x0且为三个解中最小的.取区间(-1,0)的中点x1=-0.5,用计算器可算得f(-0.5)=1.25>0.因为f(-1)·f(-0.5)<0,所以x0∈(-1,-0.5).再取(-1,-0.5)的中点x2=-0.75,用计算器可算得f(-0.75)<0.因为f(-0.75)·f(-0.5)<0,所以x0∈(-0.75,-0.5).同理,可得x0∈(-0.75,-0.625),x0∈(-0.6875,-0.625),x0∈(-0.65625,-0.625),x0∈(-0.65625,-0.640